數(shù)學(xué)中構(gòu)造法探究

岑強(qiáng) 王宇欣

摘 要：數(shù)學(xué)一直以來(lái)都是一門(mén)重要的學(xué)科。要學(xué)好數(shù)學(xué)，掌握大量的數(shù)學(xué)方法必不可少。構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)研究方法。在碰到一些用常規(guī)思路解不出來(lái)的題目之時(shí)，往往可以利用構(gòu)造法求解相關(guān)題目。一般地，我們可以從題目中給出的條件和結(jié)論進(jìn)行研究，如果能找到一種新思路新觀點(diǎn)去看待問(wèn)題，就能夠以一種新的角度去分析和理解對(duì)象，進(jìn)而尋找出問(wèn)題的條件與結(jié)論倆者之間的聯(lián)系所在。構(gòu)造法是一種“非常規(guī)”的解題方法，但有時(shí)能夠更容易地解決問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法;實(shí)例研究;數(shù)學(xué)思想

一、緒論

（一）什么是構(gòu)造法

構(gòu)造法是一種用來(lái)解決一些較為困難的數(shù)學(xué)問(wèn)題的常見(jiàn)方法。我們應(yīng)當(dāng)從一個(gè)新的角度觀察、分析和理解一個(gè)對(duì)象。在這個(gè)過(guò)程中，要根據(jù)問(wèn)題的特征和屬性，設(shè)置條件和結(jié)論;牢牢把握條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，使用數(shù)據(jù)的特征、形狀以及問(wèn)題的坐標(biāo)等;以問(wèn)題中已知的條件為基礎(chǔ)，以已知的數(shù)學(xué)關(guān)系和理論為工具[1]。因?yàn)闃?gòu)建出來(lái)的數(shù)學(xué)對(duì)象必須構(gòu)造滿足給定的條件或結(jié)論，這樣原問(wèn)題所隱含的關(guān)系和屬性就能夠清楚地由該對(duì)象揭示，解決問(wèn)題的方法也就清晰可見(jiàn)。

（二）問(wèn)題提出的背景與研究現(xiàn)狀

1、背景

19世紀(jì)末，克羅內(nèi)克和龐加萊基于數(shù)學(xué)的可信性，提出了“存在，必須是被構(gòu)造的”這一觀點(diǎn)，創(chuàng)立了早期的直觀數(shù)學(xué)學(xué)派。但是他們把直觀數(shù)學(xué)推崇到極致，反對(duì)一切非構(gòu)造性的數(shù)學(xué)內(nèi)容，搞得數(shù)學(xué)復(fù)雜難懂。隨后，馬爾科夫提出一種觀點(diǎn)，即一切數(shù)學(xué)概念都可以歸結(jié)為一個(gè)基本概念——算法的構(gòu)造性方法[2]。但是算法數(shù)學(xué)以遞歸函數(shù)為基礎(chǔ)，同樣難以理解。直到1867年，美國(guó)數(shù)學(xué)家比肖博發(fā)表構(gòu)造性分析藝術(shù)，擺脫了算法以及數(shù)學(xué)對(duì)遞歸函數(shù)的依賴，宣告現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)的形成?，F(xiàn)在，構(gòu)造法不僅在組合數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等新領(lǐng)域舉足輕重，在數(shù)值分析、拓?fù)鋵W(xué)等領(lǐng)域也至關(guān)重要。

在我國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展史上，有非常多的具有代表性的構(gòu)造性算法.例如正負(fù)術(shù)算法，其對(duì)應(yīng)的成果是引入負(fù)數(shù)及其運(yùn)算法則;例如開(kāi)方術(shù)算法，其對(duì)應(yīng)的成果是開(kāi)平法;例如《九章算術(shù)》中的約分術(shù)算法[3]，其對(duì)應(yīng)的成果是求兩數(shù)最大公約數(shù);例如還有割圓術(shù)算法，其對(duì)應(yīng)的成果是引入極限概念.例如還有朱世杰所提出的四元術(shù);例如方程術(shù)算法，其對(duì)應(yīng)的成果則是線性方程組的“矩陣”求解;以及秦九部提出的大衍求術(shù)算法[4]和《孫子算經(jīng)》里所提到的“物不知數(shù)”術(shù)算法等等;

2、現(xiàn)狀

現(xiàn)階段對(duì)于數(shù)學(xué)構(gòu)造法的研究，主要有以下三大方面：第一方面是將數(shù)學(xué)構(gòu)造法作為數(shù)學(xué)基本思想方法，從而進(jìn)行數(shù)學(xué)構(gòu)造法的相關(guān)理論研究;第二方面則是研究學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)構(gòu)造法這一思想方法時(shí)所遇到的困難，并給出相應(yīng)的學(xué)習(xí)和教學(xué)建議;第三則是從側(cè)面來(lái)深入挖掘研究構(gòu)造法，即通過(guò)調(diào)查研究分析、數(shù)據(jù)整理，來(lái)研究構(gòu)造法的學(xué)習(xí)心理及教學(xué)實(shí)務(wù)。

（三）研究方法與目的

1、研究方法

文獻(xiàn)分析法：文獻(xiàn)分析法即在構(gòu)思論文內(nèi)容之前，嘗試查找與數(shù)學(xué)構(gòu)造方法有關(guān)的文獻(xiàn)資料，并對(duì)與之相關(guān)的文獻(xiàn)資料進(jìn)行仔細(xì)、認(rèn)真、合理的篩選整理，并對(duì)相關(guān)文獻(xiàn)資料進(jìn)行認(rèn)真的分析及研究[5]。

整理歸納法：整理歸納法即將搜集好的有關(guān)數(shù)學(xué)構(gòu)造法資料進(jìn)行系統(tǒng)的分類(lèi)整理和歸納，同時(shí)對(duì)與構(gòu)造法相關(guān)的例題進(jìn)行針對(duì)性的整理分類(lèi)，以便論文書(shū)寫(xiě)時(shí)能夠更好的查看和運(yùn)用，并要做好例題的深入分析研究。這一種研究方法的優(yōu)點(diǎn)是能夠幫助我收集到大量而有應(yīng)用價(jià)值的文獻(xiàn)資料，并且能夠有效地篩選出自己想要的文獻(xiàn)和資料，使得對(duì)數(shù)學(xué)構(gòu)造法的分類(lèi)以及例題的歸納更加有計(jì)劃性和條理性。

2、研究目的

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題有許多方法，在數(shù)學(xué)的實(shí)際解題過(guò)程中常規(guī)的方法可以解決，但操作起來(lái)非常繁瑣容易出錯(cuò)甚至有時(shí)解決不了。構(gòu)造法是指當(dāng)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題使用通常方法按照定向思維難以解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件和結(jié)論的特征，性質(zhì)，從新的角度，用新的觀點(diǎn)去觀察，分析，理解對(duì)象，抓住反映問(wèn)題的條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系。構(gòu)造法是一種不那么常規(guī)但是也許會(huì)更容易解決問(wèn)題的方法，這種方法在解決某一類(lèi)不等式的問(wèn)題中效率更高并且容易了解未知問(wèn)題與已知知識(shí)之間的聯(lián)系，從而進(jìn)行對(duì)比。在構(gòu)造的過(guò)程中既是對(duì)已知知識(shí)的更深了解，也是對(duì)未知知識(shí)的探究，并且還可以培養(yǎng)思維的敏捷性和創(chuàng)造性。

（四）構(gòu)造法的理論依據(jù)及原則

1、理論依據(jù)

構(gòu)造法體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的方方面面。其理論依據(jù)可以追溯到波利亞的解題思想及數(shù)學(xué)解題表、弗賴登塔爾的數(shù)學(xué)教育理論（即數(shù)學(xué)化思想）、皮亞杰的建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論（即學(xué)習(xí)的發(fā)生認(rèn)識(shí)論）。此外，構(gòu)造法本身與數(shù)學(xué)美有著緊密聯(lián)系。

2、構(gòu)造原則

著名數(shù)學(xué)家波利亞曾經(jīng)指出：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么？就是意味著善于解題，我們不僅要善于解一般標(biāo)準(zhǔn)的題，而且還要善于解要求我們獨(dú)立思考、思路合理、見(jiàn)到獨(dú)特和有發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造意義的題”。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)解題對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的意義是非常重要的。我們?cè)诮鉀Q具體的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)運(yùn)用數(shù)學(xué)構(gòu)造法要遵循一定的原則。

（1）相似性原則

相似性原則是指在我們?cè)诮鉀Q實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，通過(guò)認(rèn)真觀察所要解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的條件和結(jié)論特征、分析思考條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后嘗試與我們己經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題、熟知的公式及函數(shù)等建立聯(lián)系。最后根據(jù)數(shù)學(xué)中的基本對(duì)象構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，從而間接的解決原問(wèn)題。

（2）直觀性原則

直觀性原則是指根據(jù)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)原問(wèn)題中條件和結(jié)論的觀察分析，直接構(gòu)造某種與原問(wèn)題類(lèi)似的數(shù)學(xué)形式或模型，從而使原問(wèn)題中的條件和結(jié)論之間的數(shù)學(xué)關(guān)系清晰體現(xiàn)出來(lái)，進(jìn)而解決問(wèn)題[6]。

（3）等價(jià)性原則

等價(jià)性原則是指將原問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)換為一種與之等價(jià)的新形式，使得原問(wèn)題中的條件和結(jié)論在所構(gòu)造的新條件下進(jìn)行解答。此時(shí)我們構(gòu)造的問(wèn)題與原問(wèn)題本質(zhì)上是等價(jià)的，所以解決了該問(wèn)題也就解決了原問(wèn)題。

二、大學(xué)階段構(gòu)造法的實(shí)例研究

（一）構(gòu)造函數(shù)在微分學(xué)中的應(yīng)用

在微分學(xué)中，構(gòu)造函數(shù)法有著許多的經(jīng)典的方法和技巧。我們可以從多種角度來(lái)構(gòu)造新函數(shù)，比如從問(wèn)題的結(jié)論及特點(diǎn)來(lái)構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，然后利用該函數(shù)來(lái)解決新問(wèn)題。一個(gè)典型的例子是拉格朗日中值定理的證明[7]。

例題2.1

證明拉格朗日中值定理，若函數(shù)滿足下列條件：（1）在閉區(qū)間連續(xù)，（2）在開(kāi)區(qū)間可導(dǎo);則在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得

分析：由定理的結(jié)論出發(fā)，得結(jié)論與羅爾定理的結(jié)論很像。所以若有

則滿足羅爾定理。這時(shí)想到構(gòu)造新的函數(shù)，考慮在上滿足羅爾定理。

（二）構(gòu)造數(shù)列在求極限中的應(yīng)用

構(gòu)造數(shù)列，利用其性質(zhì)和斂散性，將問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。下面以一道求極限的問(wèn)題為例進(jìn)行探討。

（三）構(gòu)造級(jí)數(shù)判斷已知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

判別法是判別函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂時(shí)經(jīng)常使用的一種方法，在使用判別法時(shí)，需要根據(jù)已知函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)構(gòu)造出收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化。

但因?yàn)椴淮嬖冢院瘮?shù)在點(diǎn)不連續(xù)。

（五）構(gòu)造不等式

構(gòu)造不等式的目的是為了利用不等式的性質(zhì)解決問(wèn)題，下面我們用一個(gè)實(shí)例來(lái)說(shuō)明這點(diǎn)。

若數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，則數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。

證明：構(gòu)造不等式：因?yàn)閿?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂所以收斂，根據(jù)比較法知：收斂。

三、研究結(jié)論

在解決實(shí)際數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，我們通常不能直接地利用原問(wèn)題中的條件或者結(jié)論直接解決問(wèn)題，否則往往會(huì)導(dǎo)致解題步驟較多、解題程序繁瑣，從而容易出錯(cuò)[8]。此時(shí)，我們可以選擇新的解題思路及途徑，構(gòu)造與原問(wèn)題中的條件和結(jié)論相關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象或者數(shù)學(xué)模型來(lái)幫助我們解決問(wèn)題。這樣可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高解題準(zhǔn)確率[9]。在使用數(shù)學(xué)構(gòu)造法時(shí)，要通過(guò)對(duì)問(wèn)題中的條件進(jìn)行一系列的分析、變形、推導(dǎo)和演繹，才能找到正確、合理的解題方法和思路。因此，在解題過(guò)程中，我們會(huì)經(jīng)常用到數(shù)學(xué)構(gòu)造法[10]。

（一）數(shù)學(xué)構(gòu)造法解決實(shí)際問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)

1、運(yùn)用數(shù)學(xué)構(gòu)造法解題可以幫助我們優(yōu)化解題的途徑

我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中往往會(huì)遇到一些用一般的解題方法無(wú)法快速解決的難題。利用數(shù)學(xué)構(gòu)造法，可以化繁為簡(jiǎn)，幫助我們理清解題的思路和方法，從而幫助我們優(yōu)化解題的途徑[11]。

2、數(shù)學(xué)構(gòu)造法可以從側(cè)面揭露出原問(wèn)題中的隱含條件

題目中往往會(huì)隱含一些條件，而這些隱含的條件一定程度上會(huì)影響我們解題的思路，甚至直接決定著我們是否能夠解決問(wèn)題。使用數(shù)學(xué)構(gòu)造法解題能夠幫助我們發(fā)現(xiàn)并分析題目中的隱含條件，使得原問(wèn)題中的條件和結(jié)論更加的清晰簡(jiǎn)單，進(jìn)而可以快速、正確的解決問(wèn)題[12]。

3、數(shù)學(xué)構(gòu)造法可以溝通原問(wèn)題中的條件和結(jié)論

在問(wèn)題的實(shí)際解決過(guò)程中，很多數(shù)學(xué)問(wèn)題我們只分析己知條件是很難求解的，我們需要按照一定的目標(biāo)和方向，根據(jù)數(shù)學(xué)構(gòu)造法所構(gòu)造的數(shù)學(xué)對(duì)象，在原問(wèn)題的條件和結(jié)論之間架起一座橋梁，理清原問(wèn)題中條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系。只有這樣，我們才能根據(jù)原問(wèn)題中的結(jié)論和條件對(duì)問(wèn)題進(jìn)行詳細(xì)分析，并利用我們分析推理出的推導(dǎo)邏輯關(guān)系解決原問(wèn)題[13]。

4、數(shù)學(xué)構(gòu)造法可以幫助我們轉(zhuǎn)化、融合數(shù)學(xué)知識(shí)

我們?cè)诮鉀Q一些數(shù)學(xué)綜合問(wèn)題時(shí)，常常需要我們將原問(wèn)題中的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，或是要求我們采用數(shù)學(xué)構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)來(lái)求解幾何問(wèn)題：例如求解問(wèn)題中的線段最長(zhǎng)、最短值問(wèn)題，求參數(shù)的取值范圍的問(wèn)題等等[14]。我們?cè)谶\(yùn)用數(shù)學(xué)構(gòu)造法解決這些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中能夠促使數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互聯(lián)系和內(nèi)化，使得數(shù)學(xué)知識(shí)之間可以互相轉(zhuǎn)化，從而使得我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)更加全面和系統(tǒng)。

（二）數(shù)學(xué)構(gòu)造法解題步驟

首先，對(duì)原問(wèn)題進(jìn)行仔細(xì)的觀察和分析，思考原問(wèn)題要求我們解決的問(wèn)題;其次，根據(jù)原問(wèn)題中要我們求解的問(wèn)題，認(rèn)真分析題干中的條件，在題目中標(biāo)記出關(guān)鍵條件，并思考分析原問(wèn)題中的條件與問(wèn)題的內(nèi)在聯(lián)系，尋找解題的突破口;再次，將我們學(xué)過(guò)的知識(shí)與原問(wèn)題中所給的條件緊密結(jié)合起來(lái)，再利用數(shù)學(xué)構(gòu)造法中的多種模型，思考是否有數(shù)學(xué)對(duì)象與原問(wèn)題中的條件和結(jié)論相關(guān)，然后根據(jù)具體的分析和嘗試構(gòu)造出具體的數(shù)學(xué)形式或?qū)ο骩15];最后，我們要根據(jù)所構(gòu)造的數(shù)學(xué)對(duì)象，結(jié)合原問(wèn)題中的具體問(wèn)題及情境，對(duì)條件及結(jié)論進(jìn)行仔細(xì)的推敲，進(jìn)而理清解題思路，解決問(wèn)題。

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