橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的變式探究

摘 要：求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是橢圓中的基本問題，此類問題變化多端，理解常見的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的變化題型，能夠?qū)υ擃愒囶}的掌握起到關(guān)鍵性作用.

關(guān)鍵詞：橢圓;標(biāo)準(zhǔn)方程;變式探究

中圖分類號(hào)：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A????? 文章編號(hào)：1008-0333（2020）34-0029-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：程傳芝，女，中學(xué)高級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、規(guī)律分析

高考對(duì)橢圓的考查多以解答題的形式考查，也有少數(shù)年份在客觀題中進(jìn)行考查.以選擇題、填空題的形式考查橢圓的定義、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、標(biāo)準(zhǔn)方程等問題;以解答題的形式考查橢圓的性質(zhì)、直線與橢圓的關(guān)系、與其它知識(shí)交匯（如平面向量），涉及到最值問題、定值（定點(diǎn)）問題、幾何量的取值范圍問題，以及存在型探索性問題.預(yù)計(jì)2021年高考對(duì)橢圓的命題有以下特點(diǎn)：（1）以選擇題或填空題考查橢圓的定義和性質(zhì)，難度中等;（2）以解答題形式重點(diǎn)考查橢圓的綜合問題，多與直線結(jié)合進(jìn)行命題，難度較大.

二、母題探究

母題 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，長、短半軸長之和為10，焦距為45，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（? ）.

A.x26+y24=1? B.x216+y236=1

C.x236+y216D.x249+y29=1

解析 由長、短半軸長之和為10，焦距為45，可得a+b=10，2c=45，∴c=25.又a2=b2+c2，聯(lián)立a+b=10，a2-b2=20，可解得a=6，b=4.

∵焦點(diǎn)在x軸上，∴所求橢圓方程為x236+y216=1.故選C.

點(diǎn)評(píng) 根據(jù)條件求橢圓方程常用的主要方法有：

（1）定義法，定義法的要點(diǎn)是根據(jù)題目所給的條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義;

（2）待定系數(shù)法，待定系數(shù)法的要點(diǎn)是根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的兩個(gè)系數(shù)a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n），再用待定系數(shù)法求出m，n的值即可.

三、變式分析

變式1 （已知離心率求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓過點(diǎn)A（-3，0），且離心率e=53，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

解析 若焦點(diǎn)在x軸上，由題知a=3，因?yàn)闄E圓的離心率e=ca=53，所以c=5，b=2.所以橢圓方程是x29+y24=1.若焦點(diǎn)在y軸上，則b=3，a2-c2=9，又離心率e=ca=53，解得a2=814.故橢圓的標(biāo)方程是

y2814+x29=1.

變式2 （變換條件求橢圓方程）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的離心率為63，直線l：y=13x與橢圓E相交于A，B兩點(diǎn)，AB=210，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

解析 由離心率不妨設(shè)a=3m，c=6m，b=3m（m>0），則橢圓方程為x29m2+y23m2=1.與直線y=13x聯(lián)立，可得x2=274m2，x=±332m，x1-x2=33m，且1+k2=103，由弦長公式33m×103=210，解得m=23，據(jù)此可得橢圓方程為x212+y24=1.

變式3 （變?yōu)槔命c(diǎn)差法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程）已知橢圓E： x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F3，0，過點(diǎn)F的直線交E于A、B兩點(diǎn).若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為1，-1，則E的方程為（?? ）

A.x245+y236=1?? B.x236+y227=1

C.x227+y218=1D.x218+y29=1

解析 設(shè)Ax1，y1，Bx2，y2，直線AB的斜率 k=-1-01-3=12.x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，兩式相減得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0，∴1a2+1b2×12×2-2=0，即a2=2b2.又c2=9，a2=b2+c2，解得： a2=18，b2=9，方程是x218+y29=1，故選D.

? 參考文獻(xiàn)：

[1]沈杰.關(guān)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2005（09）：13.

[2]陳明輝.橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)方法的探究[J].中學(xué)生數(shù)理化（學(xué)研版），2015（04）：32-33.

[3]陳國林.橢圓中的最值問題歸納[J].數(shù)理化解題研究，2017（31）：11-12.

[責(zé)任編輯：李 璟]