探夾角之謎 究幾何本質

蘆迪 吳凱

摘 要：當我們在遇到難題時，怎樣才能做到化繁為簡，我們需要從不同的角度來探究，尤其是平面向量問題，我們可以分別從代數(shù)和幾何兩個角度來研究解題.對于同一個問題，角度不同，就會有不一樣的精彩.本文將對一道平面向量恒成立問題的解法進行再思考，探尋“夾角”之謎.

關鍵詞：平面向量;恒成立問題;代數(shù)運算;幾何意義;夾角;解題方法

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0040-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：蘆迪（1984.7-），男，浙江省蕭山人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

吳凱（1984.6-），男，浙江省長興人，本科，中學一級教師，從事高中數(shù)學教學研究.

近日，筆者遇到一道平面向量恒成立問題，分別從代數(shù)和幾何兩個角度進行了探究，試著尋找其有效的解題方法.

例題 設單位向量e1，e2對任意實數(shù)λ都有e1+12e2≤e1+λ2e2，則向量e1，e2的夾角為

.

角度一 我們先不妨嘗試代數(shù)化運算，先設e1與e2的夾角為θ，則e1+12e22≤e1+λ2e22，即e12+e1·e2+14e22≤e12+λe1·e2+λ24e22對于λ恒成立，即cosθ+14≤λcosθ+λ24 ①對于λ恒成立.此時，我們可以將①式看作關于實數(shù)λ的一元二次不等式恒成立問題，即λ2+（4cosθ）λ-4cosθ-1≥0對于λ恒成立，只需Δ=（4cosθ）2-4（-4cosθ-1）≤0 即可，整理可得4cos2θ+4cosθ+1≤0，即（2cosθ+1）2≤0，再由（2cosθ+1）2≥0可得（2cosθ+1）2=0，故cosθ=-12.又∵θ∈[0，π]∴θ=2π3.

本解法關鍵的突破口是將向量模的不等式問題平方轉化為二次函數(shù)恒成立問題，由二次函數(shù)的性質可得答案，用換元思想解題是本解法最為靈巧之處，真可謂“化腐朽為神奇”，化難為易.但是，這樣的純代數(shù)運算運算量較大，對多數(shù)學生來講還是有一定難度的.

角度二 我們能否從幾何角度來分析問題呢？

那么，我們就要試著去尋找問題的本源.我們可以考慮“平面向量加法的幾何意義”是什么，如圖1，e1+λ2e2即是以e1與λ2e2為鄰邊的平行四邊形的對角線的長度，而λ2e2則是e2的一個共線向量，即若λ≥0方向相同，若λ<0方向相反.

那么，我們如何才能利用幾何意義來尋找所求夾角呢？

“試探夾角之謎”：不妨先以60度為例，如圖2作出直線l1，l2為一組平行線，和向量OP的起點即為O點，而終點P將在l2上，所以，OPmin即為兩平行線間的垂直距離.而已知條件“e1+12e2≤e1+λ2e2對于λ恒成立”也即當λ=1時，e1+λ2e2取到最小值，此時（如圖3），λ顯然應該是一個負數(shù)，是不滿足題意的！

我們通過以上特例的分析，那么如何才能找到滿足題意的夾角呢？

我們需要利用軌跡思想，探尋夾角.

再思考：如何體現(xiàn)“12為最小”的幾何意義呢？

如圖4，在單位圓O中，令e1=（1，0），A（1，0），將e1的起點設為O，則A為e1的終點，將12e2的起點設為A，終點設為B，由向量加法的三角形法則，即將e1與12e2兩個向量的首尾相連，則點B的軌跡就是以A為圓心，半徑為12的一個圓，記為⊙A，則OB=e1+12e2.

考慮到當λ=1時，e1+λ2e2應為最小值，即AB所在直線為l2，則須滿足OB⊥AB，那么，再以OA為直徑作圓為⊙C，則⊙A與⊙C的公共點P即為所求（如圖5），此時夾角θ為∠xAP，我們易知P（32，32）或P（32，-32），則∠OAB=60°，則θ=120°.

有了前面的探究與分析之后，我們就不難將以上幾何方法簡化為以下過程：

這樣就可以快速找到答案了.通過兩個角度的分析，我們就將解法從原來的代數(shù)化運算，逐步過渡到了如圖6的簡圖解法，實現(xiàn)了解法的優(yōu)化過程.

然后，筆者將例題進行了適當?shù)母木帲辛艘韵?個變式演練，供讀者嘗試解答.

變式演練1 設單位向量e1，e2對任意實數(shù)λ都有e1+12e2≤e1-λe2，則向量e1，e2的夾角為

. 答案：120°

變式演練2 ? 設單位向量e1，e2對任意實數(shù)λ都有e1-12e2≤e1+λe2，則向量e1，e2的夾角為

. 答案：60°

參考文獻：

[1]施麗娟.重視變式教學 提升數(shù)學能力[J].高中數(shù)學教與學，2014（24）：32-33.

[責任編輯：李 璟]