高等數(shù)學(xué)課程的難點(diǎn)分析

胡曉敏 陳建蘭 覃森

摘要：通過(guò)對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的難點(diǎn)分析，有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，提高學(xué)生們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué);難點(diǎn)分析;技巧

一、引言

高等數(shù)學(xué)是大學(xué)理工科各專業(yè)的重要基礎(chǔ)課，是考研必考的重要課程之一，也是大學(xué)后續(xù)課程的基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容，已深入滲透至許多數(shù)學(xué)分支，并在諸多自然學(xué)科有廣泛應(yīng)用。高等數(shù)學(xué)的理論有三百多年的歷史，理論深;高等數(shù)學(xué)的方法涵蓋了單變量和多變量的連續(xù)變量的微積分，方法雜;高等數(shù)學(xué)的方法已經(jīng)應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)、金融、工程，電子等各個(gè)領(lǐng)域，應(yīng)用廣;高等數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)多，它是本科學(xué)生最難學(xué)的一門(mén)課程。如何讓學(xué)生很好地領(lǐng)會(huì)高等數(shù)學(xué)的精神和實(shí)質(zhì)，需要科學(xué)地教授高等數(shù)學(xué)，如何科學(xué)地教授高等數(shù)學(xué)，需要很好地研究和剖析高等數(shù)學(xué)中的各個(gè)難點(diǎn)。下面通過(guò)剖析高等數(shù)學(xué)的難點(diǎn)（知識(shí)點(diǎn)），科學(xué)地講授該課程，有效地培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，提高考研升學(xué)率，提高學(xué)生們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和決問(wèn)題的能力，為各行各業(yè)培養(yǎng)出更優(yōu)秀的人才。

二、難點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)分析

（1）一元函數(shù)求極限的技巧

一元函數(shù)的極限，首先需掌握相關(guān)的重要定理、公式和結(jié)論。如常用的洛必達(dá)法則、

等價(jià)無(wú)窮小替換、夾逼準(zhǔn)則、單調(diào)有界數(shù)列必有極限等。但做題還是要考察極限的特點(diǎn)，找到合適的方法，正確快速的解題。如求.雖然極限符合洛必達(dá)的條件，但此題用等價(jià)無(wú)窮小的替換簡(jiǎn)單;而，則要分解成兩項(xiàng)（不能直接用洛必達(dá)法則），，第一項(xiàng)用洛必達(dá)法則，第二項(xiàng)結(jié)合第一項(xiàng)用無(wú)窮小與有界函數(shù)的積仍是無(wú)窮小的性質(zhì)。另外，當(dāng)時(shí)，求含有等的極限式，要考慮0點(diǎn)處的左右極限，當(dāng)左右極限相等時(shí)，極限存在，否則不存在。

（2）一元函數(shù)利用定義求導(dǎo)數(shù)的技巧。一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義，因此實(shí)際上歸結(jié)為求極限問(wèn)題。導(dǎo)數(shù)的定義常用在分段函數(shù)分界點(diǎn)處求導(dǎo)及抽象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問(wèn)題。

（3）一元函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用技巧。如根的存在問(wèn)題，需要分析題意，作出相應(yīng)的輔助函數(shù)（如移項(xiàng)，方程右邊為0）及區(qū)間，考察性質(zhì)的條件并運(yùn)用。

（4）一元抽象復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求解技巧。利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的“鏈?zhǔn)椒▌t”，求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)要分清每次求導(dǎo)自變量與中間變量的關(guān)系，低階導(dǎo)數(shù)中的復(fù)合函數(shù)的中間變量。如二階可導(dǎo)，則，注意仍是復(fù)合函數(shù)。

（5）線性微分方程解的求解技巧。確定方程的階數(shù)，并利用相應(yīng)的解的結(jié)構(gòu)（或公式）求解;或通過(guò)變量代換（含自變量與因變量互換）、常數(shù)變易法求解。

（6）二重極限的求解方法。需正確理解的含義：指平面上點(diǎn)以任何方式、任何方向、任何路徑趨于，比一元函數(shù)的極限復(fù)雜，但仍常用一元函數(shù)求極限的公式或法則;判別二元函數(shù)極限不存在的方法：一是當(dāng)動(dòng)點(diǎn)以兩種不同的路徑如或（）（其中為分子最低次項(xiàng)冪）趨于時(shí)，函數(shù)趨于不同的極限值;二是選取一種方式或路徑動(dòng)點(diǎn)按此方式或路徑趨于時(shí)，函數(shù)的極限不存在。

（7）多元復(fù)合函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)的求解技巧。類似一元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的“鏈?zhǔn)椒▌t”，求高階導(dǎo)數(shù)時(shí)仍要分清函數(shù)、中間變量與自變量之間的關(guān)系，低階偏導(dǎo)中有復(fù)合函數(shù)，仍需利用復(fù)合函數(shù)的“鏈?zhǔn)椒▌t”的求偏導(dǎo)。

（8）隱函數(shù)的求導(dǎo)技巧。關(guān)鍵弄清哪些是自變量，哪些是因變量。一階偏導(dǎo)可利用直接求導(dǎo)法、公式法或全微分法。對(duì)由方程組確定的隱函數(shù)，其一階偏導(dǎo)計(jì)算可用直接求導(dǎo)法。

（9）二重積分的計(jì)算技巧。關(guān)鍵畫(huà)出積分區(qū)域，確定用直角坐標(biāo)還是極坐標(biāo)。直角坐標(biāo)需確定為X型區(qū)域還是Y型區(qū)域，然后化為二次積分計(jì)算。對(duì)應(yīng)個(gè)別被積函數(shù)可能需要交換積分次序等方法來(lái)計(jì)算。區(qū)域與圓域有關(guān)，一般用極坐標(biāo)。

（10）曲線積分的求解技巧。分清是平面曲線還是空間曲線、對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分還是對(duì)坐標(biāo)的曲線積分，然后利用定理、公式（如格林公式）、結(jié)論或路徑的對(duì)稱性、輪換對(duì)稱性、被積函數(shù)的奇偶性、路徑的表達(dá)式等方法來(lái)求解。

（11）曲面積分的求解技巧。分清是對(duì)面積的曲面積分還是對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，然后利用定理、高斯公式、或兩類曲面積分的關(guān)系、投影法、對(duì)稱性、曲面的表達(dá)式等來(lái)求解。

（12）格林公式的運(yùn)用和求解技巧。曲線積分利用格林公式，要明確公式的條件與結(jié)論。先計(jì)算，再觀察路徑L是否為閉？如若路徑L不閉，但，說(shuō)明積分與路徑無(wú)關(guān)。此時(shí)設(shè)路徑L：起點(diǎn)，終點(diǎn)，積分可按平行于坐標(biāo)軸的路徑計(jì)算，即。

（13）高斯公式的運(yùn)用和求解技巧。高斯公式。為閉，一階連續(xù)偏導(dǎo)。因此利用高斯公式時(shí)，要注意高斯公式的條件，如不閉，要加面使其封閉，加面盡可能為坐標(biāo)面或平面，使其計(jì)算簡(jiǎn)單。

（14）無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂的判別方法。根據(jù)無(wú)窮級(jí)數(shù)的收斂定義與性質(zhì)，先觀察（容易觀察）通項(xiàng)極限（）是否為0，若不為0或不存在，則此級(jí)數(shù)發(fā)散。如，通項(xiàng)極限（）為2/3，故此級(jí)數(shù)發(fā)散。若是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，則用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判別法判別其斂散性;若是任意項(xiàng)級(jí)數(shù)（含交錯(cuò)級(jí)數(shù)），先通項(xiàng)加絕對(duì)值后化為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值法判別其斂散性，若收斂則絕對(duì)收斂，若發(fā)散，則發(fā)散;比值法失效時(shí)，用比較判別法判。若都無(wú)法判定時(shí)，觀察原級(jí)數(shù)是否可用交錯(cuò)級(jí)數(shù)，考慮萊布尼茨判別法;或級(jí)數(shù)斂散性的定義、性質(zhì)。如，利用級(jí)數(shù)的斂散性質(zhì)，可知其為發(fā)散級(jí)數(shù)。

（15）（）傅里葉級(jí)數(shù)和函數(shù)的求解方法。畫(huà)的圖形，在滿足收斂準(zhǔn)則的條件下，其傅里葉級(jí)數(shù)和函數(shù)：

三、結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)對(duì)高等數(shù)學(xué)中的幾個(gè)關(guān)鍵的知識(shí)點(diǎn)難點(diǎn)分析，讓教師易教，學(xué)生易懂易學(xué)，但“教學(xué)有法，教無(wú)定法”，這只是我們的挫見(jiàn)，還需要向?qū)＜摇⑵渌蠋煂W(xué)習(xí)，完善與提高相關(guān)研究，以提高學(xué)習(xí)效果和教學(xué)質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)：

[1]孟獻(xiàn)青，幾類常見(jiàn)函數(shù)的極限計(jì)算方法[J].山西大同大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），Vol.36.No.6Dec2020，33-36.

[2]陳建蘭，胡曉敏.高等數(shù)學(xué)D2翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)設(shè)計(jì)[J]，東方教育，2018年2月下（總第150期），22-.

[3]陳文登主編，考研數(shù)學(xué)核心題型[M].北京航空航天大學(xué)出版社出版.2010.

基金資助：杭州電子科技大學(xué)高等教學(xué)改革項(xiàng)目（YBJG202051）。

作者簡(jiǎn)介：胡曉敏（1968.04-），女，浙江省象山人，教授，研究生學(xué)歷，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

（杭州電子科技大學(xué) 理學(xué)院 浙江杭州 310018）