借助變式 活化思維

摘 要：眾所周知，高中數(shù)學(xué)和人們生活存在著緊密關(guān)聯(lián)，然而，因為高中階段的數(shù)學(xué)知識太過復(fù)雜抽象，這大大提升了高中生的學(xué)習(xí)難度.為對這個狀況加以解決，多數(shù)教師都非常重視變式教學(xué)，通過變式教學(xué)能夠擴(kuò)展高中生解題思路，促使其數(shù)學(xué)思維變得更加多變靈活，進(jìn)而提升其綜合能力.基于此，本文旨在對高中階段數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中的變式訓(xùn)練展開探究，希望能對實際教學(xué)有所幫助.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);變式;課堂教學(xué)

中圖分類號：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0064-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：樊彪（1982-），男，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、在情境創(chuàng)設(shè)當(dāng)中應(yīng)用變式

良好開始等于成功的一半.教學(xué)期間，數(shù)學(xué)教師需對導(dǎo)入情境進(jìn)行創(chuàng)設(shè)，這樣可以快速吸引高中生注意力，促使其在具體情境當(dāng)中對問題展開思考以及探究.例如，進(jìn)行“指數(shù)函數(shù)”教學(xué)期間，數(shù)學(xué)教師可設(shè)計一些活動，然后設(shè)計相應(yīng)的變式問題，以此來設(shè)置有關(guān)的教學(xué)情境，激活高中生思維.首先，教師可把一張A4紙平均撕成兩半.之后，把這撕下來的兩個部分重疊，之后對折.在此之后，再重疊并且再對折，一直重復(fù)上邊實踐過程，如果已知A4紙厚度為0.15毫米.問題一：假設(shè)教師第四次進(jìn)行撕紙之時，同學(xué)們估計這些紙這時厚度為多少？問題二：假設(shè)教師第八次進(jìn)行撕紙之時，同學(xué)們估計這些紙這時厚度為多少？問題三，假設(shè)教師第十六次進(jìn)行撕紙之時，同學(xué)們估計這些紙這時厚度為多少？問題四：知道A4紙厚度與對折四處，那么對應(yīng)撕紙以后紙的厚度應(yīng)當(dāng)怎樣計算？問題五：對以上問題進(jìn)行觀察，想一想上述數(shù)據(jù)間存在什么聯(lián)系？是否存在函數(shù)關(guān)系？把可視化的實踐活動與變式問題進(jìn)行結(jié)合，完成導(dǎo)入情境的創(chuàng)設(shè)，可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考以及逐步探究，逐漸引導(dǎo)高中生對指數(shù)函數(shù)進(jìn)行認(rèn)識以及探索.

? 二、在概念教學(xué)當(dāng)中應(yīng)用變式眾所周知，數(shù)學(xué)概念乃是數(shù)學(xué)知識當(dāng)中的重要部分，其是數(shù)學(xué)知識這一體系的重要脊梁.高中生只有對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行有效理解以及掌握，才可以對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行掌握.而在概念教學(xué)當(dāng)中應(yīng)用變式，可以引導(dǎo)高中生對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行全面認(rèn)識，促使高中生對于概念內(nèi)涵以及外延進(jìn)行深入理解，把數(shù)學(xué)概念進(jìn)行有效聯(lián)結(jié)，進(jìn)而讓整個概念體系變得越發(fā)豐富以及完善，讓高中生對于數(shù)學(xué)知識進(jìn)行深入認(rèn)識以及理解.

比如，進(jìn)行“拋物線”教學(xué)期間，數(shù)學(xué)教師可引導(dǎo)高中生由典型問題著手，借助變式逐漸對知識體系進(jìn)行完善.典型問題為：A（a，3）為拋物線y2=2px上的點，已知其和拋物線的焦點間距離是4，求a值與p值.

分析 上述問題屬于典型基礎(chǔ)問題，針對學(xué)生而言，套用公式便可快速求出答案.教師教學(xué)可將基礎(chǔ)實施變式，進(jìn)而推動學(xué)生對知識進(jìn)行全面理解.

變式1 已知一個動點A到直線x+4=0的距離和其到定點P（2，0）距離的差為2，求點A的軌跡方程.

通過變式1，高中生可以對拋物線之上點運動軌跡進(jìn)行深入研究，和典型問題相比，變式1這個問題可以促使高中生對基礎(chǔ)概念進(jìn)行理解.

變式2 已知點P坐標(biāo)是（6，4），而且拋物線x2=4y之上存在一個動點A，求A到點P間的距離和其到x軸距離之和的最小值.

變式2是在變式1基礎(chǔ)之上進(jìn)行的提高，難度加大很多.然而，緊扣拋物線這個核心概念，由基礎(chǔ)題到兩個變式問題，問題難度不斷提高，可以促使高中生的數(shù)學(xué)思維逐漸發(fā)展，促使其對基礎(chǔ)概念進(jìn)行透徹以及全面理解.

針對概念教學(xué)來說，通過變式可以幫助高中生對概念進(jìn)行深刻理解，進(jìn)而為其深入學(xué)習(xí)奠定扎實基礎(chǔ)，有效培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)思維.

? 三、在探究活動當(dāng)中運用變式

若想提升數(shù)學(xué)教學(xué)的整體效果，教師需引導(dǎo)高中生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行自主探究，突出高中生具有的主體地位.所以，數(shù)學(xué)教師可把探究活動和變式進(jìn)行結(jié)合，通過變式問題來引領(lǐng)高中生對知識展開深入探究，這樣可以促使教學(xué)效果不斷提升.當(dāng)高中生完成學(xué)習(xí)以后，可以有效提高高中生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及探究能力.

比如，進(jìn)行“等差數(shù)列”教學(xué)期間，數(shù)學(xué)教師可通過下面變式問題引導(dǎo)高中生展開思考以及探究.

現(xiàn)有一無窮的等差數(shù)列，而且已知該數(shù)列的首項是a1，公差是d，對下列問題進(jìn)行思考以及探究.

問題一 假設(shè)把這個數(shù)列當(dāng)中前m項都去掉，用其他各項構(gòu)成一個新的數(shù)列，問新構(gòu)成的數(shù)列是否依然為等差數(shù)列？如果是等差數(shù)列，求出這個新數(shù)列的首項以及公差;如果并非等差數(shù)列，說明具體理由.

問題二 假設(shè)把原數(shù)列當(dāng)中奇數(shù)項全部取出來，依次構(gòu)成一個新的數(shù)列，問新構(gòu)成的數(shù)列是否依然為等差數(shù)列？如果是等差數(shù)列，求出這個新數(shù)列的首項以及公差;如果并非等差數(shù)列，說明具體理由.

高中生在對等差數(shù)列進(jìn)行學(xué)習(xí)期間，常常會遇到困難，假設(shè)直接忽略概念教學(xué)，直接對概念進(jìn)行運用，常常會讓高中生的思維出現(xiàn)脫節(jié)現(xiàn)象，而且還會對教學(xué)效果造成較大影響.而通過變式把概念教學(xué)變成具體問題，高中生在對具體問題加以解決期間，可以主動進(jìn)行思考，而且所有變式可以有效撞擊高中生思維，有效提升高中生的認(rèn)知能力.

? 四、在習(xí)題教學(xué)當(dāng)中應(yīng)用變式

在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)之中，習(xí)題教學(xué)屬于重要課型，通過習(xí)題教學(xué)能夠讓高中生在解題當(dāng)中對所學(xué)知識進(jìn)行運用，幫助其對所學(xué)知識進(jìn)行不斷內(nèi)化，進(jìn)而培養(yǎng)高中生的解題能力，發(fā)展其數(shù)學(xué)思維，有效培養(yǎng)其核心素養(yǎng).在習(xí)題教學(xué)當(dāng)中對變式加以運用，可以幫助高中生實現(xiàn)舉一反三，通過解答幾道問題而掌握一類問題的解答方法，進(jìn)而提升其學(xué)習(xí)效率.

如圖所示，設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為（-5，0），（5，0），直線AM、BM相交于點M，且它們的斜率之積是-1625，求點M的軌跡.

解 設(shè)M點的坐標(biāo)為x，y，由題意可得：

kAM·kBM=yx+5·yx-5=y2x2-25=-1625x≠±5，

化得x225+y216=1x≠±5.

因此點M軌跡為橢圓：x225+y216=1上除去左右端點-5，0和5，0.

變式1 假設(shè)點A與點B坐標(biāo)為（-5，0）及（5，0），AM與BM交于點M，而且其斜率的積為m，同時m≠0，試求點M軌跡方程.

解 設(shè)M點的坐標(biāo)為x，y，由題意可得：

kAM·kBM=yx+5·yx-5=y2x2-25=mx≠±5，化得x225-y225m=1x≠±5

當(dāng)m<0時，點M軌跡為橢圓：x225+y2-25m=1，除去左右端點-5，0和5，0.

當(dāng)m>0時，點M的軌跡是雙曲線x225-y225m=1，除去左右頂點（-5，0）和（5，0）.

變式2 已知橢圓方程為x2a2+y2b2=1上任意一點M，橢圓兩個頂點為點A與點B，坐標(biāo)分別是（-a，0）和（a，0），試求AM與BM斜率的積.

解 設(shè)AM與BM斜率的積是k，由題意可得：kAM·kBM=yx+a·yx-a=y2x2-a2

通過上述變式訓(xùn)練，可以幫助高中生對橢圓軌跡問題的解答方法進(jìn)行有效掌握.

綜上可知，在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)之中進(jìn)行變式教學(xué)，可以有效發(fā)散高中生思維，幫助高中生對所學(xué)知識進(jìn)行內(nèi)化，促使其綜合能力不斷提升.數(shù)學(xué)教師可在情境創(chuàng)設(shè)、概念教學(xué)以及習(xí)題教學(xué)當(dāng)中應(yīng)用變式，這樣可以促使教學(xué)效果不斷提升.

? 參考文獻(xiàn)：

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[3]計進(jìn).以思想為主導(dǎo) 設(shè)計變式題組——高中數(shù)學(xué)“等差數(shù)列和二次函數(shù)”的課例研究[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2019（11）：24-25，29.

[責(zé)任編輯：李 璟]