論高中數(shù)學(xué)圓錐曲線解題技巧

摘 要：高中數(shù)學(xué)圓錐曲線習(xí)題以計算繁瑣而著稱，是學(xué)生測試中最常失分的習(xí)題類型.教學(xué)中應(yīng)注重講解相關(guān)的解題技巧，尤其為學(xué)生講解解題技巧的具體應(yīng)用，提高學(xué)生應(yīng)用解題技巧解答圓錐曲線習(xí)題的意識以及解題能力，幫助學(xué)生樹立解題自信.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);圓錐曲線;解題;技巧

中圖分類號：G632????? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A????? 文章編號：1008-0333（2020）34-0035-02

收稿日期：2020-09-05

作者簡介：王素榮（1979.3-），女，安徽省界首人，本科，中學(xué)一級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

一、結(jié)論法解題

圓錐曲線教學(xué)中應(yīng)注重與學(xué)生一起推導(dǎo)相關(guān)結(jié)論，要求學(xué)生做好結(jié)論的總結(jié)，尤其應(yīng)注重在解題中為學(xué)生展示運(yùn)用結(jié)論法解題的過程，使學(xué)生感受運(yùn)用結(jié)論法解題的便利，從而更加積極主動地學(xué)習(xí)、記憶相關(guān)結(jié)論，為迅速解答圓錐曲線習(xí)題做好鋪墊.

例1 已知橢圓方程為x225+y29=1，點P為該橢圓上一點，F(xiàn)1、F2分別為橢圓的左右焦點，若PF1·PF2|PF1||PF2|=12，則△F1PF2的面積為（? ）.

A.33? B.23? C.3? D.3/3

該題目如使用常規(guī)方法，計算量比較大，很多學(xué)生計算時半途而廢，無法得出最終結(jié)果.事實上，該題目為焦點三角形問題，即，橢圓任意一點P和兩個焦點構(gòu)成的三角形為焦點三角形.焦點三角形的面積計算公式為S△F1PF2=b2tanθ2，b為橢圓的短半軸長，θ為∠F1PF2的大小.該題目可使用該結(jié)論甚至能夠口算出結(jié)果.由平面向量的數(shù)量積可得cosθ=PF1·PF2|PF1||PF2|=12，可知θ=60°，又∵b2=9，則S△F1PF2=b2tanθ2=9×tan30°=33，正確選項為A.

二、特殊值法解題

遇到圓錐曲線習(xí)題時可結(jié)合已知條件對相關(guān)的線段長度進(jìn)行巧妙的賦值，以迅速計算出正確結(jié)果.教學(xué)中為提高學(xué)生運(yùn)用特殊值法解題的意識，應(yīng)注重為學(xué)生展示相關(guān)例題，要求學(xué)生采用常規(guī)方法以及特殊值法進(jìn)行解題，感受特殊值法解題的魅力，啟發(fā)其在以后的解題中應(yīng)先不要急于動筆作答而應(yīng)積極思考，運(yùn)用特殊值法求解.

例2 已知F1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，點P為該橢圓上一點，PF1⊥PF2，∠PF2F1=60°，則C的離心率為（? ）.

A.1-32? B. 2-3? C.3-12? D.3-1

該題目如采用常規(guī)方法計算繁瑣，浪費(fèi)較長時間，在考試中是不可取的.根據(jù)給出的已知條件使用特殊值法可獲得事半功倍的解題效果.根據(jù)題意可設(shè)PF2=1，∵PF1⊥PF2，∠PF2F1=60°，則F2F1=2，PF1=3，即，2a=PF2+PF1=3+1，2c=F2F1=2，則e=2c/2a=3-1，正確選項為C.

三、參數(shù)方程法解題

圓錐曲線部分習(xí)題具有一定的技巧性，如采用常規(guī)思路難以作答，而采用參數(shù)方程法，將問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，可使原本看似復(fù)雜的題目被順利突破.教學(xué)中為使學(xué)生掌握運(yùn)用參數(shù)方程法解題的技巧，應(yīng)注重為學(xué)生補(bǔ)充圓錐曲線相關(guān)參數(shù)方程，使學(xué)生搞清楚參數(shù)方程各參數(shù)表示的含義.同時，優(yōu)選、精講相關(guān)習(xí)題，給學(xué)生帶來解題上的啟發(fā).

例3 已知橢圓C的方程為x24+y2=1，點P為該橢圓在第一象限上的一點，A為左頂點，B為下頂點，PA交y軸于點C，PB交x軸于點D，若CD∥AB，則P的坐標(biāo)為.

該題目難度較大，為使學(xué)生掌握運(yùn)用參數(shù)方程解題的技巧，應(yīng)注重為學(xué)生板書采用橢圓參數(shù)方程解題的具體過程，使學(xué)生認(rèn)真揣摩，爭取掌握.由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程不難得出橢圓的參數(shù)方程，從而可設(shè)點P的坐標(biāo)為（2cosθ，sinθ），∵P在第一象限，則θ∈（0，π2）.A（-2，0），B（0，-1），直線PA、PB的斜率分別為kPA=sinθ2cosθ+2，kPB=sinθ+12cosθ，直線AB的斜率kAB=-12.則對應(yīng)直線PA、PB的方程分別為y=sinθ2cosθ+2（x+2），y+1=sinθ+12cosθx，容易求得C（0，sinθcosθ+1），D（2cosθsinθ+1，0）.∵CD∥AB，則kCD=kAB，求得θ=π4，則P的坐標(biāo)為（2，22）.

四、數(shù)形結(jié)合法解題

數(shù)形結(jié)合是一種常用的解題思想.通過數(shù)形結(jié)合可使抽象的問題直觀化，盡快地找到參數(shù)之間的關(guān)系順利破題.圓錐曲線解題教學(xué)中應(yīng)注重設(shè)計相關(guān)習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合思想求解，啟發(fā)其在以后的解題中結(jié)合圖形以及所學(xué)的幾何知識巧妙解題.

例4 已知雙曲線方程為x2-y23=1，F(xiàn)1、F2為其左右焦點，△PF1F2的內(nèi)切圓和x軸相切于點M，則MP·MF2的值為.

解答該題需要根據(jù)題意繪制出對應(yīng)的圖形，結(jié)合圖形、雙曲線圖1、圓的知識找到參數(shù)之間的關(guān)系，以達(dá)到順利解題的目的.根據(jù)題意繪制如圖1所示的圖形，

如圖設(shè)N、H分別為直線PF1和PF2和圓的切點.設(shè)M點的坐標(biāo)為（x，0）.由雙曲線的定義容易得到|PF1|-|PF2|=2，由圓的切線知識可知|PN|=|PH|，|NF1|-|HF2|=2，即，|MF1|-|MF2|=2，則（x+2）-（2-x）=2，得到x=1，M（1，0），則MP·MF2=（2-1，3）·（2-1，0）=2-1.

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重點、難點知識.相關(guān)習(xí)題的難度較大，很多學(xué)生望而生畏.為幫助學(xué)生樹立解題自信，教學(xué)中既要注重傳授相關(guān)的解題技巧，又要鼓勵學(xué)生在解題中多加應(yīng)用，減少不必要的計算，提高解題效率，并不斷總結(jié)應(yīng)用解題技巧時的注意事項，爭取真正地掌握，實現(xiàn)圓錐曲線解題能力的顯著提升.

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[責(zé)任編輯：李 璟]