例談剖析習(xí)題中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力

陳冬發(fā)

摘 要：數(shù)學(xué)習(xí)題課是鞏固學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力、增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的常用方式，本文運(yùn)用一道課本習(xí)題，穿插“特殊到一般”、“異中存同”、“同中求異”的思想方法，淺談培養(yǎng)學(xué)生思維能力的策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維能力;形象思維;邏輯思維;創(chuàng)造性思維

數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教育的重要方面，也是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵因素，教師應(yīng)該時(shí)刻注意學(xué)生思維能力的培養(yǎng)。本文以一道課本習(xí)題為例，在“思、解、練”的過程中，談?wù)勁囵B(yǎng)學(xué)生思維能力的方式。

華東師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)第二學(xué)期教材P125第11題：如圖（1），正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是另一個(gè)正方形A'B'C'O的一個(gè)頂點(diǎn)。如果兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)相等，那么正方形A'B'C'O繞點(diǎn)O無(wú)論怎樣旋轉(zhuǎn)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積總是等于一個(gè)正方形面積的四分之一。想一想，這是為什么？

一、“會(huì)思”是學(xué)生思維能力之源，“善思”是學(xué)生具體形象思維和抽象邏輯思維成長(zhǎng)的捷徑

學(xué)生認(rèn)知具體數(shù)學(xué)問題的解決過程，有利于提高學(xué)生直觀、形象、猜想、抽象思維能力。針對(duì)上面這個(gè)題目，先讓學(xué)生觀察、思索、想象、感知，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)正方形A'B'C'O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)存在兩種特殊情況：圖（2）重疊部分為△OBC;圖（3）重疊部分為正方形OMBN。

顯然，在圖（2）中， S△OBC = S正方形ABCD;在圖（3）中，S正方形OMBN = S正方形ABCD。至此，學(xué)生驗(yàn)證了在兩種特殊情況下結(jié)論正確，確定了信心，預(yù)見了問題解決的希望。

對(duì)于一般情況，部分學(xué)生的思路往往會(huì)堵塞，需要教師適時(shí)、適量、適當(dāng)?shù)膯l(fā)與點(diǎn)撥，既要暴露學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，糾正學(xué)生的錯(cuò)誤思維，又要引導(dǎo)學(xué)生有效地分析處理問題。教學(xué)中，教師要不斷給學(xué)生搭建一個(gè)有能力參與思考的平臺(tái)，“跳一跳，能夠摘到桃子”，“爭(zhēng)取學(xué)生熱愛自己的學(xué)科”，通過這些平臺(tái)，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，學(xué)生才可能順利達(dá)到目標(biāo)。有些學(xué)生觀察、比較圖（1）～圖（3）重疊部分圖形面積之間的關(guān)系，立刻得到了解決問題的思路。

S1：對(duì)比圖（1）和圖（2）會(huì)想到“割補(bǔ)法”思想，△OEB≌△OFC，從而S四邊形OEBF = S正方形ABCD。

S2：對(duì)比圖（1）和圖（3）同樣會(huì)想到“割補(bǔ)法”思想，如圖（4），Rt△OME≌Rt△ONF，從而S四邊形OEBF=S正方形ABCD。

兩位同學(xué)在運(yùn)用“全等割補(bǔ)法”時(shí)，教師需要提醒學(xué)生“慎思”三角形全等的條件，從感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)。

二、“精解”是學(xué)生思維能力的體現(xiàn)

學(xué)生的解答過程能夠清晰地反映出學(xué)生認(rèn)知、理解的程度，以及解決問題的思路與依據(jù)，“善于表達(dá)”能夠錘煉學(xué)生的抽象概括、邏輯推理思維能力?！笆焖肌敝?，學(xué)生得到以下三種解答過程。

三位同學(xué)在自己對(duì)問題的認(rèn)知后分別給出了完整的解答過程，都明確“特殊”與“一般”的依存關(guān)系，從“特殊”到“一般”證明了結(jié)論的正確性，S5對(duì)特殊情況認(rèn)識(shí)更深刻，解答更直接、更簡(jiǎn)潔、更適用。

三、“異構(gòu)”中訓(xùn)練學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力

習(xí)題的解決能夠達(dá)到鞏固基本知識(shí)的作用，“舉一反三，觸類旁通”，嘗試把問題進(jìn)行改造能夠收到“意外”的效果，激發(fā)學(xué)生的好奇心，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。“讓學(xué)生們像向往幸福一樣幻想在自己所教的學(xué)科領(lǐng)域有所創(chuàng)造”是教學(xué)活動(dòng)的理想境界，有時(shí)先讓學(xué)生自己把問題“異構(gòu)”，然后教師與學(xué)生共同 “異構(gòu)”，最后一起解答。

變式1. 如圖（5），點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)，Rt△PGH的兩直角邊PG、PH分別交AB（或AB的延長(zhǎng)線）、BC（或BC的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)E、F.求證：PE=PF.

學(xué)生能夠很好地把自己的認(rèn)知遷移到該問題的解決過程中，同時(shí)該解答也適合Rt△PGH的直角邊PG交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、或者直角邊PH交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F的情況。

變式2.如圖（7），點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，且PB=2PD，Rt△PGH的兩直角邊PG、PH分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，若正方形的邊長(zhǎng)為a，試求四邊形PEBF面積的大小。

圖（7） 圖（8）

學(xué)生自然會(huì)發(fā)現(xiàn)與前面的問題不相同，重疊部分的面積不再是該正方形面積的四分之一，但相近，如圖（7），可以運(yùn)用“割補(bǔ)法”思想，簡(jiǎn)解如下。

學(xué)生解答后可以認(rèn)識(shí)到，這個(gè)問題雖然與原問題不完全一樣，但是重疊部分面積大小仍然保持不變。

變式3. 如圖（7），點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，且PB：BD=k，Rt△PGH的兩直角邊PG、PH分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，試求四邊形PEBF面積大小與正方形ABCD面積大小的關(guān)系？

有些思維敏捷的同學(xué)立刻給出以下解答思路：

變式3是變式2的一般情況，從S7的解答過程可知，用一般情況的比值PB：BD=k替代PB= BD得到S四邊形PEBF =k2S正方形ABCD.

另外，學(xué)生發(fā)現(xiàn)0

變式4.如圖（9），點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，且PB=2PD，Rt△PGH的兩直角邊PG、PH分別交AB、BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、F，若正方形的邊長(zhǎng)為a，試求四邊形PEBF面積的大小。

圖（9） 圖（10）

這里，如圖（9），學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)仍然存在Rt△PME≌Rt△PNF，可以適用S7的解答過程。

同時(shí)，學(xué)生也會(huì)發(fā)現(xiàn)正方形與直角三角形重疊部分是五邊形PEBCQ，不是四邊形PEBF，S五邊形PEBCQ = S四邊形PEBF- S△CQF，從而兩個(gè)圖形重疊部分的面積變小。

變式5.如圖（7），點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，且PB=2PD，Rt△PGH的兩直角邊PG、PH分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，若正方形的邊長(zhǎng)為a，△PGH繞直角頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，則正方形ABCD和直角三角形PGH重疊部分面積怎樣變化？試寫出其最大值與最小值.

從變式2、變式3、變式4的感知可知，學(xué)生得出以下結(jié)論。

S9：△PGH繞直角頂點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，重疊部分面積經(jīng)歷“①保持不變、②逐漸變小、③保持不變、④逐漸變大”四個(gè)階段的循環(huán)過程。

第①階段PG與線段AB相交，且PH與線段BC相交，如圖（7），重疊部分的面積保持最大值 a2不變;

第②階段PH與線段CD相交，如圖（9），重疊部分的面積逐漸減小，達(dá)到最小值 a2;

第③階段PG與線段CD相交，且PH與線段AD相交，重疊部分面積保持最小值不變，如圖（10），最小值等于正方形PMDN的面積： a2;

第④階段PG與線段AD相交，重疊部分的面積逐漸增大，達(dá)到最大值 a2.

學(xué)生直覺感知，變式5中把“PB=2PD”改為“PB：BD=k（

變式6. 已知點(diǎn)P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上，且PB：BD=k（0

學(xué)生先畫出四個(gè)代表性位置的圖形，如圖（11），略解如下。

S10：第①階段PG與線段AB相交，且PH與線段BC相交，重疊部分的面積保持最小值不變;

第②階段PG與線段BC相交，重疊部分的面積逐漸增大;

第③階段PG與線段CD相交，且PH與線段AD相交，重疊部分面積保持最大值不變;

第④階段PH與線段AB相交，重疊部分的面積逐漸減小。

“知識(shí)不斷革新，能力永遠(yuǎn)年輕”，新課程改革迫切要求教育工作者從“能力立意”向“創(chuàng)新”突破。教師在教學(xué)活動(dòng)中，不但要傳授知識(shí)技能，而且要注重學(xué)生能力的培養(yǎng)，特別要注重學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)與發(fā)展。教材中許多典型的習(xí)題具備擴(kuò)展開拓的空間，等待大家去挖掘運(yùn)用。當(dāng)然，在運(yùn)用過程中，教師既要考慮學(xué)生接受能力的實(shí)際情況，又要考慮學(xué)生思維能力的限度和潛能，遵循學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體原則，任何的拓展都要經(jīng)得起實(shí)踐的檢驗(yàn)，切不可以“揠苗助長(zhǎng)”。

參考文獻(xiàn)：

[1]曹才翰.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)概論[M].北京師范大學(xué)出版社，1990.

[2]侯彬.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中提升學(xué)生的邏輯思維能力研究[J].中國(guó)校外教育，2019（19）.

[3]孫維周.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力[J].課程教育研究，2019（43）.

[4]趙超.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的策略探討[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2018（10）.