由含參二次函數(shù)零點(diǎn)分布引發(fā)的二元范圍問(wèn)題的思考

摘 要：二次函數(shù)問(wèn)題背景熟悉，知識(shí)輻射面廣，試題靈活多變，備受命題老師青睞.本文對(duì)一題含參二次函數(shù)零點(diǎn)分布引發(fā)的二元范圍問(wèn)題進(jìn)行多視角的探究、變式拓展 ，從而揭示問(wèn)題本質(zhì)，供讀者參考.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù);變式拓展;視角

中圖分類號(hào)：G632 ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1008-0333（2020）10-0058-02

收稿日期：2020-01-05

作者簡(jiǎn)介：沈海全（1987.5-），男，浙江省紹興人，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究。

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題 （2017浙江高考樣卷）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+b在x∈（-1，2）上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則a+b的取值范圍.

本題以含參二次函數(shù)為背景，通過(guò)在給定范圍內(nèi)的零點(diǎn)問(wèn)題來(lái)限定參數(shù)的范圍.背景簡(jiǎn)單，起點(diǎn)低，視角寬，思想豐富，可探究性強(qiáng)，具有很好的學(xué)習(xí)、觀摩、研究的價(jià)值.

二、問(wèn)題解法

視角一 （規(guī)劃問(wèn)題視角）記z=a+b.

根據(jù)零點(diǎn)分布可得以下約束條件

評(píng)注 根據(jù)二次函數(shù)根的分布寫出約束條件作出可行域，進(jìn)而從規(guī)劃的視角解決此類問(wèn)題是通法，學(xué)生容易想到，而且可以解決更一般的線性目標(biāo)函數(shù)如z=ma+nb的最值問(wèn)題.

視角二 （函數(shù)值視角）

評(píng)注 a+b恰為f（1），而根據(jù)二次函數(shù)的零點(diǎn)式，又可將f（1）表示為兩零點(diǎn)的關(guān)系，利用零點(diǎn)的范圍巧妙求出a+b的范圍，避開(kāi)了a，b關(guān)系的尋找.函數(shù)值的視角也可解決更為一般的線性目標(biāo)函數(shù)如z=ma+nb=nf（mn）-m2n2，進(jìn)而考慮f（mn）的范圍.

視角三 （根與系數(shù)視角）

視角四 （函數(shù)拆分?jǐn)?shù)形結(jié)合視角）

函數(shù)f（x）=x2+ax+b在x∈（-1，2）上有個(gè)不同的零點(diǎn)方程-x2=ax+b在x∈（-1，2）上有兩解函數(shù)g（x）=-x2與函數(shù)h（x）=ax+b圖象有兩個(gè)交點(diǎn). 而a+b=h（1）.結(jié)合圖象分析當(dāng)h（x）過(guò)C（-1，-1），D（2，-4）時(shí)h（1）取到最小值，當(dāng)h（x）與f（x）相切于C（-1，-1）時(shí)h（1）取到最大值.綜上h（1）為線段AB上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得a+b=h（1）∈（-3，3）.

評(píng)注 將含參動(dòng)態(tài)二次函數(shù)f（x）=x2+ax+b拆分為固定二次函數(shù)g（x）=-x2與動(dòng)態(tài)直線h（x）=ax+b，從而將f（x）=x2+ax+b的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g（x）=-x2與h（x）=ax+b的交點(diǎn)問(wèn)題，而目標(biāo)函數(shù)a+b恰可表示為h（1），利用數(shù)形結(jié)合求出h（1）的范圍. 函數(shù)拆分?jǐn)?shù)形結(jié)合視角也可解決更為一般的線性目標(biāo)函數(shù)如z=ma+nb=nh（mn），進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合考慮h（mn）的范圍.

三、變式拓展

問(wèn)題 函數(shù)f（x）=x2+ax+b在x∈[-12，0]上至少存在一個(gè)零點(diǎn)且0≤a+b≤1，則a-2b的取值范圍.（放寬為有零點(diǎn)問(wèn)題，若不加其他限制線性目標(biāo)函數(shù)取值就無(wú)上下限，故增加條件0≤a+b≤1，具體留給讀者思考）

視角一 （規(guī)劃問(wèn)題視角）

限于篇幅不再給出解答，但變式為有零點(diǎn)問(wèn)題后約束條件需分一個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)零點(diǎn)討論，顯得稍麻煩，但仍是解決線性目標(biāo)函數(shù)的通法.

視角二 （函數(shù)值視角）

評(píng)注 在上題視角二的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，巧妙地將a，b用f（1）和r來(lái)表示，再利用f（1）和r范圍求出a-2b的取值范圍，同樣可以解決更為一般的線性目標(biāo)函數(shù).

評(píng)注 在上題視角三的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再結(jié)合a+b的范圍，表示出r，t間的不等關(guān)系，再利用r范圍求出a-2b的取值范圍，同樣可以解決更為一般的線性目標(biāo)函數(shù).

視角四 （函數(shù)拆分?jǐn)?shù)形結(jié)合視角）

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g（x）=-x2與函數(shù)h（x）=ax+b圖象在x∈[-12，0]上至少存在一個(gè)交點(diǎn).又0≤a+b≤1，即h（1）∈[0，1]，則h（x）=ax+b必須與線段AB有交點(diǎn)且與g（x）=-x2有交點(diǎn)，又a-2b=-2h（12），結(jié)合圖象分析h（12）即為線段CD上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以h（12）∈[-12，0]，則a-2b=-2h（12）∈[0，1].

評(píng)注 函數(shù)拆分?jǐn)?shù)形結(jié)合的視角將約束條件0≤a+b≤1轉(zhuǎn)化為h（x）=ax+b必須與線段AB有交點(diǎn)，且與g（x）=-x2有交點(diǎn)即可，數(shù)形結(jié)合顯得非常經(jīng)典，簡(jiǎn)潔又易懂.

四、鏈接高考

（2015浙江文科最后壓軸題第20題）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+ax+b.

（1）當(dāng)b=a24+1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值g（a）的表達(dá)式;

（2）已知函數(shù)f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍.

解 （1）略.函數(shù)f（x）=x2+ax+b.

（2）僅從函數(shù)拆分?jǐn)?shù)形結(jié)合視角入手.

在x∈[-1，1]上存在零點(diǎn)方程-x2=ax+b在x∈[-1，1]上有解函數(shù)g（x）=-x2與函數(shù)h（x）=ax+b圖象有交點(diǎn). 又b-2a=h（-2）∈[0，1]，即h（x）與線段AB和g（x）均有公共點(diǎn).而b=h（0）.結(jié)合圖象分析當(dāng)h（x）過(guò)B（-2，1），C（-1，-1）和過(guò)B（-2，1）且與拋物線相切時(shí)h（0）取到最小和最大值，即為線段DE上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可解得D（0，-3），E（0，9-45），即b=h（0）∈[-3，9-45].

參考文獻(xiàn)：

＼[1＼]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）＼[M＼].北京：人民教育出版社，2018（1）.

＼[2＼]沈海全. 活用教材，解密高考＼[J＼].數(shù)理化解題研究，2018（10）：21-22.

＼[3＼]沈海全. 題目小世界，思維大舞臺(tái)——2018年浙江高考數(shù)學(xué)第22題＼[J＼].數(shù)理化解題研究，2019（16）：9-12.

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