例談變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

楊海峰

摘 要：變式訓(xùn)練在高中解題練習(xí)中有著重要的意義。學(xué)生通過變式訓(xùn)練可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性，并掌握相應(yīng)的解題規(guī)律與解題方法，更好地理解抽象的數(shù)學(xué)知識，促進(jìn)自身解題能力與邏輯推理能力的提升，并逐漸養(yǎng)成多樣化的解題思維。本文通過教學(xué)案例就變式訓(xùn)練在高中解題練習(xí)中的應(yīng)用進(jìn)行了論述。

關(guān)鍵詞：變式訓(xùn)練;高中解題;應(yīng)用例談

變式訓(xùn)練在高中解題練習(xí)中有著重要的意義。學(xué)生通過變式訓(xùn)練可以發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)屬性，并掌握相應(yīng)的解題規(guī)律與解題方法，更好地理解抽象的數(shù)學(xué)知識，促進(jìn)自身解題能力與邏輯推理能力的提升，并逐漸養(yǎng)成多樣化的解題思維。

一、導(dǎo)言

變式訓(xùn)練是一種思維訓(xùn)練的有效模式，它是由利用構(gòu)造一系列變式的方法來創(chuàng)設(shè)暴露思維障礙的情境，并展示解決問題的思維過程，數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)和演變過程以及知識發(fā)生、發(fā)展過程。在我們高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，不少學(xué)生都存在著學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)公式定理時(shí)覺得簡單，解答標(biāo)準(zhǔn)題型時(shí)也能游刃有余，但是當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)題型變換了形式卻往往不知該從哪里下手。這種現(xiàn)象的本質(zhì)在于學(xué)生并沒有把自身所學(xué)的數(shù)學(xué)知識融會貫通。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師有必要對學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練，通過改變問題和題設(shè)等方式來向?qū)W生展示問題的解題思路以及知識的形成和發(fā)展過程。學(xué)生們通過變式訓(xùn)練可以實(shí)現(xiàn)更高層次的發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)行探究性的活動時(shí)也能夠靈活運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識，從而認(rèn)識問題的本質(zhì)，并進(jìn)一步認(rèn)識變化中的不變關(guān)系。變式訓(xùn)練的主要作用在于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散、遷移知識的能力以及凝聚學(xué)生的注意力。變式訓(xùn)練可以讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)中都能得到不同的發(fā)展，它通過不同層次與不同難度來使學(xué)習(xí)能力處于不同數(shù)學(xué)階段的學(xué)生都各有所得，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情并使學(xué)生感受到成功的樂趣。

二、數(shù)學(xué)解題中變式訓(xùn)練的運(yùn)用案例

變式題的本質(zhì)在于增加對標(biāo)準(zhǔn)題的干擾因素，并要求學(xué)生在求解時(shí)再轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)題的模式，從而還原問題的本質(zhì)并逐步擺脫干擾因素。變式訓(xùn)練在高中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用主要有以下三大類：

（一）表述改變而本質(zhì)不變

學(xué)生在解題時(shí)遇到阻礙的根本原因在于不知道題目考察的是哪一個知識點(diǎn)，無法把握題目的本質(zhì)，因此無法順利解答題目。所以，在對學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練時(shí)，可以不改變題目本質(zhì)的情況下，盡可能多方位地改變題目表述的方式，從而幫助學(xué)生更快、更好地把握題目的本質(zhì)，盡快找出問題解決的突破口，從而迅速解決問題。

例一：經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B（3，0）的動點(diǎn)P與AB兩點(diǎn)組成的∠APB為直角，求動點(diǎn)P的軌跡方程。

例一是一個標(biāo)準(zhǔn)題型，我們對題目進(jìn)行分析，就可以發(fā)現(xiàn)例一的本質(zhì)在于求圓的方程。有些學(xué)生無法準(zhǔn)確把握此類題的本質(zhì)，為了提高這些同學(xué)探尋此類題目本質(zhì)的能力，教師就可以對這個題目進(jìn)行如下幾種變式：

變式一：已知A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-3，0）和（3，0），動點(diǎn)P與兩點(diǎn)連成的直線PA與PB相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程。

變式二：動直線L1經(jīng)過固定點(diǎn)A（-3，0），而動直線L2經(jīng)過固定點(diǎn)B（3，0），L1⊥L2，求垂足P點(diǎn)的軌跡方程。

變式一與變式二和例一的問題本質(zhì)是一樣的，只是表述方式有所改變。通過這樣的變式訓(xùn)練，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，幫助學(xué)生快速把握到此類題目的本質(zhì)，從而順利的解決此類問題。

（二）問題改變而題設(shè)不變

在高中數(shù)學(xué)的解題訓(xùn)練中，為了開拓學(xué)生的思維，引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度解決問題、分析問題，教師對學(xué)生進(jìn)行變式訓(xùn)練時(shí)還可以變化題目的問題而不改變題設(shè)來提高學(xué)生的解題能力。在實(shí)際的變式訓(xùn)練中，教師可以通過這種變式方法，引導(dǎo)學(xué)生對此類題目進(jìn)行深入分析，適當(dāng)增加問題的難度，對原題目進(jìn)行變式，從而掌握此類題相應(yīng)的解題思路，并歸納解決此類問題的方法。

例二：P是橢圓=25上的一點(diǎn)，且P點(diǎn)與橢圓兩個焦點(diǎn)的連線互相垂直，求P點(diǎn)的軌跡方程。

針對此類比較常見的與橢圓相關(guān)的題型，教師可以對其進(jìn)行一定的變形，從而開拓學(xué)生的思維。

變式一：橢圓=25上的兩個焦點(diǎn)分別是A和B，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，當(dāng)線段PA與PB形成一個鈍角（或銳角）時(shí)，求點(diǎn)P的取值范圍。

例二經(jīng)過這樣的變式練習(xí)之后，雖然題設(shè)并沒有改變，但是問題的深度卻增加了很多，教師就可以根據(jù)常見的直角求解方法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散自己的思維，解答在鈍角或銳角情況下點(diǎn)P的取值范圍，從而有效的培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。

（三）同時(shí)改變問題與題設(shè)

在對學(xué)生進(jìn)行變式的過程中，教師可以進(jìn)一步的增加變式的難度。對于題目給定的知識點(diǎn)，教師可以在改變題設(shè)的同時(shí)，也對問題進(jìn)行一定的調(diào)整。我們以例三及其變式來對同時(shí)改變問題與題設(shè)的變式訓(xùn)練進(jìn)行說明。

例三：已知橢圓方程為=1，點(diǎn)A是橢圓上的一點(diǎn)，且點(diǎn)A與F1及F2兩個焦點(diǎn)形成的連線構(gòu)成直角，求點(diǎn)A的取值范圍。

變式一：已經(jīng)雙曲線方程為=1，雙曲線上存在一個點(diǎn)A，使得點(diǎn)A與兩焦點(diǎn)形成的直線相互構(gòu)成直角，求點(diǎn)A與X軸的垂直距離。

例三的變式同時(shí)改變了問題與題設(shè)，使得學(xué)生的潛力進(jìn)一步發(fā)揮出來，大大提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維分析能力。教師通過此類形式的變式訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，改變學(xué)生的思維定勢，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力。

三、結(jié)語

高中數(shù)學(xué)的知識大多數(shù)都是系統(tǒng)性的，因此，很多問題和題設(shè)也都具有同源性。教師在利用變式訓(xùn)練來培養(yǎng)學(xué)生的解題能力時(shí)，要多搜集變式的題源，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)，有意識的引導(dǎo)學(xué)生變化中探究不變的本質(zhì)，在不變的本質(zhì)中發(fā)現(xiàn)變化的規(guī)律，從而激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，并充分體現(xiàn)出新課程的教學(xué)理念，提升學(xué)生的思維能力，挖掘?qū)W生的潛能，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

參考文獻(xiàn)

[1]連云港市“MA”課題組，“發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)”教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究報(bào)告[J].課程·教材·教法，1997，（8）：35-39.

[2]王子興，論數(shù)學(xué)素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2002，（1）：6.

[3]鄭強(qiáng)，論數(shù)學(xué)素養(yǎng)及其在數(shù)學(xué)課程中的價(jià)值體現(xiàn)[J].曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2005，（2）：127.