淺析換元法在不等式問題中的一般規(guī)律

孫宇

摘?要：“換元法”是高中數(shù)學學習中的最重要的思想方法之一，其在不等式中的應用是最為典型的，也是最巧妙、最廣泛的.本篇文章對換元法在不等式中的應用進行了一般性規(guī)律的探究.

關鍵詞：換元法;不等式;思想方法;規(guī)律

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2020）22-0023-02

一、換元法的理解

“換元法”，顧名思義，就是指未知元進行更換，從而使得代數(shù)式更加簡單或者更容易理解.在進行換元法使用后，一般代數(shù)式的形式就會更加簡潔明了——變成“基本不等式”（“勾函數(shù)”形式）或者“二次函數(shù)”形式.而在不等式題的證明中有很多重要方法，蘊含著高度的概括性、深刻性、內(nèi)隱性、層次性、發(fā)展性、遷移性、啟發(fā)性、廣泛性，因此研究透換元法是非常有必要的.

二、換元法在不等式中的一般規(guī)律

在大部分的不等式的考題中，其問題的設置基本上可分為三類：第一類是二元多項式形式，第二類是二元齊次式分式，第三類是二元非齊次分式.筆者分別對這三類不等式最值的求解，用換元法進行詳細的規(guī)律探究.

知識儲備?對于一元分式，有兩種基本類型，一類是一元非齊次分式P=kxax2+bx+c，a≠0，且一般情況下a，c是同號的，可以進行分子分母同時除以x，原式就可以變換成P=kax+cx+b，這就是我們熟知的基本不等式（“勾函數(shù)”）形式.其推廣形式是P=mx+nax2+bx+c，此時為了方便理解，可以令t=mx+n（注意t的取值范圍），從而x=t-nm，此時原式被還原成其本質形式.另一類是一元齊次式分式P=kx2ax2+bx+c，a≠0，此時分子分母同時除以x2，原式就可以變換成P=kc·1x2+b·1x+a，這是我們熟知的二次函數(shù)的形式.

例1?若實數(shù)x，y滿足2x2+xy-y2=1，則x-2y5x2-2xy+2y2的最大值為.

分析理解?題設的條件已經(jīng)比較復雜，不能進行消元變換.而問題的設置是二元變量的非齊次分式，我們需要一些技巧性“眼光”.讀題，我們可以發(fā)現(xiàn)題設的條件，可以變換成2x2+xy-y2=（2x-y）（x+y）=1，從而設t=2x-y，則x+y=1t，從而x=13t+13t，y=23t-13t.此時原式x-2y5x2-2xy+2y2=t-1tt2+1t2.令u=t-1t，則x-2y5x2-2xy+2y2=uu2+2=1u+2u，這樣就一目了然了.例2?已知正數(shù)x，y，z滿足（x+2y）（y+z）=4yz，且z≤3x，則P=3x2+2y23xy的取值范圍是.

分析理解?由于題設的問題已經(jīng)是二元齊次式分式，因此我們可以直接將其進行變換：原式P=3（xy）2+23·xy，令t=xy，則P=3t2+23t=t+23t.進行這樣的變換后，我們把目光再轉向題設的條件就會比較清晰了：將z進行消元，從而得到x，y之間的關系式，限定t的取值范圍，就可以得到最終的結果.由題設條件（x+2y）（y+z）=4yz，可得（x+2y）y+（x+2y）z=4yz（x+2y）y=（2y-x）z≤（2y-x）3x，從而得到3x2-5xy+2y2≤0，兩邊同時除以y2，則3t2-5t+2≤023≤t≤1.這樣就可以得到最終結果了.

三、綜合分析

以上兩道例題，我們基本可以說換元法在整個不等式問題的求解中占據(jù)著最重要的位置，分析出一般性的一些不等式的求解方法：總體而言就是“化繁為簡”.題設中，①涉及到比較復雜的分式多項式等式，我們可以進行二元變量的換元法（將分式的分母分別進行換元，簡化分式的形式）;②涉及到非齊次等式，一般有兩種操作：一是進行直接消元（將y表示成x的形式），另一種就是進行因式分解后進行消元（將x，y分別用t表示，如例1）;③涉及到齊次式等式，可以直接進行二元變量一元化消元（同時除以x2，令t=yx，如例2）.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中課程方案（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

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