向量是表達(dá)幾何性質(zhì)的語言

沈海全

摘?要：從教材習(xí)題入手不斷進(jìn)行變式拓展，挖掘向量語言中所蘊(yùn)含的幾何性質(zhì)，揭示問題本質(zhì).

關(guān)鍵詞：平面向量;變式拓展;數(shù)學(xué)美

中圖分類號：G632文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0011-02

平面向量是高中數(shù)學(xué)中重要和基本的概念之一， 也是浙江高考的亮點(diǎn)和難點(diǎn)內(nèi)容. 它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，常用平面向量解決一些比較復(fù)雜的幾何問題，即幾何問題代數(shù)化.而在高考中某些向量問題常具有豐富的幾何背景和幾何性質(zhì)，反而需要把向量問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，借助幾何方法來更好地解決，那就需要我們用敏銳的眼光識別向量語言中所蘊(yùn)含的幾何性質(zhì)，這也是解決此類問題的難點(diǎn).本文從課本習(xí)題出發(fā)通過一系列的拓展變式將一些具有明顯幾何意義的向量問題進(jìn)行歸納總結(jié)，揭示問題的本質(zhì)，供老師同學(xué)參考學(xué)習(xí).

一、在教材中尋根人教版必修四課本P120 第2，3題.

1.已知向量a，b為非零向量，且a+b=a-b，求證：a⊥b，并解釋幾何意義.

解?如圖1，設(shè)OA=a，OB=b，則由向量運(yùn)算法則可得平行四邊形的對角線OC=a+b，BA=a-b，又a+b=a-b，由平面幾何知識知對角線相等的平行四邊形為矩形，即a⊥b.

2.已知向量a，b為非零向量， 且a+b⊥a-b，求證：a=b，并解釋幾何意義.

解?如圖2，設(shè)OA=a，OB=b，則由向量運(yùn)算法則可得OC=a+b，BA=a-b，由平面幾何知識知對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，即a=b.

下面再看兩個(gè)小問題.

3.已知向量a，b滿足a=2，b·a-b=0，你能解釋其中蘊(yùn)含的幾何意義嗎？

解?如圖3，設(shè)OA=a， OB=b，則BA=a-b.因b⊥（a-b）， 即點(diǎn)B在以線段OA為直徑的圓周上. 即直徑所對的圓周角為90°.

4.已知向量a，b滿足a=2，b=a-b，你能解釋其中蘊(yùn)含的幾何意義嗎？

解?如圖4，設(shè)OA=a，OB=b，則BA=a-b，因b=a-b，即點(diǎn)B在線段OA的中垂線上，即線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等.

四個(gè)簡單的向量表達(dá)式，蘊(yùn)含了我們最熟悉的平行四邊形、菱形、線段、圓所具有的最美的性質(zhì).為變式拓展提供了材料和動(dòng)力，結(jié)合以上性質(zhì)再加入新的元素λa-b設(shè)計(jì)了這么一個(gè)問題. 已知向量a，b滿足a=2，b·a-b=0，b=a-b，λ∈R，求λa-b的最小值.

解?由以上幾個(gè)問題可知，b的終點(diǎn)B既在以線段OA為直徑的圓周上，又在線段OA的中垂線上，所以b唯一固定，而λa-b所表示的幾何意義為向量λa終點(diǎn)D和向量b終點(diǎn)B連線距離，即為直線OA上的動(dòng)點(diǎn)D與定點(diǎn)B連線距離，所以表達(dá)的幾何意義為直線外一點(diǎn)與直線上一動(dòng)點(diǎn)的最小距離，即BDmin=BC=1.

二、在根基中求變

問題1?已知向量a，b滿足a=2，a與a-b的夾角為60°，求b的最小值.

解?設(shè)OA=a，OB=b，則BA=a-b，又a與a-b的夾角為60°，即∠OAB=60°，所以b終點(diǎn)可在射線AB上運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)OB⊥AB時(shí)，bmin=3.

以上問題源于2010年浙江高考試題，體現(xiàn)了直線外一點(diǎn)到直線上動(dòng)點(diǎn)連線的最短距離為垂線段長度.下面將條件a與a-b的夾角為60°改為b與a-b的夾角為120°，驚喜的發(fā)現(xiàn)b終點(diǎn)的軌跡由射線變?yōu)榱藞A弧，而初中已經(jīng)知道圓最優(yōu)美的幾何性質(zhì)是同弧所對的圓周角相等.這么優(yōu)美的幾何性質(zhì)以向量語言表現(xiàn)出來了.而解決這個(gè)問題又可以用正弦定理來解決，從而又用到了三角形最美的性質(zhì)即正弦定理.下面給出問題和解答.

問題2?已知向量a，b，c滿足a=b=2，a⊥b， c=λa+1-λb，λ∈R，求c的最小值.

解?;如圖7，設(shè)OA=a，OB=b，由c=λa+1-λb可得，當(dāng)向量a，b，c共起點(diǎn)后，終點(diǎn)共線，即C在AB直線上.所以當(dāng)OC⊥AB時(shí)，cmin=2

問題2是在問題1的基礎(chǔ)上再加進(jìn)一個(gè)新的向量c，向量表達(dá)式c=λa+1-λb體現(xiàn)了三點(diǎn)共線.變式1-4對各條件和角度進(jìn)行了改變，產(chǎn)生了不同的幾何性質(zhì)，變式5更大膽地讓c也運(yùn)動(dòng)起來，最后轉(zhuǎn)化為兩圓相切問題.有了以上的探究，下面對2018年浙江高考平面向量試題進(jìn)行分析，原來試題是那么自然而漂亮.

三、在真題中實(shí)踐（2018浙江高考第9題）已知a，b，e是平面向量，e是單位向量，若非零向量a與e夾角為π3，向量滿足b2-4e·b+3=0，則|a-b|的最小值是（）.

A.3-1 B.3+1C.2D.2-3

解法一?設(shè)OA=a，OB=b，OE1=e，OE2=2e，由b2-4e·b+3=0可得（b-2e）2=1，即|b-2e|=1，則b的終點(diǎn)B與2e的終點(diǎn)E2連線距離為1，所以b的終點(diǎn)在以E2為圓心，1為半徑的圓周上運(yùn)動(dòng). a與e夾角為π3，即a的終點(diǎn)A在射線OP上運(yùn)動(dòng).然后問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，即圓周上動(dòng)點(diǎn)與射線上動(dòng)點(diǎn)的最小距離問題. 即|a-b|min=|AB|min=3-1.

解法二?設(shè)OA=a，OB=b，OE1=e，OE2=2e，由b2-4e·b+3=0可得

（b-e）·（b-2e）=0，即（b-e）⊥（b-2e）.所以b的終點(diǎn)在以E1E2為直徑的圓周上.下面同解法一.

著名的藝術(shù)家羅丹說：“美到處都有，生活中不是缺少美，而是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛.”本文中簡潔的向量表達(dá)式展現(xiàn)了平面幾何中一些最美的性質(zhì).這就需要教師在高考復(fù)習(xí)過程中精心選擇教學(xué)復(fù)習(xí)材料，精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程.在教學(xué)過程中要注意知識發(fā)現(xiàn)的過程，讓學(xué)生體會知識的來龍去脈，使學(xué)生在發(fā)現(xiàn)知識的過程中，經(jīng)歷探究、思考、加工的過程，實(shí)現(xiàn)知識的“表象特征”到“內(nèi)在價(jià)值”理解升華.著力讓學(xué)生數(shù)學(xué)能力數(shù)學(xué)素養(yǎng)在數(shù)學(xué)問題的解決過程中生成、在教學(xué)互動(dòng)的過程中成長、在思維思辨過程中升華.

參考文獻(xiàn)：

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（數(shù)學(xué)必修4）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[責(zé)任編輯：李?璟]