用函數(shù)思維發(fā)現(xiàn)正切概念 讓自主研究提升核心素養(yǎng)

許穆

摘?要：通過(guò)對(duì)蘇科版“正切”教學(xué)的思考，研究如何用函數(shù)思維幫助發(fā)現(xiàn)正切概念，如何在自主研究過(guò)程中提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：正切函數(shù);自主研究;核心素養(yǎng)

1?教學(xué)分析

1.1?教材分析

本節(jié)課是蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)下冊(cè)第七章第一節(jié)內(nèi)容，是初中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)了直角三角形、相似三角形等知識(shí)的延續(xù)，又是后面學(xué)習(xí)解直角三角形等內(nèi)容的基礎(chǔ)。

1.2?教學(xué)目標(biāo)

（1）參與研究直角三角形中邊與角之間關(guān)系的過(guò)程，參與定義“正切”的過(guò)程，能結(jié)合圖形陳述“正切”的概念。

（2）會(huì)用符號(hào)表示“正切”，能知道在直角三角形中，“正切”與直角邊之比的關(guān)系。

（3）能感悟“正切”概念形成過(guò)程中蘊(yùn)含的歸納思想、運(yùn)動(dòng)變化觀點(diǎn)、符號(hào)表示思想、類(lèi)比思想等。

（4）通過(guò)主動(dòng)研究，合作交流，感受研究的樂(lè)趣與成功的體驗(yàn)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神。

2?教學(xué)反思

2.1在正切概念生成過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的研究能力

涂榮豹先生在《談提高對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的認(rèn)識(shí)》一文中指出，數(shù)學(xué)教學(xué)的主要目的是教學(xué)生研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法，即建構(gòu)數(shù)學(xué)概念或數(shù)學(xué)關(guān)系的一般方法，主要包括三個(gè)核心過(guò)程：形成研究對(duì)象、尋找研究方法、表征研究結(jié)果。因此把這三個(gè)核心過(guò)程分解到正切的教學(xué)過(guò)程中去就很必要了。

2.1.1?形成研究對(duì)象

研究對(duì)象的形成主要從知識(shí)基礎(chǔ)或問(wèn)題情境中產(chǎn)生，因此本節(jié)課可以向?qū)W生提出如下問(wèn)題“在直角三角形中，我們已經(jīng)學(xué)過(guò)邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系，接下來(lái)我們還可以研究什么問(wèn)題？”聰明的學(xué)生可以回答出“可以研究邊與角的關(guān)系”，當(dāng)然考慮到學(xué)生的基礎(chǔ)不同與學(xué)習(xí)的趣味性，實(shí)例中是給出問(wèn)題情境，而后再引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)需要研究邊與角的關(guān)系的。

2.1.2?尋找研究方法

當(dāng)確定研究對(duì)象是直角三角形中邊與角的關(guān)系后，還需要進(jìn)行具體化，如本節(jié)主要研究直角邊與銳角的關(guān)系，又可以進(jìn)一步細(xì)分為銳角的對(duì)邊與銳角的關(guān)系、銳角的鄰邊與銳角的關(guān)系、銳角的對(duì)邊和鄰邊與銳角的關(guān)系等。教師要引導(dǎo)學(xué)生初步判斷哪些目前可以研究，哪些目前不可以研究，哪些先研究，哪些后研究等，在這個(gè)過(guò)程中也可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和集中思維能力。

教師要啟發(fā)學(xué)生自主尋找研究方法，如本節(jié)尋找直角三角形中直角邊與銳角之間的關(guān)系時(shí)，可以這樣啟發(fā)學(xué)生：研究規(guī)律是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要研究對(duì)象，如變中的不變，本節(jié)中啟發(fā)學(xué)生研究當(dāng)∠A確定某一種度數(shù)時(shí)，無(wú)論Rt△ABC中直角邊a、b長(zhǎng)度變長(zhǎng)變短，a、b長(zhǎng)度的什么代數(shù)式都有不變的規(guī)律。

用正確的研究方法研究之后，一般可以先提出猜想，而后再驗(yàn)證猜想，過(guò)程不再贅述。

2.1.3?表征研究結(jié)果

驗(yàn)證猜想后得出研究結(jié)果，就要用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)其進(jìn)行表征，如下定義。這個(gè)過(guò)程要引導(dǎo)學(xué)生用自己的語(yǔ)言進(jìn)行定義，從而很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力和數(shù)學(xué)思維能力。

2.2?在正切概念生成過(guò)程中訓(xùn)練學(xué)生的函數(shù)思維

函數(shù)是描述實(shí)際生活中變化規(guī)律的重要的數(shù)學(xué)模型，是中學(xué)數(shù)學(xué)從常量到變量的一個(gè)飛躍，學(xué)習(xí)函數(shù)可以滲透模型思想、特殊與一般思想、數(shù)形結(jié)合思想等。

2.2.1?引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)思維自主發(fā)現(xiàn)正切概念

在發(fā)現(xiàn)正切概念之前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)，這就為下面學(xué)習(xí)正切函數(shù)提供了一般思路和方法。蘇科版教材對(duì)函數(shù)是這樣定義的：一般地，在一個(gè)變化過(guò)程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就說(shuō)x是自變量，y是x的函數(shù)。本節(jié)關(guān)鍵是用函數(shù)思想中的任意性、唯一性的要求來(lái)驗(yàn)證，Rt△ABC中，邊a或b的長(zhǎng)度或a、b長(zhǎng)度的比值是否是關(guān)于銳角∠A的函數(shù)，驗(yàn)證之后，正切的概念也就水到渠成了。

2.2.2?在正切概念生成過(guò)程中強(qiáng)化學(xué)生的函數(shù)思維

在正切概念教學(xué)過(guò)程中要體現(xiàn)正切概念的生成過(guò)程，讓學(xué)生經(jīng)歷從具體情境到正切概念形成的抽象過(guò)程、概括過(guò)程，滲透模型思想，強(qiáng)化函數(shù)思想，尤其是函數(shù)思想中的任意性、唯一性，即對(duì)一個(gè)變量（自變量）的“任意一個(gè)”取值，另一個(gè)變量（函數(shù)）都有“唯一的”取值與之對(duì)應(yīng)。

2.3?在正切概念生成過(guò)程中提升學(xué)生的核心素養(yǎng)

2016年9月，《中國(guó)學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)》正式發(fā)布，其中數(shù)學(xué)學(xué)科提出了6大核心素養(yǎng)，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析。章建躍博士在《樹(shù)立課程意識(shí)，落實(shí)核心素養(yǎng)》一文中則認(rèn)為，課堂教學(xué)應(yīng)該為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)提供個(gè)性、全面、可持續(xù)的助力。

2.3.1?在發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象過(guò)程中提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)

本節(jié)引導(dǎo)學(xué)生由竹竿問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)而得出研究對(duì)象是直角三角形中直角邊與銳角之間的關(guān)系，從而提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

2.3.2?在研究過(guò)程中提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)

本節(jié)引導(dǎo)學(xué)生分析Rt△ABC中，∠C=90o，∠A的對(duì)邊記為a，∠B的對(duì)邊記為b，當(dāng)∠A=30o時(shí)，不同Rt△ABC中直角邊a、b長(zhǎng)度可以有哪些情況？改為∠A= 45o或∠A=40o時(shí)，直角邊a、b長(zhǎng)度有無(wú)類(lèi)似規(guī)律呢？在對(duì)直角邊a、b長(zhǎng)度數(shù)據(jù)的分析過(guò)程中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng)。

2.3.3?在研究過(guò)程中提升邏輯推理與數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)

本節(jié)在引導(dǎo)學(xué)生猜想出結(jié)論，即“∠A確定某一種度數(shù)時(shí)，無(wú)論Rt△ABC中直角邊a、b長(zhǎng)度變長(zhǎng)變短，都是確定的常數(shù)”后，引導(dǎo)學(xué)生用相似三角形的知識(shí)驗(yàn)證猜想的成立，達(dá)到提升學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)的目的。

在引導(dǎo)學(xué)生得出結(jié)論，即“∠A確定某一種度數(shù)時(shí)，無(wú)論Rt△ABC中直角邊a、b長(zhǎng)度變長(zhǎng)變短，都是確定的常數(shù)”后，用函數(shù)思維引導(dǎo)學(xué)生建模，進(jìn)而得到正切這一新的函數(shù)模型，又提升了學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。