APOS理論下的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及其培養(yǎng)

張麗鵑

摘 要：人們在使用、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時，漸漸產(chǎn)生并發(fā)展了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，其一般由五個方面的數(shù)學(xué)基本特征概括展現(xiàn)：一是價值觀;二是立場;三是感情;四是關(guān)鍵能力;五是思維品質(zhì)，它也是數(shù)學(xué)教育需要達到的主要目標之一[1]。數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個方面中，不論是對學(xué)生的發(fā)展還是學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)抽象是最為重要的。概念形成本身就是一個不具象的歷程，因此主要針對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的APOS理論構(gòu)建主義學(xué)說對于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)極具推波助瀾之力。所以，筆者遵循高中數(shù)學(xué)新課標的教學(xué)意見，堅持一切圍繞學(xué)生自身發(fā)展，以優(yōu)化傳統(tǒng)教學(xué)模式為導(dǎo)向，將“方程的根與函數(shù)的零點”作為范例，討論APOS學(xué)說中，重在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);APOS理論;數(shù)學(xué)抽象;教學(xué)設(shè)計

一、APOS理論基本概述

APOS理論基于建構(gòu)主義，主要用于解決兩個方面的問題：一是了解學(xué)生通過何種方式學(xué)習(xí);二是研究怎么樣設(shè)計教學(xué)方案能夠適應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)水平，美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基（Ed Dubinsky）提出了這個理論，所提出的“四步法”教學(xué)模型，即：一是圖示（schemas）;二是對象（objects）;三是過程（processes）;四是活動（actions），主要針對于數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一種教學(xué)模型[2-3]?！盎顒印彪A段主要是指學(xué)習(xí)者通過一系列的活動對新知進行具體感知?！俺绦颉彪A段主要是指學(xué)習(xí)者將初步具體感知的新概念抽象化，內(nèi)化為一種特別的程序算法?！皩ο蟆彪A段主要是指學(xué)習(xí)者進一步理解活動和過程，以更高的視角分析概念間的關(guān)系，能夠自行根據(jù)程序構(gòu)建類比程序?！皥D式”階段是學(xué)習(xí)者對活動、程序、圖式以及相關(guān)知識進行整合，以形成具體的認知框架[2]。

二、如何有效培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個方面中，數(shù)學(xué)抽象是最為重要的，高中學(xué)校授課常常圍繞數(shù)學(xué)抽象開展，它是理性思維的基石以及數(shù)學(xué)的基本思想之一，實質(zhì)就是使用抽象的形式，得到研究客體的素養(yǎng)，一般使用的形式有兩種：一是空間形式;二是數(shù)量關(guān)系。數(shù)學(xué)抽象可分為弱抽象和強抽象，弱抽象即概念擴張式抽象，強抽象即概念強化式抽象[3]，具體應(yīng)用到數(shù)學(xué)概念的課堂教學(xué)之中，弱抽象具體指通過對具體例子抽象歸納出共性，形成初步的概念模型，強抽象具體指對新概念的更深層次的理解[4-5]。

已有的研究表明，學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的掌握過程就是數(shù)學(xué)抽象思維的發(fā)展過程，這種抽象思維具有較強的年齡規(guī)律，而高中階段的學(xué)生恰好處于最佳的年齡階段，因此，老師應(yīng)該結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗，對關(guān)鍵期的教學(xué)給予更多的重視，促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的良好發(fā)展。此外，老師要把握好以下教學(xué)策略。

（一）注重概念形成過程的教學(xué)

從數(shù)學(xué)教育心理學(xué)可以看出，數(shù)學(xué)抽象的培養(yǎng)需要一個過程：第一步，全面的感知事物;第二步，對本質(zhì)特征進行簡單歸納;第三步，符號表征;第四步，進行更加深刻的遷移、推演、歸納，這就是人們正確認識客觀事物的規(guī)律。因此，老師在編寫教學(xué)設(shè)計時，除了要把握一節(jié)課的整體性，還要注重每個教學(xué)環(huán)節(jié)，既要注重每個教學(xué)過程，保證每個環(huán)節(jié)的完整性，同時要保證環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)之間的連貫性。

（二）加深概念理解

每個數(shù)學(xué)概念都是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物，因此，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)抽象培養(yǎng)的關(guān)鍵點。因此，老師可以運用問題導(dǎo)向，將問題設(shè)計環(huán)環(huán)相扣，避免學(xué)生領(lǐng)會概念出現(xiàn)過于狹窄的情況，深化概念，在對所學(xué)新概念歸納出一般特征之后，進而要構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，加強數(shù)學(xué)知識的聯(lián)結(jié)性，形成知識體系。

（三）強化概念的具體運用

強化實踐過程中概念的使用，將感到不具象的概念使用在實踐中，這不僅對學(xué)生個人的發(fā)展至關(guān)重要，同時對我們整個社會的發(fā)展也是至關(guān)重要的。概念教學(xué)不僅要重視從不同事物中抽象出共性得出新概念，同時也要重要用新概念解決具體的實際問題。實踐是檢驗真理的唯一標準，當(dāng)我們學(xué)到一個新的東西，不加以應(yīng)用，就不能感受其精髓，同時也不能實現(xiàn)其價值。此外，根據(jù)“以人的發(fā)展為本”，也應(yīng)該鼓勵學(xué)生學(xué)以致用。

三、基于APOS理論的重在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計

（一）課例背景

“方程的根與函數(shù)的零點”在近幾年的高考中歷次出現(xiàn)。課程內(nèi)容知識點主要包括：一是函數(shù)的概念與性質(zhì);二是一次函數(shù);三是二次函數(shù);四是指數(shù)函數(shù);五是對數(shù)函數(shù)，課程使用實例用以加深學(xué)生對于函數(shù)建模方法以及過程的認知，課程將集中討論兩個方面問題：一是函數(shù)零點的概念;二是零點的求法，其蘊含的函數(shù)與方程、數(shù)學(xué)抽象等數(shù)學(xué)思想，三個方面的數(shù)學(xué)方法：一是歸納類比;二是形數(shù)結(jié)合;三是分類探討，三個方面的數(shù)學(xué)思維：一是從特殊到一般;二是從具體到抽象;三是從抽象到具體。教學(xué)難點有一個：零點的確定。教學(xué)重點有兩個：一是函數(shù)零點的概念;二是零點的求法。

（二）教學(xué)過程

基于APOS 理論、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和本節(jié)課的分析，本節(jié)課的設(shè)計過程如下： 感知情境，引出概念; 數(shù)形結(jié)合，深化概念; 學(xué)以致用，鞏固新知; 遷移創(chuàng)新，拓展延伸; 應(yīng)用舉例，加深鞏固。其中，“弱抽象”環(huán)節(jié)是數(shù)形結(jié)合，深化概念; “強抽象”環(huán)節(jié)是學(xué)以致用，鞏固新知; “二次強抽象”環(huán)節(jié)是遷移創(chuàng)新，拓展延伸和應(yīng)用舉例。

1.活動（actions）階段——創(chuàng)設(shè)情境，引出概念

首先，給定二次函數(shù)與其對應(yīng)一元二次方程，要求學(xué)生根據(jù)給定內(nèi)容，進行作圖和求解，并注意對應(yīng)方程、x軸交點、函數(shù)圖象之間的聯(lián)系。

接著，提出猜想，是否所有函數(shù)圖象都滿足此關(guān)系，變換二次函數(shù)，引領(lǐng)學(xué)生動手作圖，分組探討函數(shù)圖象與x軸的交點與其對應(yīng)一元二次方程的根的關(guān)系，探其原由，并讓學(xué)生主動分享小組結(jié)論，教師予以補充完善。

最后，拋出零點概念，引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點與方程根的關(guān)系。

設(shè)計意圖：根據(jù)APOS理論活動階段教學(xué)，教師以求解方程的根和函數(shù)與x軸的交點為切入，讓學(xué)生經(jīng)歷動手操作、觀察猜想、合作探討、分享交流四階段教學(xué)活動，使學(xué)生對函數(shù)圖象與x軸的交點和對應(yīng)方程的跟的關(guān)系擁有直觀體驗。這不僅有助于學(xué)生進一步理解函數(shù)零點與方程根的關(guān)系，還能夠有效激發(fā)學(xué)習(xí)積極性，引導(dǎo)學(xué)生探索知識的主觀能動性[6-7]，在學(xué)習(xí)中得到心理滿足，讓他們深度參與到授課過程中，為課堂的深入展開埋好伏筆。

2.程序（processes）階段——數(shù)形結(jié)合，深化概念

（1）零點的求法

經(jīng)過活動階段，順水推舟，如果方程沒有實數(shù)根，x軸和函數(shù)圖象就不會有交點，函數(shù)不存在零點。也就是說，函數(shù)的零點與方程的根以及函數(shù)圖象與x軸的交點密切相關(guān)，這里帶領(lǐng)學(xué)生歸納出，當(dāng)直接求零點有困難時，可以轉(zhuǎn)向與之有關(guān)聯(lián)的“函數(shù)圖象的交點”和“方程的根”，進一步歸納，得出函數(shù)零點的求解方法，函數(shù)y=f（x）存在零點函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有交點（幾何法）方程f（x）=0有實根（代數(shù)法）。

（2）判定二次函數(shù)零點個數(shù)

首先，老師用ppt呈現(xiàn)反比例函數(shù)、二次函數(shù)、一次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生觀察函數(shù)圖象，從函數(shù)圖象與x軸的交點個數(shù)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的函數(shù)圖象與x軸沒有交點，對數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的函數(shù)圖象與x軸有一個交點，但二次函數(shù)圖象與x軸的交點情況有三種。

接著，老師提問：怎么判定二次函數(shù)的零點到底有幾個呢？

然后，老師帶領(lǐng)學(xué)生用“代數(shù)法”探索二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的零點。這里讓學(xué)生回憶起一元二次方程的根的求法中重要的△，知道了△，便可知一元二次方程的根的情況，函數(shù)零點和方程的根又存在關(guān)聯(lián)，這樣就獲取了函數(shù)零點的情況。

設(shè)計意圖：這一環(huán)節(jié)是對新概念“弱抽象”。借助已學(xué)基本初等函數(shù)的圖象，從知識和方法兩方面引導(dǎo)學(xué)生，讓學(xué)生以新視角觀察已學(xué)知識，對零點的認識從具體上升到抽象，在腦海中形成能準確識別函數(shù)零點的“程序”，運用活動階段探究的零點概念建構(gòu)程序，又運用程序階段對概念進行加工生成對相應(yīng)的“算法”（若函數(shù)是二次函數(shù)，算法即是借助△判定），反作用于零點個數(shù)的判定[8]，這樣前呼后應(yīng)加深對函數(shù)的零點的理解，同時也做到溫故而知新。

3.對象（objects）階段——學(xué)以致用，鞏固新知

首先，讓學(xué)生判定二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3的零點個數(shù)。（運用程序過程的“算法”），隨后給出二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3的圖象，引導(dǎo)學(xué)生做以下工作：

（1）計算f（-2）、f（1）、f（2）、f（4）;

（2）將f（-2）·f（1）與0作比較，函數(shù)f（x）=x2-2x-3在區(qū)間[-2，1]上有無零點？

（3）將f（2）·f（4）與0作比較，函數(shù)f（x）=x2-2x-3在區(qū)間[2，4]上有無零點？

（4）將f（-2）·f（4）與0作比較，函數(shù)f（x）=x2-2x-3在區(qū)間[-2.4]上有無零點？

學(xué)生可以取得結(jié)論：當(dāng)函數(shù)值的乘積小于0時，函數(shù)f（x）=x2-2x-3在區(qū)間上有零點。

然后，老師提出問題：如果零點在f（x）=x2-2x-3區(qū)間上存在，函數(shù)值的乘積必定大于0嗎？接著，老師帶領(lǐng)學(xué)生作出猜想：是否對任何函數(shù)都能得出同樣的結(jié)論。

接著，讓學(xué)生任意畫函數(shù)圖象進行觀察分析，相互交流，指導(dǎo)進行概括：

如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）·f（b）<0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點，即存在c∈（a，b），得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的根，反之不成立。

進一步，老師設(shè)問：上述命題在什么情況下反之成立呢？然后先讓學(xué)生觀察二次函數(shù)f（x）=x2-2x-3在[-2，1]、[2，4]、[-2，4]這三個區(qū)間上的函數(shù)圖象，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)當(dāng)圖象單調(diào)時，上述命題反之成立。老師在這里重點指出：函數(shù)的單調(diào)性在函數(shù)零點中的重要作用。

設(shè)計意圖：這一環(huán)節(jié)是對新概念“強抽象”。通過引入新特征——函數(shù)的單調(diào)性來強化對零點的認識，函數(shù)的單調(diào)性在函數(shù)零點中的重要作用，然后承上啟下，通過多種數(shù)學(xué)思想方法的有機結(jié)合，提升學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象水平，這里使用的數(shù)學(xué)方法有：一是遞推;二是歸納;三是分類討論;四是數(shù)形結(jié)合。

4、圖式（schemas）階段——遷移創(chuàng)新，拓展延伸;應(yīng)用舉例，練習(xí)鞏固

首先，老師給出例題：求函數(shù)f（x）=1nx+2x-6的零點的個數(shù)？

然后，老師提問：能否用代數(shù)法？一般說來，學(xué)生不會解方程1nx+2x-6=0，因此這里學(xué)生會轉(zhuǎn)向用幾何法。

再問：若幾何法，你們能畫出函數(shù)圖像嗎？這時學(xué)生可能會猶豫。

又問：如果已知函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，能畫出大致的圖象嗎？此時老師借助計算機給出函數(shù)圖象，使學(xué)生對于兩個方面的體會更加具象：一是零點所在區(qū)間;二是函數(shù)的零點。

五問：函數(shù)是否只有一個零點？然后，老師帶領(lǐng)大家對解析式f（x）=1nx+2x-6進行分析，不難得出f（x）=1nx+2x-6是增函數(shù)，于是只有一個零點。

設(shè)計意圖：這一環(huán)節(jié)進一步將新概念“強抽象”。老師在這里層層遞進地提問，由淺入深，一步步引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)單調(diào)性的角度出發(fā)求函數(shù)的零點，將函數(shù)零點的概念具體化，表面看來似乎是向活動階段的感性的具體的回歸，但這決不是真的回到了感性的具體，而是對新概念的“強抽象”，學(xué)生的認知達到了一個更高的階段[9-10]。

四、總結(jié)與展望

APOS理論的四個環(huán)節(jié)循序漸進，層次由低到高，但每個階段是緊密聯(lián)系的，本課例在每一個環(huán)節(jié)設(shè)置了不同層次的問題，進行問題導(dǎo)引，逐層深入，又在環(huán)節(jié)與環(huán)節(jié)之間設(shè)置了過渡性問題，同時過渡性問題也逐步深入，這樣有利于引導(dǎo)學(xué)生體驗數(shù)學(xué)抽象的整個過程，即：弱抽象——強抽象——二次強抽象，培養(yǎng)其抽象思維，同時保證了一節(jié)課的完整性，也體現(xiàn)了概念教學(xué)的過程性。值得注意的是，并不是每個教學(xué)設(shè)計都有一個強抽象，兩個弱抽象，老師在編寫教學(xué)設(shè)計時，應(yīng)該著眼于具體的教學(xué)內(nèi)容，具體問題具體分析[11]，數(shù)學(xué)抽象教學(xué)過程中，需要強化五個方面能力的培育：一是分析;二是運算;三是想象;四是建模;五是推理，這樣才能使學(xué)生真正體會到數(shù)學(xué)四個方面的價值：一是審美價值;二是文化價值;三是實踐價值;四是科學(xué)價值。

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