解析數(shù)學(xué)高考壓軸題的變化 確立高考復(fù)習(xí)對策

摘 要：2019年理科全國卷試題形式變化很大，在此情形下，如何進(jìn)行新一輪復(fù)習(xí)備考是大家都關(guān)心的問題.本文通過對全國卷試題解題分析，提煉其“新”、“舊”變化，并在此基礎(chǔ)上提出復(fù)習(xí)備考建議.

關(guān)鍵詞：壓軸題;解題分析;復(fù)習(xí)備考

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2020）10-0026-05

收稿日期：2020-01-05

作者簡介：李偉，特級教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

縱觀2019年全國高考數(shù)學(xué)理科試卷，其最大變化一是概率統(tǒng)計題、或解析幾何題出在21題位置.二是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題出在20題位置.由此自然產(chǎn)生一些聯(lián)想，這種變化對高三復(fù)習(xí)將帶來怎樣的變化？下面來分析探討這個問題.

一、關(guān)于壓軸20題位置的導(dǎo)數(shù)問題分析與備考建議 ?全國一卷20題 已知函數(shù)f（x）=sinx-ln（1+x），f ′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，證明：

（1）f ′（x）在區(qū)間（-1，π2）存在唯一極大值點;

（2）f（x）有且僅有2個零點.

解題分析（1）證明f ′（x）在區(qū)間（-1，π2）存在唯一極大值點的基本通法為：一是f ′（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（-1，π2）存在零點x0.二是f ′（x）的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間（-1，x0）為增函數(shù)，在區(qū)間（x0，π2）為減函數(shù).

（2）證明f（x）有且僅有2個零點，從“形”的層面思考是函數(shù)y=f（x）的圖象與x軸有且只有2個交點.轉(zhuǎn)化為從“數(shù)”的層面思考是借助函數(shù)極值點、單調(diào)性的整合來實現(xiàn)上述“形”的意義，向“數(shù)”的意義轉(zhuǎn)化.

備考反思 對于問題（1），解題基本想法仍是通性通法.但有兩個地方值得反思，一是判斷g′（x）在區(qū)間（-1，π2）上是減函數(shù)所用的方法既不是用求導(dǎo)判斷，也不是用單調(diào)函數(shù)定義判斷， 而是借助y=-sinx，y=1（1+x）2是減函數(shù)，則其和也為減函數(shù)來判斷的.二是判斷g′（x）的零點是在（-1，π2）的部分子區(qū)間上通過連續(xù)函數(shù)零點存在性定理完成的，而不是通過解方程的途徑解決的.這些都是平時備考訓(xùn)練時容易忽略的.

從問題（2）解題過程看，與以前導(dǎo)數(shù)壓軸21題比較，變化的：一是減輕了構(gòu)造函數(shù)的難度.二是減輕處理不等式放縮的技巧.不變的：一是數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想要求并沒有減輕.二是反復(fù)從函數(shù)單調(diào)性概念及性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等多角度考察函數(shù)單調(diào)性仍是高考重點.三是借助問題（1）來解決問題（2）的承接關(guān)系沒有變.

全國二卷 20題 已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1x-1.

（1）討論f（x）的單調(diào)性，并證明有且僅有兩個零點;

（2）設(shè)x0是f（x）的一個零點，證明曲線y=lnx在點Ax0，lnx0處的切線也是曲線y=ex的切線.

解題分析 對于問題（1）討論f（x）的單調(diào)性，通過解導(dǎo)函數(shù)構(gòu)成的不等式、增（減）函數(shù)的概念和增（減）等單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)仍然是討論函數(shù)單調(diào)性這類問題的基本思路.

對于證明有且僅有兩個零點，從“形”的層面思考是函數(shù)圖象與x軸（或者構(gòu)造兩個函數(shù)的圖象）有兩個交點（從函數(shù)圖象看，結(jié)果是很顯然的）.從“數(shù)”的層面講零點存在定理、函數(shù)單調(diào)性、極值點等知識點的整合都是處理這類問題的通性通法，只要注意因題而異、靈活使用即可.

對于問題（2）而言，解決問題的想法很直接，證明曲線y=lnx在點Ax0，lnx0處的切線方程也是曲線y=ex在某點處的切線方程就可以了，余下的就是求切線方程問題了.

略解 （1）函數(shù)f（x）定義域為0，1∪1，+∞，函數(shù)y=lnx，y=-x+1x-1=-1-2x-1在0，1，1，+∞分別是增函數(shù).所以函數(shù)f（x）在0，1，1，+∞分別是增函數(shù).

（2）由已知x0是f（x）的一個零點得：lnx0=x0+1x0-1.曲線y=lnx在點Ax0，lnx0處的切線方程為y-lnx0=1x0x-x0，即y=1x0x+2x0-1.

同理曲線y=ex在點x1，ex1處的切線方程為y=ex1x+ex1-x1ex1.

所以曲線y=lnx在點Ax0，lnx0處的切線也是曲線y=ex的切線.

備考反思 問題（1）的難度從解法看，難度與以前相比有所下降，但考查的內(nèi)容沒有變化，方法選擇更加靈活，就上述給出的解題方法，簡便易懂，不需要復(fù)雜求導(dǎo)運(yùn)算.所以備考要注意一題多解和寬泛的通性通法的積累與運(yùn)用，不拘泥與某種特定方法進(jìn)行訓(xùn)練.

問題（2）的難度與以前的要求也降低了，但對切線概念的理解，切線公式的運(yùn)用要求在加深.所以，盡管此處圍繞切線方程涉及的知識點沒有什么新意，但公切線是平時備考很少訓(xùn)練的，所以備考要注意挖掘概念、公式深層次的理解和寬泛的應(yīng)用.

全國三卷 20題 已知函數(shù)f（x）=2x3-ax2+b.

（1）討論f（x）的單調(diào)性;

（2）是否存在a，b，使得f（x）在區(qū)間0，1的最小值-1為且最大值為1？若存在求出a，b的所有值;若不存在，說明理由.

解題分析 （1）用求導(dǎo)，再解導(dǎo)函數(shù)解不等式，即可解決討論f（x）的單調(diào)性.

（2）從直觀看，已知最大、小值，所以可以利用求最值的方法列出兩個方程式，從解方程組角度思考，a，b的值是可求出的.

備考反思

問題（1）的求解過程是求導(dǎo)，解導(dǎo)函數(shù)不等式，討論a與0的大小.這些都是導(dǎo)數(shù)部分復(fù)習(xí)備考的通性通法，沒有難度，解題思維含量比較低.

問題（2）通過求函數(shù)最值列不等式組，求解a，b的值.這些也都是通性通法，沒有難度.就本題涉及的分類討論、數(shù)形結(jié)合的思想也是平時備考中重點訓(xùn)練的.

二、關(guān)于壓軸21題位置的概率統(tǒng)計問題分析與備考建議 ?全國一卷 21題 為了治療某種疾病，研制了甲、乙兩種新藥，希望知道那種新藥更有效，為此進(jìn)行動物試驗.試驗方案如下：每一輪選取兩只白鼠對藥效進(jìn)行對比試驗.對于兩只白鼠，隨機(jī)選一只施以甲藥，另一只施以乙藥，一輪的治療結(jié)果得出后，再安排下一輪試驗.當(dāng)其中一種藥治愈的白鼠比另一種藥治愈的白鼠多4只時，就停止試驗，并認(rèn)為治愈只數(shù)多的藥更有效.為方便描述問題，約定：對于每輪試驗，若施以甲藥的白鼠治愈且施以乙藥的白鼠未治愈則甲藥得1分，乙藥得-1分;若施以乙藥的白鼠治愈且施以甲藥的白鼠未治愈則乙藥得1分，甲藥得-1分;若都治愈或都未治愈則兩種藥均得0分，甲、乙兩種藥的治愈率分別記為α和β，一輪試驗中甲藥的得分記為X.

（1）求X的分布列;

（2）若甲藥、乙藥在試驗開始時都賦予4分，pi（i=0，1，2，…，8）表示“甲藥的累計得分為i時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，則 p0=0，p8=1，pi=api-1+bpi+cpi+1i=1，2，…，7，其中a=PX=-1，b=PX=0，c=PX=1.假設(shè)α=0.5，β=0.8.

①證明：pi+1-pii=0，1，2，…，7為等比數(shù)列;

②求p4，并根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

解題分析 問題（1）求X的分布列，先確定X的取值，再計算出每個X的取值對應(yīng)概率，列出分布列表即完成.此為求解分布列問題的常規(guī)解題步驟.

問題（2）①是證明：pi+1-pii=0，1，2，…，7為等比數(shù)列;從通性通法角度講，就是用等比數(shù)列的定義，解題關(guān)鍵是由已知條件出發(fā)推出pi+1-pi=q（pi-pi-1）的形式即可.

問題（2）②一是求p4，二是根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性.

注意到（2）①與（2）②的承接關(guān)系，自然想到運(yùn)用數(shù)列累加法和等比數(shù)列求和公式即可求出p4.

對于根據(jù)p4的值解釋這種試驗方案的合理性，首先注意到合理性判斷的依據(jù)的確定，條件中甲、乙兩種藥的治愈率分別為α=0.5和β=0.8，此數(shù)據(jù)已經(jīng)給出判斷標(biāo)準(zhǔn)是乙種藥治愈效果好于甲種藥是合理的，否則是不合理的.其次用數(shù)列累加、等比數(shù)列求和的方法求出p4=1257≈0.0039，說明甲藥比乙藥效果好是小概率事件.再次是用小概率事件否定甲藥效果比乙藥效果好，到此取得與已知判斷依據(jù)相一致的結(jié)論，得出結(jié)論是“此種試驗是合理的”，否則是不合理的.

所以，p4=p1（44-13）=1257.由條件知p4的意義是表示“甲藥的累計得分為4時，最終認(rèn)為甲藥比乙藥更有效”的概率，在已知甲種藥的治愈率為α=0.5，乙種藥的治愈率為β=0.8的條件下，說明甲藥比乙藥更有效是小概率事件（1257≈0.0039），此結(jié)果與已知基本相一致，所以此試驗方案合理.

備考反思 問題（1）是求分布列，其解法屬于通性通法，不需要對概念的深刻理解.

對于問題（2）來說，難度比較大.難度之一是利用小概率事件對結(jié)論進(jìn)行否定（肯定）.學(xué)生對邏輯上的否定（肯定）是比較熟練的;用相關(guān)性、獨立性檢驗等統(tǒng)計知識否定（肯定）也可以，因為教材上有一定量的介紹;用小概率事件來否定（肯定）某個結(jié)論（做法）學(xué)生就不太容易把握.主要原因是獨立性檢驗雖然是建立在小概率事件上的兩個事件獨立與否的判斷，但在教學(xué)中其理論部分要求較低，重點突出運(yùn)用，導(dǎo)致其理論基礎(chǔ)不牢.所以建議復(fù)習(xí)備考還是要深挖知識形成過程，重結(jié)論運(yùn)用、輕基礎(chǔ)理論建構(gòu)、輕知識形成過程等做法是不可取的.難度之二是概率與數(shù)列的綜合，盡管所用數(shù)列知識和解題方法，也是通性通法，沒有特殊、高超的技巧要求，但平時缺乏這些知識點交匯使用的訓(xùn)練，導(dǎo)致運(yùn)用生疏.所以，備考中在堅持夯實單元知識基礎(chǔ)的同時，變換不同知識點之間的交匯訓(xùn)練還是應(yīng)該堅持的（如：函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、概率、統(tǒng)計等主干知識之間的交匯）.難度之三是概率統(tǒng)計類題目閱讀量大，對語文學(xué)科閱讀能力要求很高，所以，數(shù)學(xué)科培養(yǎng)學(xué)生閱讀能力，通過閱讀訓(xùn)練提升學(xué)生提取數(shù)學(xué)信息、選擇解決問題的數(shù)學(xué)工具顯得十分重要，對此在復(fù)習(xí)備考中要保持一定的耐心.

三、關(guān)于處于21題位置的解析幾何問題分析與備考建議 ?全國二卷 21題 已知點A（-2，0），B（2，0），動點M（x，y）滿足直線AM與BM的斜率之積為-12，記M的軌跡為曲線C.

（1）求C的方程，并說明C是什么曲線;

（2）過坐標(biāo)原點的直線交C于P，Q兩點，點P在第一象限，PE⊥x軸，垂足為E，連接QE并延長交C于點G.

①證明：△PQG是直角三角形;

②求△PQG面積的最大值.

解題分析 問題（1）比較顯然.

對于問題（2）①證明△PQG是直角三角形，解析幾何中的通性通法是斜率之積為-1，本題雖然運(yùn)用“設(shè)而不求”、“韋達(dá)定理”，但，其中最大亮點是為簡化運(yùn)算采取的化簡代換，此舉不僅簡化運(yùn)算，還極大提高解題效率.

對于問題（2）②求△PQG面積，采取基本公式求解即可，沒有技巧.求其最大值處亮點同樣是為簡化運(yùn)算采取的化簡代換，至于用導(dǎo)數(shù)、還是均值不等式求最值都是通性通法要求.

略解 由已知得yx+2·yx-2=-12，化簡x24+y22=1（|x|≠2）.所以曲線C為中心在原點，焦點在軸上的橢圓，不含左右頂點.

又由已知t>0，因此t≥2（k=1時取等號）.求導(dǎo)知S=8t1+2t2在2，+∞是減函數(shù)，所以當(dāng)t=2（k=1）時，S取最大值169.

備考反思 為達(dá)到化簡運(yùn)算的目的進(jìn)行代換法是解決復(fù)雜運(yùn)算的一個有效的做法，建議在復(fù)習(xí)備考中應(yīng)該給予重視.通性通法中的“設(shè)而不求”、“韋達(dá)定理”、“討論直線斜率存在性”等仍然是復(fù)習(xí)備考重點.另外，高考不給圖形，顯然是要求學(xué)生根據(jù)題意自己畫圖.所以，規(guī)范的、體現(xiàn)數(shù)量關(guān)系的畫圖要求在備考中是要強(qiáng)調(diào)的.

全國三卷 21題 已知曲線C：y=x22，D為直線y=-12上的動點，過D作C的兩條切線，切點分別是A，B.

（1）證明：直線AB過定點;

（2）若以E（0，52）為圓心的圓與直線AB相切，且切點為線段AB的中點，求四邊形ADBE的面積.

解題分析 （1）直線過定點的基本想法是：點斜式y(tǒng)-y0=k（x-x0）方程中斜率為變量時，該直線過定點（x0，y0）.也可以從y=kx+b入手，尋求k，b的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點斜式研究定點.

（2）借助圓的切線性質(zhì)，求出直線方程，將四邊形ADBE的面積分解為兩個三角形面積的和，借助點到直線距離求高，兩點間距離求底邊長，即可完成四邊形面積求解.

略解 （1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，-12）. 則kAD=x1，kBD=x2，y1=x212，y2=x222;所以直線AD方程：y-y1=x1（x-x1），兩邊乘x2得：x2y-x2y1=x1x2（x-x1）.

由韋達(dá)定理得：x1+x2=2k，x1x2=-1，所以AB中點（k，k2+12）.由圓的切線垂直性質(zhì)得：kk2+12-52k-0=-1，解之k=±1.

當(dāng)k=1時，直線AB方程為：y=x+12，可解得|AB|=4，D（1，-12）.此時E到直線AB距離為2;D到直線AB距離為2.所以，四邊形面積為42.由對稱性知k=-1時，亦然.

當(dāng)k=0時，直線AB方程為：y=12.此時四邊形面積為3.

備考反思 在解問題（1）時，“設(shè)而不求”、“韋達(dá)定理”仍是考查重點.如果講新意就是借助求導(dǎo)來求斜率.綜合上述，本題雖然作為壓軸21題，考查通性通法仍然是重點.

對于問題（2），考查的知識點比較多，但缺乏考查深度，所涉及的解題方法和技巧也是復(fù)習(xí)備考中的通性通法，沒有新意.

所以解析幾何的復(fù)習(xí)備考還是要強(qiáng)調(diào)通性通法，強(qiáng)調(diào)知識落實;解題時強(qiáng)調(diào)相關(guān)小題中的傳承遞進(jìn)關(guān)系.

通過上述壓軸題的剖析，概括而言，“新”體現(xiàn)在：一是知識點交匯比較新，如：概率與數(shù)列的整合.二是變換考查解題技巧，如：代換法.三是變換題目位置的設(shè)置，如：21題的導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)為20題等.“舊”體現(xiàn)在：一是仍然是考查通性通法.二是“新”只體現(xiàn)在知識點的并列，而不是融合;代換法也是“六大核心素養(yǎng)中的要求內(nèi)容”.所以，在今后復(fù)習(xí)備考中，抓通性通法、抓知識基礎(chǔ)、抓知識的可能交匯、抓學(xué)生的解題自信，以此培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題能力和意志品質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是復(fù)習(xí)備考的主題.

參考文獻(xiàn)：

[1]李偉.“設(shè)而不求”縱橫談——對高中數(shù)學(xué)中“設(shè)而不求”解題思想探究和感悟[J].數(shù)理化解題研究，2019（07）：17-19.

[責(zé)任編輯：李 璟]