從函數(shù)的定義域問題談數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

王琳茹

摘?要：本文主要梳理學(xué)生因忽視函數(shù)的定義域或定義域概念不清出現(xiàn)的常見問題，從函數(shù)概念的內(nèi)涵和外延角度，深入地分析原因，并從學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)角度提出解決方案，幫助學(xué)生走出誤區(qū)。

關(guān)鍵詞：定義域;常見問題;數(shù)學(xué)思維

在函數(shù)的學(xué)習(xí)及應(yīng)用中，與定義域有關(guān)的問題很多，但由于學(xué)生對定義域的忽視或定義域概念不清而造成的錯誤現(xiàn)象較為普遍.本文主要結(jié)合學(xué)生在一些典例中出現(xiàn)的常見問題進行歸納總結(jié)，指出問題之所在，分析成因并從數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)角度提出解決辦法，幫助學(xué)生充分理解函數(shù)部分知識，走出解題誤區(qū)，進一步培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和必備品質(zhì)。

一、與定義域有關(guān)的常見問題

1.在求函數(shù)值域時忽視定義域

關(guān)于二次函數(shù)求給定范圍內(nèi)的值域問題，往往忽視已知區(qū)間，直接利用頂點坐標公式獲得值域，導(dǎo)致值域范圍較大.或求與實際問題有關(guān)的值域問題時，忽略自變量的隱含條件，導(dǎo)致最終結(jié)果產(chǎn)生矛盾。

2. 在討論函數(shù)單調(diào)性時忽視定義域

基本初等函數(shù)的單調(diào)性學(xué)生都能熟記，給定區(qū)間的單調(diào)性也能借助于圖像去分析，但對于復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的討論存在的問題則較多.教師給學(xué)生總結(jié)的“同增異減”的規(guī)律，學(xué)生都能牢記且敢于使用，但在使用的時候“寫而不全”的現(xiàn)象很普遍，學(xué)生只是去用規(guī)則，但忽視了規(guī)則成立的大前提條件即都要在定義域的范圍內(nèi)進行。

3.在討論函數(shù)奇偶性時忽視定義域

函數(shù)奇偶性是函數(shù)的一類非常重要的性質(zhì)，由于大部分函數(shù)圖像不易得，因此函數(shù)圖像判斷奇偶性不太方便，于是要求學(xué)生還要掌握用定義法來判斷函數(shù)奇偶性.學(xué)生反映最多的問題是直接去比較f（-x）與f（x）的關(guān)系，忽視了定義域要關(guān)于原點對稱的條件。體現(xiàn)了學(xué)生對于奇偶性定義的理解不夠完整全面，只注重耗費時間長占用篇幅多的操作部分，對于大前提條件往往忽略。

例3 判斷函的奇偶性。

錯解：由于，，所以函數(shù)為奇函數(shù)。

在考慮函數(shù)奇偶性之前，忽視了函數(shù)定義域即{x|x≠1}，該定義域并不關(guān)于原點對稱，因此根本談不上關(guān)于y軸或關(guān)于原點對稱，故該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)。

4.在求抽象函數(shù)定義域時容易求錯

學(xué)生普遍不理解定義域為誰的取值范圍，將被作用對象和自變量混為一談，對于括號里的被作用對象應(yīng)取自同一個集合不甚來理解，使得這類題型成為定義域問題的難點題型。

忽視了定義域的本質(zhì)為自變量x的取值范圍，對于不同函數(shù)中的字母x混淆不清，不能透過字母的形式看本質(zhì)。

5.換元后忽視新元的定義域

在解決抽象函數(shù)解析式或討論復(fù)雜函數(shù)的值域或單調(diào)性問題時，往往要進行換元處理，將原函數(shù)形式轉(zhuǎn)換為基本初等函數(shù)的形式，這時新的變元產(chǎn)生，同時其自身范圍也要發(fā)生變化，故要重新確定定義域，否則會影響結(jié)果的分析。

忽略了已知條件[2，4]或搞不清該區(qū)間為哪個變量的范圍，在換元后，未求出所換新元t的范圍，造成替換后的二次函數(shù)在定義域為實數(shù)集的情況下求出錯誤最值。

二、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以減少失誤

1. 注重思維的靈活性

學(xué)生在初中時形成的無限制條件下的處理問題的思維根深蒂固，還未形成有限制條件問題的處理方式，思維方式較為單一，思維的靈活性還不夠.鑒于此，筆者認為在學(xué)生剛?cè)胄r積極開展初高中知識的銜接是非常有必要的，將給定區(qū)間的值域問題加進去，讓學(xué)生慢慢意識到，問題的處理不再是絕對理想化的條件，要具體問題具體分析，而不是盲目處理，慢慢轉(zhuǎn)變學(xué)生的思維方式.教師在講授這類題目時，要幫助學(xué)生樹立數(shù)形結(jié)合的思想，培養(yǎng)學(xué)生看圖說話的能力，逐步打開學(xué)生地思維方式，培養(yǎng)學(xué)生靈活處理問題地能力。

2. 鍛煉思維的深刻性

定義域是函數(shù)的三要素之一，忽視定義域的根本原因是對函數(shù)概念的理解缺乏深層次的認識，僅僅停留在重視“變化說”，輕視“集合對應(yīng)說”的層面，對于題型只會進行簡單地復(fù)制，對函數(shù)的學(xué)習(xí)思路和解題方法的實質(zhì)缺乏系統(tǒng)的認知.為避免學(xué)生出現(xiàn)這種現(xiàn)象，教師要深研函數(shù)概念教學(xué)，注重概念的生成過程.為此，教師要強調(diào)高中函數(shù)定義與初中函數(shù)定義的區(qū)別與聯(lián)系，對函數(shù)三要素不僅要給予解釋，更要讓學(xué)生明白具備什么條件的表達式才能稱之為函數(shù)，并進一步強調(diào)定義域、對應(yīng)關(guān)系、值域三要素不可或缺，由于值域可由定義域和對應(yīng)關(guān)系推得，故碰到一個函數(shù)首先必須求函數(shù)的定義域，只有定義域清楚了，這個函數(shù)有意義的條件就清楚了.讓學(xué)生樹立定義域優(yōu)先考慮地意識。

3. 開展思維的批判性

不管是忽視定義域或是忽略新元自身隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，善于質(zhì)疑，養(yǎng)成良好的檢驗習(xí)慣，就可以避免錯誤結(jié)果的產(chǎn)生.換句話說，學(xué)生要能在解好題目后，注意檢驗自己的結(jié)果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，更能體現(xiàn)出良好的思維批判性。

4.培養(yǎng)思維的嚴謹性

教會學(xué)生對函數(shù)問題要養(yǎng)成仔細審題的習(xí)慣，查看是否與定義域有關(guān).同一道題會因定義域的取值范圍不同而造成不同的結(jié)果，因此要善于觀察定義域，讓問題的解決全方位且周密地進行，不因忽略個別條件而出錯，充分體現(xiàn)思維地嚴密性和細致性.有時函數(shù)的定義域中還含有參數(shù)，教師要幫助學(xué)生樹立分類討論的思想，將設(shè)計的多種情況都要分別討論，為方便檢驗可引導(dǎo)學(xué)生適時地采用數(shù)形結(jié)合的思想，幫助學(xué)生理清思路，讓解題的每個步驟都有理有據(jù)，充分體會數(shù)學(xué)解題思路的嚴謹性。

參考文獻：

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