數(shù)學(xué)抽象下的高中教學(xué)設(shè)計(jì)研究

胡昌亮

摘 要：數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是聯(lián)系數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，高中數(shù)學(xué)為什么難，就在于一些學(xué)生不能將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)與自身經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系起來(lái).所以在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，更好地理解數(shù)學(xué)概念，將數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，破解數(shù)學(xué)難題，顯得非常有必要.本文中，筆者以兩個(gè)教學(xué)片斷為切入點(diǎn)，通過(guò)設(shè)計(jì)數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，達(dá)到訓(xùn)練學(xué)生抽象思維的目的.

關(guān)鍵詞：抽象素養(yǎng);數(shù)形結(jié)合;教學(xué)設(shè)計(jì)

“核心素養(yǎng)”是近幾年眾多教育專家學(xué)者熱議的主題，也是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn).由于數(shù)學(xué)學(xué)科本身與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系是抽象的，所以作為六大核心素養(yǎng)首位的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提出是必然的;其次，當(dāng)前教育的主要形式是學(xué)校教育，課堂又是學(xué)校教育的主陣地，所以有效的教學(xué)設(shè)計(jì)尤其是以培育高中生的抽象素養(yǎng)為目的的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)是有意義的.

縱觀現(xiàn)狀，我國(guó)專家學(xué)者如史寧中教授等對(duì)“核心素養(yǎng)”的研究已經(jīng)非常深刻，但如何針對(duì)高中生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的研究卻不多見(jiàn).

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界抽象的產(chǎn)物，理性思維的形成需要數(shù)學(xué)抽象的奠基.作為一種思維過(guò)程和能力，數(shù)學(xué)抽象可讓高中生養(yǎng)成思考問(wèn)題的一般性習(xí)慣，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，更可以滲透到其他相關(guān)學(xué)科中去，解決相關(guān)問(wèn)題.抽象思維能力作為數(shù)學(xué)思維能力的一種，在建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中起到主要的支撐作用.高中生一般生理年齡在十六歲至十九歲之間，他們已經(jīng)形成了較為成熟的邏輯思維和認(rèn)知水平，但并不代表他們就不需要繼續(xù)培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，與其他素養(yǎng)不同的是數(shù)學(xué)抽象需借助數(shù)學(xué)知識(shí)作為載體，通過(guò)系統(tǒng)的訓(xùn)練才可以獲得.因此在課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中引入數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，對(duì)學(xué)生的能力結(jié)構(gòu)的塑造也非常有意義.

史寧中教授將數(shù)學(xué)抽象劃分為數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，圖形與圖形關(guān)系的抽象，虛擬和現(xiàn)實(shí)的抽象.要拿下數(shù)學(xué)抽象問(wèn)題，感性認(rèn)識(shí)和直觀體驗(yàn)的結(jié)合是中學(xué)教學(xué)的第一要?jiǎng)?wù).

數(shù)與形是刻畫(huà)事物本質(zhì)的兩個(gè)重要方面，數(shù)無(wú)形不直觀，形無(wú)數(shù)不入微.“數(shù)”抽象難懂，“形”形象直觀.數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中解決問(wèn)題的重要思想方法，可使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，最終達(dá)到優(yōu)化解題方法的目標(biāo).

教學(xué)片斷1：已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，請(qǐng)你說(shuō)出對(duì)f（x）=f（x+a）的理解，其中a為非零常數(shù).

設(shè)計(jì)目的：這是函數(shù)中眾多抽象代數(shù)式的一種，蘊(yùn)含著某些性質(zhì)的抽象代數(shù)式往往會(huì)讓學(xué)生摸不著頭腦，無(wú)從下手.筆者認(rèn)為，可借助圖形化手段思考代數(shù)式，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想，將抽象問(wèn)題結(jié)合具體圖形去理解，提高抽象素養(yǎng).

分析 我們借助正切函數(shù)的圖象作模型，如圖取a=π，對(duì)任意x0∈{x|x≠π2+kπ，k∈Z}，

有f（x0）=f（x0+π），在依次取a=2π，3π，…，kπ，都有f（x0）=f（x0+a）.學(xué)生很容易想到這是函數(shù)值周而復(fù)始出現(xiàn)的一種表現(xiàn)，從而知道上式反映的是函數(shù)的周期性.根據(jù)圖象和取值，得到π是函數(shù)的一個(gè)周期，且周期不唯一，從而引申出π是無(wú)數(shù)個(gè)正周期中的最小的一個(gè)，得到最小正周期的概念.

上述解決過(guò)程不僅是數(shù)形思想的滲透，還是高中化歸思想的一種普及.學(xué)生在此次學(xué)習(xí)之后，在遇到類似抽象代數(shù)式時(shí)，便可利用函數(shù)圖象輔助教學(xué)，結(jié)合現(xiàn)實(shí)中一些具體的感知，進(jìn)而加深對(duì)抽象代數(shù)式的理解.教師也可以相應(yīng)給出變式訓(xùn)練，如f（a+x）=f（b-x）揭示了什么數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，加強(qiáng)對(duì)所有此類問(wèn)題的理解，提高學(xué)生抽象素養(yǎng)水平.

反之，幾何圖形雖然直觀形象，但要反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)，還需要借助數(shù)的運(yùn)算;以數(shù)論形，可以讓學(xué)生理解幾何圖形背后的數(shù)學(xué)本質(zhì).縱觀高中數(shù)學(xué)，空間向量便是此類問(wèn)題的典型代表，利用空間直角坐標(biāo)系，將空間中線面位置關(guān)系與代數(shù)運(yùn)算建立聯(lián)系，進(jìn)而將幾何問(wèn)題代數(shù)化.

教學(xué)片斷2：在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP=∠CDP=90°.

（1）證明：平面PAB⊥平面PAD;

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

設(shè)計(jì)意圖：形數(shù)不分家，圖形的直觀性優(yōu)點(diǎn)有時(shí)候也難以揭示背后的規(guī)律，這時(shí)候就需要將圖形數(shù)量化，利用向量，函數(shù)，方程等代數(shù)手段“以數(shù)解形”.

分析與解答 第2問(wèn)中的二面角求解，如果借助于幾何手段去尋找并且求解出來(lái)，會(huì)有一定的難度，對(duì)學(xué)生的空間思維能力要求過(guò)高，于是利用面面垂直性質(zhì)定理借助于第一問(wèn)，可建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，用定量的方法解決幾何問(wèn)題.

簡(jiǎn)解 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.

設(shè)m=（x，y，z）是平面PAB的法向量，則同理可得m=（1，0，1）.后面轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)法向量的余弦，這里省略.

數(shù)學(xué)中這樣的例子還有很多，借助于直觀和感官的思維，可以感受數(shù)量與數(shù)量關(guān)系，圖形與圖形關(guān)系的抽象.在高中課堂教學(xué)中，我們要善于在教學(xué)設(shè)計(jì)中合理并且善于利用數(shù)學(xué)抽象，提高課堂教學(xué)這個(gè)主陣地的效率和價(jià)值.

參考文獻(xiàn)：

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[2]王春力.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)單元主題教學(xué)設(shè)計(jì)研究[D].濟(jì)南：山東師范大學(xué)，2019：30-55.

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