追蹤考題 曬曬考點

摘 要：高考命題對統(tǒng)計及統(tǒng)計案例的考查均以實際生活問題為背景，所以在考查基礎(chǔ)知識的同時也考查數(shù)學(xué)應(yīng)用意識.本文從抽樣方法、頻率分布直方圖的應(yīng)用、莖葉圖的應(yīng)用、樣本的數(shù)字特征、相關(guān)關(guān)系的判斷與線性回歸方程、獨立性檢驗這六個方面舉例說明高考考點題型，供復(fù)習(xí)時參考.

關(guān)鍵詞：統(tǒng)計;統(tǒng)計案例;高考考點;題型例析

中圖分類號：G632????? 文獻標識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0054-03

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：杜紅全（1969.9-），男，甘肅省康縣人，中學(xué)高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

統(tǒng)計及統(tǒng)計案例與現(xiàn)實生活聯(lián)系緊密，是高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，也是高考命題的一個重點.下面舉例說明統(tǒng)計及統(tǒng)計案例高考考點題型，供參考.

一、抽樣方法

例1 （2019全國Ⅰ，文6）某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽100名學(xué)生進行體質(zhì)測驗，若46號學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是（? ）.

A.8號學(xué)生?? B.200號學(xué)生

C.616號學(xué)生? D.815號學(xué)生

解析 分段間隔k=1000100=10，又由46號學(xué)生被抽中知，所抽號碼的個位數(shù)是6，結(jié)合選項知，616號學(xué)生被抽中.故選C.

點評 本題考查系統(tǒng)抽樣方法，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng);求解本題的關(guān)鍵是利用分段間隔10和46號學(xué)生被抽到判斷出所抽號碼的個位數(shù)是6;不難發(fā)現(xiàn)選出的號碼所構(gòu)成的數(shù)列是以10為公差的等差數(shù)列，因此也可以利用等差數(shù)列的有關(guān)知識來解答;在抽樣方法中重點考查分層抽樣方法的應(yīng)用和系統(tǒng)抽樣.

二、頻率分布直方圖的應(yīng)用例2 （2019全國Ⅲ，理17文17）為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進行如下試驗：將200只小鼠隨機分成A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同.經(jīng)過一段時間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：圖1??????? 圖2

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計值為0.70.

（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值;

（2）分別估計甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）.

解析 （1）由已知得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

（2）甲離子殘留百分比的平均值的估計值為

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計值為

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.

點評 本題以頻率分布直方圖為背景，考查頻率分布直方圖中未知字母的求法及相關(guān)計算，考查了數(shù)據(jù)處理能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng);解決與頻率分布直方圖有關(guān)的問題，關(guān)鍵在于尋找出圖中的數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系;利用頻率分布直方圖去估計總體是考查的重點，偶爾出現(xiàn)畫頻率分布直方圖.

三、莖葉圖的應(yīng)用

例3 （2014全國Ⅱ，文19）某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機訪問了50位市民.根據(jù)這50位市民對這兩部門的評分（評分越高表明市民的評價越高），繪制莖葉圖如下：

（1）分別估計該市的市民對甲、乙部門評分的中位數(shù);

（2）分別估計該市的市民對甲、乙部門的評分高于90的概率;

（3）根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對甲、乙兩部門的評價.

分析 （1）中位數(shù)就是將數(shù)據(jù)按從大到小或從小到大的順序重新排列最中間的數(shù)或最中間兩個數(shù)的平均數(shù);（2）要求高于90的概率，就是要數(shù)出高于90的個數(shù);（3）由所給的莖葉圖來評價一組數(shù)據(jù)，主要看兩個指標，一個是中位數(shù)，另一個是標準差，其中從莖葉圖來觀察，數(shù)據(jù)越集中，其標準差越小，反之就越大.

解 （1）由所給的莖葉圖知，50位市民對甲部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是75，75，因此樣本中位數(shù)是75，所以該市的市民對甲部門評分的中位數(shù)的估計值是75. 50位市民對乙部門的評分由小到大排序，排在第25，26位的是66，68，因此樣本中位數(shù)是66+682=67，所以該市的市民對乙部門評分的中位數(shù)的估計值是67.

（2）由所給的莖葉圖知，50位市民對甲、乙兩部門的評分高于90的比率分別為550=0.1，850=0.16，所以該市的市民對甲、乙兩部門的評分高于90的概率的估計值分別為0.1，0.16.

（3）由所給的莖葉圖知，市民對甲部門的評分的中位數(shù)高于對乙部門的評分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對甲部門的評分的標準差要小于對乙部門的評分的標準差，說明該市的市民對甲部門的評價較高、評價較為一致，對乙部門的評價較低、評價差異較大.

點評 此題是文科的高考數(shù)學(xué)的統(tǒng)計題，求解此類題的關(guān)鍵是要熟練掌握統(tǒng)計學(xué)中的基本概念.

四、樣本的數(shù)字特征

例4（2019全國Ⅱ，文5）演講比賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成績時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是（? ）.

A.中位數(shù) B.平均數(shù) C.方差 D.極差

解析 9個數(shù)據(jù)從低到高排列后，第5個數(shù)據(jù)為中位數(shù)，去掉第1個和最后1個數(shù)據(jù)后，中間的數(shù)據(jù)即中位數(shù)不變.故選A.

點評 本題考查的是數(shù)字特征，考查了數(shù)據(jù)處理能力;求解本題的關(guān)鍵是對中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差的本質(zhì)的理解.

五、相關(guān)關(guān)系的判斷與線性回歸方程

例5 （2016全國Ⅲ，理18）下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量（單位：億噸）的折線圖.

（1）由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明;

（2）建立y關(guān)于t的回歸方程（系數(shù)精確到0.01），預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量.

參考數(shù)據(jù)：7i=1yi=9.32，7i=1tiyi=40.17，7i=1（yi-y）2=0.55，

7≈2.646.

參考公式：相關(guān)系數(shù)r=7i=1（ti-t）（yi-y）

7i=1（ti-t）2

7i=1（yi-y）2

回歸方程y∧=a∧+b∧t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：

b∧=7i=1（ti-t）2（yi-y）27i=1（ti-t）2，a∧=y-b∧t.

分析 （1）利用所給的數(shù)據(jù)和公式，求出相關(guān)系數(shù)r即可判斷出相關(guān)程度;（2）利用所給的數(shù)據(jù)及公式代入即可求出線性回歸方程，再把2016年對應(yīng)的t=9代入即可得出結(jié)論.

解 （1）由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得

t-=4，7i=1（ti-t-）2=28，7i=1（yi-y-）2=0.55， 7i=1（ti-t-）（yi-y-）=7i=1tiyi-t-7i=1yi

=40.17-4×9.32=2.89.所以r≈2.890.55×2×2.646≈0.99.因為y與t的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說明y與t的線性相關(guān)程度相當(dāng)高，所以可以用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系.

（2）由y-=9.327≈1.331及（1），得b∧=7i=1（ti-t-）（yi-y-）7i=1（ti-t-）2=2.8928≈0.103，a∧=y--b∧t-≈1.331-0.103×4≈0.92.所以y關(guān)于t的回歸方程為y∧=0.92+0.10t.將2016年對應(yīng)的t=9代入回歸方程，得y∧=0.92+0.10×9=1.82.所以預(yù)測2016年我國生活垃圾無害化處理量將約為1.82億噸.

點評 本題考查的線性相關(guān)與線性回歸方程的求法與應(yīng)用;回歸方程的擬合的效果可以利用相關(guān)系數(shù)來判斷，因此準確計算相關(guān)系數(shù)是關(guān)鍵，當(dāng)r越趨近于1時，表明兩變量的線性相關(guān)性越強;求解線性回歸方程的關(guān)鍵是確定a∧，b∧.

六、獨立性檢驗

例6 （2019全國Ⅰ，文17）某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場的服務(wù)給出滿意或不滿意的評價，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意男顧客40

10女顧客3020

（1）分別估計男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率.

（2）能否有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異？

附：K2=n（ad-bc）2（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）.

P（K2≥k）0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

分析 （1）利用題表可以直接算出相應(yīng)的概率;

（2）將題表數(shù)據(jù)代入公式計算出K2的值，再與表中的k比較，即可作出相應(yīng)的判斷.

解 （1）由調(diào)查數(shù)據(jù)，男顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為4050=0.8，因此男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計值為0.8.女顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為3050=0.6，因此女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計值為0.6.

（2）K2=100×（40×20-30×10）250×50×70×30≈4.762.由于4.762>3.841，故有95%的把握認為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價有差異.

點評 本題考查概率的計算、獨立性檢驗;求解獨立性檢驗有關(guān)問題的關(guān)鍵是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)正確列出2×2列聯(lián)表以及根據(jù)公式準確計算出K2的觀測值k，若K2的值越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.

? 參考文獻：

[1]杜紅全.追蹤考題? 曬曬考點——“復(fù)數(shù)”高考考點題型歸類析與練[J].數(shù)理化解題研究，2020（01）：7-8.

[責(zé)任編輯：李 璟]