深入求解2019年高考全國(guó)卷中的兩道解三角形題

摘 要：文章將深入求解2019年高考全國(guó)卷中的兩道解三角形題.

關(guān)鍵詞：2019年高考全國(guó)卷;解三角形;數(shù)形結(jié)合;深入求解

中圖分類(lèi)號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0054-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡(jiǎn)介：甘志國(guó)（1972-），湖北省竹溪人，研究生，高級(jí)教師，特級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

基金項(xiàng)目：本文系北京市教育學(xué)會(huì)“十三五”教育科研滾動(dòng)立項(xiàng)課題“數(shù)學(xué)文化與高考研究”（課題編號(hào)FT2017GD003，課題負(fù)責(zé)人：甘志國(guó)）階段性研究成果.

解三角形問(wèn)題，往往需要用正弦定理“邊化角”或“角化邊”，而在很多時(shí)候并不是兩條路都行得通，但如果做深入思考，兩條路都是行得通的.解三角形問(wèn)題，難點(diǎn)是對(duì)求得的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)（舍?。?，比如2013年高考北京卷理科數(shù)學(xué)第15（2）題.

下面將深入求解2019年高考全國(guó)卷中的兩道解三角形題，領(lǐng)略解三角形的神秘莫測(cè).

題1 （2019年高考全國(guó)卷Ⅰ理科第17題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)（sinB-sinC）2=sin2A-sinBsinC.

圖1（2）的再解 如圖1所示，作∠ABD=π3，且AB=c=1，再作AC′⊥BD于C′， AC″⊥AB，交BD于C″.進(jìn)而可得題中的△ABC是銳角三角形的充要條件是點(diǎn)C在線段C′C″上且不是該線段的端點(diǎn)（可先證當(dāng)點(diǎn)C在線段BC′及射線C″D上時(shí)，△ABC均不是銳角三角形;再證當(dāng)點(diǎn)C在線段C′C″上且不是該線段的端點(diǎn)時(shí)，△ABC均是銳角三角形）.

可求得BC′=12，AC′=32，AC″=3，再得SRtΔABC′=12BC′·AC′=38，SRtΔABC″=12AB·AC″=32，進(jìn)而可得△ABC的取值范圍是38，32.

參考文獻(xiàn)：

[1]甘志國(guó).關(guān)于一類(lèi)三角形三邊長(zhǎng)取法的唯一性問(wèn)題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2016（11）：34-35.

[責(zé)任編輯：李 璟]