高中數(shù)學(xué)立體幾何外接球問題

馬宏酉

摘 要：高中數(shù)學(xué)是在整個學(xué)習(xí)生涯中最為重要的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個階段，數(shù)學(xué)是一切學(xué)科的基礎(chǔ)，常言道，學(xué)好數(shù)理化，走遍天下全不怕。就形象地說明了學(xué)好數(shù)學(xué)有多么重要。而高中數(shù)學(xué)立體幾何，貫穿了整個高中數(shù)學(xué)邏輯學(xué)習(xí)的始終，因此，要想在高中打好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，就必須好好學(xué)習(xí)立體幾何的相關(guān)問題。本文主要講解高中數(shù)學(xué)立體幾何外接球問題，使學(xué)生建立起正確的空間想象和空間立體感。

關(guān)鍵詞：立體幾何;空間想象;立體感;邏輯論證

1、導(dǎo)語

空間幾何是高中立體幾何中較為難理解的一個部分，它要求學(xué)生有立體感，在一個平面空間內(nèi)能將幾何圖形的立體感想象出來，因此，在學(xué)習(xí)過程中，最重要的就是要學(xué)會建立空間觀念，提高空間想象力。而在高考中，立體幾何外接球問題幾乎是每年必考的知識要點，空間幾何體與球的外接問題，本質(zhì)是在研究幾何體外接球的半徑問題，但其實立體幾何外接球的解答問題是有規(guī)律可循的。

2、正確學(xué)習(xí)使用立體幾何數(shù)學(xué)思維模式

在學(xué)會解答立體幾何外接球題型之前，需要先對數(shù)學(xué)立體幾何有個基礎(chǔ)的理解，以及正確建立空間幾何的邏輯思維。首先，要保證立體幾何論證的嚴(yán)謹(jǐn)性，對任何一個定義、推理和定理的理解要做到準(zhǔn)確無誤，，符號表示與定理要完全一致，不能有事實而非的理解態(tài)度，只有定理的所有條件都具備了，才能推出相關(guān)的結(jié)論。一定不能再條件沒有完全吻合的情況下就輕易地下結(jié)論。其次，一定要立足于課本中的基礎(chǔ)論證，夯實基礎(chǔ)，對于課本中所列舉出來的相關(guān)證明立體和定理、結(jié)論要確保完全準(zhǔn)確地掌握。定理的內(nèi)容一般總結(jié)的都很簡單，但是定理在證明的過程中會有些難以理解，會讓初學(xué)者覺得很抽象，因此一定要多做題，多思考。再次，培養(yǎng)自己的空間感，一開始，可以自己動手做一些立體模型來幫助自己理解立體幾何，從簡單的圖形如正方體、長方體慢慢深入觀察，逐步培養(yǎng)自己對空間圖形的想象能力和識別能力。最后，通過轉(zhuǎn)化思想，建立數(shù)學(xué)思維模型，把理解的空間幾何圖形運用到題目中去，通過解題來進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)思維，學(xué)習(xí)時，一方面要注意從實際出發(fā)，把學(xué)習(xí)的知識與周圍的實物聯(lián)系起來，另一方面，也要注意經(jīng)歷從現(xiàn)實的生活抽象空間圖形的過程，注重探索空間圖形的位置關(guān)系，歸納、概括它們的判定定理和性質(zhì)定理。

3、正確運用數(shù)學(xué)思維模式解決立體幾何外接球問題

簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和高考的重要考點，解決這類問題的實質(zhì)是解決球的半徑R和確定球心的位置問題，而確定球心的位置是最關(guān)鍵步驟。在一個空間幾何中，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點距離都相等，那么這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心。這是課本里給出的關(guān)于球心的定義，根據(jù)這個定義以及證明的步驟，可以得出一系列的結(jié)論。將這些結(jié)論一一加以證明，學(xué)生對于外接球的基本問題便有了一定程度的理解，尤其是對于解題中特別重要的論證——球心的位置，以及如何通過球心的位置來解答外接球的相關(guān)數(shù)據(jù)等有了更為清晰的解題思路。解題思路總結(jié)如下：1.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識，聯(lián)系長方體，長方體中從一個頂點出發(fā)的三條棱長分別為a，b，c，則根據(jù)體對角線可求出幾何體的外接球直徑2R等于體對角線;2.出現(xiàn)兩個垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論：直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，球心為直角三角形斜邊的中點;3.出現(xiàn)多個垂直關(guān)系時建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量知識求解。而向量法幾乎是解題的萬能方法，需要多動手畫圖。

解答立體幾何外接球在高中教學(xué)與考試中是重點亦是難點，那么，主要有哪些立體幾何圖形存在外接球問題呢：1.正方體的外接球，在立體幾何外接圓問題中屬于基礎(chǔ)簡單的題型，只要根據(jù)外接圓的定義和相關(guān)定理便可求出來，正方體的對角線為外接球球的直徑;2.長方體與外接球，長方體的內(nèi)角線為外接球的直徑;3.三棱錐與球，是考試的高頻考點，也是立體幾何中最能展現(xiàn)空間立體幾何思維的題型，要通過多種情況的分析來判定三棱錐的球心，并且大多數(shù)需要做輔助線甚至是空間直角坐標(biāo)系來判斷球心的位置，因此屬于考試中的難點。

高中數(shù)學(xué)立體幾何外接球問題是在平面幾何和立體幾何教學(xué)之后，由此說明，要想學(xué)好高中數(shù)學(xué)立體幾何外接球的問題，必須要打牢基礎(chǔ)，立足于平面幾何和立體幾何的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，融會貫通，充分理解空間幾何與平面幾何之間的關(guān)系，以及直角坐標(biāo)系與向量之間的關(guān)系，這樣才能在學(xué)習(xí)立體幾何外接球問題時打開思路，拓寬數(shù)學(xué)思維方式。

4、總結(jié)

立體幾何是高中數(shù)學(xué)中非常經(jīng)典的內(nèi)容，它立足于平面幾何的基礎(chǔ)之上，也為日后進(jìn)入大學(xué)階段學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)立體幾何奠定了根基。高中數(shù)學(xué)將簡單的空間幾何體加以整理，并進(jìn)行了基礎(chǔ)介紹，包括棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球這些柱體、椎體和球體的簡單整合，并對這些幾何圖形的表面積、體積、點與直線與立體圖形的性質(zhì)和關(guān)系進(jìn)行了基礎(chǔ)解析。如何理解并且運用高中數(shù)學(xué)立體幾何相關(guān)判定方法，包括立體幾何外接球問題，是學(xué)會用數(shù)學(xué)空間思維模式進(jìn)行思考的重要的教學(xué)內(nèi)容之一。

參考文獻(xiàn)

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