依形求義，以形表像，形義互補(bǔ) 數(shù)形結(jié)合在二次函數(shù)教學(xué)中的實(shí)踐探究

黃鈞軍

摘 要：二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考的一個(gè)必考的考點(diǎn)。二次函數(shù)對(duì)學(xué)生的思維和能力要求比較高，它可以和很多知識(shí)點(diǎn)綜合在一起，既可以橫向聯(lián)系，也可以縱向聯(lián)系。解決二次函數(shù)最重要的思想就是數(shù)形結(jié)合。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合可以把復(fù)雜的二次函數(shù)問題簡單化，直觀化。用數(shù)據(jù)來分析函數(shù)的圖像性質(zhì)，用圖像來分析函數(shù)所表達(dá)的含義。通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，相互表達(dá)，加深學(xué)生對(duì)二次函數(shù)知識(shí)的理解和掌握，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和意識(shí)。

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);數(shù)形結(jié)合

學(xué)生學(xué)習(xí)二次函數(shù)的內(nèi)容是九年級(jí)第一學(xué)期，在學(xué)習(xí)二次函數(shù)之前，學(xué)生在八年級(jí)學(xué)習(xí)了一次函數(shù)和反比例函數(shù)，對(duì)于函數(shù)的概念有了一定的了解，一次函數(shù)是刻畫勻速變化的模型，反比例函數(shù)是刻畫定積變化的模型，而二次函數(shù)是刻畫勻變速變化的模型。學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的知識(shí)過程中，對(duì)于二次函數(shù)的圖像特征把握不清晰，對(duì)二次函數(shù)的性質(zhì)掌握不深刻，導(dǎo)致在解決二次函數(shù)的問題的時(shí)候找不到方法，或者適得其反，在二次函數(shù)的問題上花費(fèi)大量時(shí)間而沒有結(jié)果，對(duì)函數(shù)的學(xué)習(xí)也失去了信心，也降低了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。本文從二次函數(shù)的數(shù)和形兩方面進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐探究，通過探究二次函數(shù)的形狀來分析二次函數(shù)的性質(zhì);通過探究二次函數(shù)的數(shù)據(jù)來分析二次函數(shù)的形狀，依形求義，以形表像，形義互補(bǔ)，從而讓學(xué)生更好的掌握二次函數(shù)的知識(shí)。

一、以形論數(shù)，挖掘隱含條件

二次函數(shù)最重要的性質(zhì)就是對(duì)稱性，單調(diào)性和最值。在學(xué)習(xí)二次函數(shù)的圖像的時(shí)候，我們從最簡單的二次函數(shù)y=ax2開始探究，然后通過平移推廣到一般的二次函數(shù)。二次函數(shù)的形狀體現(xiàn)了二次函數(shù)的開口方向，對(duì)稱軸的范圍，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，單調(diào)區(qū)間，最值的范圍等。在觀察二次函數(shù)的圖像的過程中，我們要深刻理解圖形所表達(dá)出來的意義，同時(shí)，挖掘圖形所隱含的條件。

【案例1】如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=1，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論：

①abc>0; ②4ac0;

④方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是x1=-1，x2=3;

⑤當(dāng)y>0時(shí)，x的取值范圍是-1

⑥當(dāng)x<0時(shí)，y隨x增大而增大;

⑦方程ax2+bx+c=5沒有實(shí)數(shù)解。

其中結(jié)論正確的有

分析：對(duì)于上面的例題，通過觀察圖像，開口向下，a<0;對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，b>0;與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，c>0。所以選項(xiàng)①錯(cuò)誤;

二次函數(shù)與x軸有2個(gè)不同的交點(diǎn)，所以b2-4ac>0，選項(xiàng)②正確;

根據(jù)對(duì)稱性，圖像與坐標(biāo)軸的2個(gè)交點(diǎn)是（-1，0）和（3，0），所以選項(xiàng)④正確;

觀察圖像，x=4所對(duì)的函數(shù)值在x軸的下方，所以選項(xiàng)③錯(cuò)誤;

圖像在x軸上方對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍是-1

在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而增大，所以選項(xiàng)⑥正確;

通過計(jì)算，二次函數(shù)的頂點(diǎn)為（1，4），函數(shù)最大值為4，所以選項(xiàng)⑦正確。

根據(jù)以上的分析，本道題的答案為：②④⑤⑥⑦

二、依形求義，判斷取值范圍

在判斷二次函數(shù)的自變量的取值范圍或者函數(shù)的取值范圍的時(shí)候，我們首先要考慮這個(gè)范圍有沒有包含頂點(diǎn)，如果這個(gè)范圍包括二次函數(shù)的頂點(diǎn)，那么自變量的最小值（或者自變量的最大值）所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值不一定是最小值（或最大值），這個(gè)要通過圖像來判斷，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)的時(shí)候，有些同學(xué)把自變量的最小值和最大值代入函數(shù)，得到函數(shù)的最大值和最小值，這個(gè)方法可行，但是如果二次函數(shù)也用這個(gè)方法，就會(huì)產(chǎn)生錯(cuò)誤。

【案例2】已知二次函數(shù)y=（x-2）2-4

（1）求當(dāng)3≤x≤5時(shí)函數(shù)的取值范圍;

（2）求當(dāng)-1≤x≤3時(shí)函數(shù)的取值范圍。

分析：（1）通過對(duì)圖像的觀察，我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)3≤x≤5的時(shí)候，對(duì)應(yīng)的圖像是單調(diào)遞增的。把x=3代入函數(shù)解析式得到函數(shù)最小值;把x=5代入函數(shù)解析式得到函數(shù)的最大值，第1問的答案為-3≤y≤5。

（2）觀察圖像，當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，函數(shù)的圖像經(jīng)過了函數(shù)的頂點(diǎn)。所以當(dāng)x=-1時(shí)，對(duì)應(yīng)的是函數(shù)的最大值;當(dāng)x=2時(shí)，對(duì)應(yīng)的是函數(shù)的最小值，而不是x=3對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。第2問的答案為-4≤y≤5。

【案例3】若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則不等式a（x-2）2+b（x-2）+c<0的解集為________。

分析：觀察給出的函數(shù)圖象，我們發(fā)現(xiàn)圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，分別是（1，0）和（3，0），圖像開口向下。再開看問題：a（x-2）2+b（x-2）+c<0，如果用代數(shù)的方法，我們很難求出問題的取值范圍，如果我們把這兩個(gè)函數(shù)作一個(gè)對(duì)比，你就會(huì)有所發(fā)現(xiàn)：

y=ax2+bx+cy=a（x-2）2+b（x-2）+c

右邊的函數(shù)相當(dāng)于把左邊的函數(shù)向右平移了2個(gè)單位，與x軸的交點(diǎn)也就很容易的找到，新的函數(shù)與x軸的交點(diǎn)為（3，0）和（5，0），從而新函數(shù)小于0的區(qū)間為x<3或x>5。

三、以形表像，比較函數(shù)大小

在進(jìn)行二次函數(shù)教學(xué)的時(shí)候，我們經(jīng)常會(huì)遇到在同一個(gè)函數(shù)中，比較不同自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小，如果我們能利用好函數(shù)的圖像，二次函數(shù)的圖像簡潔、直觀，在圖像上我們就能夠非常簡單的比較不同自變量所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的大小。在處理圖像的時(shí)候，我們要利用好圖像的對(duì)稱性和單調(diào)性。

【案例4】已知（-1，y1），（1，y2），（4，y3）是拋物線上y=x2-4x+m的點(diǎn)，則（ ）

A.y1

C.y3

分析：二次函數(shù)的解析式為：y=x2-4x+m

通過觀察解析式，我們發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)圖像開口向上，二次函數(shù)的a和b已知，我們還可以計(jì)算出它的對(duì)稱軸是x=2，根據(jù)以上的發(fā)現(xiàn)我們畫出二次函數(shù)的大致圖像，然后在圖像上找到x=-1，x=1，x=4所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，比較大小就一清二楚。所以本道題選擇D。

【案例5】已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，函數(shù)y與自變量x的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

x … -1 0 1 2 3 4 …

y … 10 5 2 1 2 5 …

（1）求該二次函數(shù)的關(guān)系式;

（2）若A（m，y1），B（m+1，y2）兩點(diǎn)都在該函數(shù)的圖象上，試比較y1與y2的大小。

圖1

圖2

圖3

分析：通過觀察列表，我們發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的頂點(diǎn)是（2，1），可以通過頂點(diǎn)式求出二次函數(shù)的解析式，也可以通過三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)來求函數(shù)解析式。解析式為：y=（x-2）2+1。

第2問含有參數(shù)，我們需要進(jìn)行分類討論。首先我們考慮當(dāng)y1與y2關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的情況，如圖1，此時(shí)，m=1.5。如果m<1.5，y1與y2在圖像上向左移動(dòng)，如圖2，y1>y2;如果m>1.5，y1與y2在圖像上向右移動(dòng)，如圖3，y1y2;m>1.5，y1

四、以數(shù)論形，數(shù)據(jù)支撐圖形

二次函數(shù)的圖像是無數(shù)個(gè)符合條件的點(diǎn)組成的，每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一組數(shù)據(jù)，正是有了這些數(shù)據(jù)，才構(gòu)成了二次函數(shù)的圖像。由于二次函數(shù)具有對(duì)稱性，所以我們可以從給出的數(shù)據(jù)里尋找蛛絲馬跡，有沒有函數(shù)值相等的點(diǎn)？這些點(diǎn)如果連線的話是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減？我們可以與數(shù)據(jù)對(duì)話，讓數(shù)據(jù)告訴我們答案。

【案例6】二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的部分對(duì)應(yīng)值如下表：

x … -3 -2 0 1 3 5 …

y … 7 0 -8 -9 -5 7 …

則二次函數(shù)y=ax2+bx+c在x=2時(shí)，y= ? .

當(dāng)y<7時(shí)，求x的取值范圍。

圖1

圖2

分析：通過觀察列表中的數(shù)據(jù)，我們不難發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖像經(jīng)過（-3，7）和（5，7）這兩個(gè)點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性從而推出它的對(duì)稱軸為x=1，所以x=2和x=0的函數(shù)值是相同的，查上面的表格x=0時(shí)y的值為-8，那么x=2時(shí)，y的值也為-8。

第2問我們畫出函數(shù)y=7的圖像，與二次函數(shù)交于（-3，7）和（5，7），在這條直線下方的都符合y<7，所以第2問的答案為：-3

【案例7】設(shè)函數(shù)y=a（x-h）2+k（a，h，k是實(shí)數(shù)，a≠0），當(dāng)x=1時(shí)，y=1;當(dāng)x=8時(shí)，y=8，下列選項(xiàng)中，正確的是（ ? ? ）

A.若h=4，則a<0 B.若h=5，則a>0

C.若h=6，則a<0 D.若h=7，則a>0

圖1 圖2

圖3 圖4

分析：這4個(gè)選項(xiàng)我們都假設(shè)函數(shù)經(jīng)過（1，1），然后根據(jù)ABCD四個(gè)選項(xiàng)給出的條件判斷它的圖像有沒有經(jīng)過（8， 8）。

A選項(xiàng)如圖1，根據(jù)條件二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸x=4，由對(duì)稱性知它經(jīng)過（1，1）和（7， 1），不經(jīng)過（8， 8），錯(cuò)誤。

B和D圖形如圖2和圖4，錯(cuò)誤的原因和A一樣。

C選項(xiàng)如圖3，根據(jù)條件二次函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸x=6，由對(duì)稱性知它經(jīng)過（1，1）和（11， 1），有可能經(jīng)過（8， 8），所以選項(xiàng)C正確。

五、形義互補(bǔ)，回歸問題本源

二次函數(shù)命題的形式比較多，命題者想盡千方百計(jì)來考查學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握。面對(duì)一些新題型，很多同學(xué)感到力不從心。但是如果我們抓住了問題的核心，處理起來就能夠得心應(yīng)手。面對(duì)二次函數(shù)問題，我們首先分析問題的條件，有些問題是二次函數(shù)與其它函數(shù)的關(guān)系，有些問題是二次函數(shù)的對(duì)稱性問題，有些問題是二次函數(shù)的單調(diào)性，有些問題是比較二次函數(shù)值的大小，知道了解決的問題方向，我們就能夠順著這個(gè)方向抽繭剝絲，解決問題。

【案例8】已知a是方程的實(shí)數(shù)根，則直線y=ax+2-c的圖像大致是（ ? ?）

A B

C D

分析：判斷直線y=ax+2-a所經(jīng)過的象限，我們必須知道a的范圍。a是方程的實(shí)數(shù)根，這個(gè)根的范圍我們?nèi)绾未_定呢？我們可以通過畫圖像來解決。

假設(shè)y1=x2-4x，，在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出上面2個(gè)函數(shù)的圖像，我們發(fā)現(xiàn)它們?cè)诘谝幌笙抻薪稽c(diǎn)，并且交點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于2，所以我們可以判斷a>2，那么所求直線y=ax+2-a經(jīng)過一三四象限，正確答案為A。

【案例9】已知函數(shù)y1=x2-（m+2）x+2m+3，y2=nx+k-2n（m，n，k為常數(shù)且n≠0）.若函數(shù)y1，y2的圖象始終經(jīng)過同一定點(diǎn)M。

（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)和k的值。

（2）若m≤2，當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，總有y1≤y2，求m+n的取值范圍。

分析：y1=x2-mx-2x+2m+3，解析式里含有參數(shù)m，過定點(diǎn)說明與m無關(guān)，解析式可以化為：

（2-x）m+x2-2x+3-y1=0，所以x=2，y1=3，定點(diǎn)是（2， 3）。定點(diǎn)坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式得k=3。

第2問我們利用好圖像。二次函數(shù)和一次函數(shù)都經(jīng)過了定點(diǎn)（2， 3），二次函數(shù)開口向上，由于m≤2，所以對(duì)稱軸≤2，當(dāng)-1≤x≤2時(shí)，總有y1≤y2，也就是說-1≤x≤2時(shí)，y2的圖像總在y1的上方，當(dāng)x=-1時(shí)，-1所對(duì)的一次函數(shù)值大于或等于-1所對(duì)的二次函數(shù)值即可。根據(jù)以上分析可得：

（-1）2-（m+2）（-1）+2m+3≤-n+3-2n，化簡后得：m+n≤-1

在二次函數(shù)的解答過程中，我們要仔細(xì)分析好題目的條件，深刻理解二次函數(shù)的數(shù)和形的關(guān)系，利用好它們的關(guān)系，我們可以把復(fù)雜問題簡單化，綜合的問題直觀化。在分析二次函數(shù)的數(shù)與形的時(shí)候，我們要把握好關(guān)鍵數(shù)據(jù)和圖像特征，按照以下流程來分析：

綜上所述，數(shù)形結(jié)合是解決二次函數(shù)的橋梁，數(shù)形結(jié)合揭示了二次函數(shù)題目知識(shí)點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析了代數(shù)的意義，又顯示了幾何直觀，使數(shù)量的刻畫和圖形的直觀充分融合，教師在實(shí)際教學(xué)過程中，要培養(yǎng)學(xué)生這種思想方法，不僅可以幫助學(xué)生更好的理解和掌握知識(shí)，還能夠發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力，培養(yǎng)學(xué)生直觀想象能力，從而達(dá)到提高學(xué)生核心素養(yǎng)的要求。