高等數(shù)學(xué)慕課翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)中的經(jīng)典案例設(shè)計(jì)與研究

譚艷祥 胡海軍 諶躍中

[摘 要]慕課教學(xué)在現(xiàn)代大學(xué)教學(xué)中應(yīng)用越來越廣泛，尤其是今年受疫情的影響，網(wǎng)絡(luò)教學(xué)發(fā)揮了極其重要的作用。結(jié)合高等數(shù)學(xué)慕課教學(xué)的特征，在翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)中如何設(shè)計(jì)案例，既達(dá)到教學(xué)目的的要求，又能符合翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)課時(shí)少、綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，顯得非常重要。該文就如何在三角函數(shù)定積分的計(jì)算中設(shè)計(jì)經(jīng)典的例題、如何通過一個(gè)例題達(dá)到教學(xué)要求展開了研究。

[關(guān)鍵詞]慕課;翻轉(zhuǎn)課堂;高等數(shù)學(xué);案例設(shè)計(jì)

[基金項(xiàng)目]2016年度湖南省教育廳教研教改項(xiàng)目“基于慕課的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式實(shí)踐研究—以‘高等數(shù)學(xué)課程為例”（JG1621）;2019年度長(zhǎng)沙理工大學(xué)專業(yè)認(rèn)證示范課程建設(shè)項(xiàng)目“高等數(shù)學(xué)金課建設(shè)”（60）

[作者簡(jiǎn)介]譚艷祥（1980—），男，湖南茶陵人，博士，長(zhǎng)沙理工大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，主要從事微分方程及其應(yīng)用研究。

[中圖分類號(hào)] G642[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1674-9324（2020）33-0276-02[收稿日期] 2020-04-08

一、高等數(shù)學(xué)慕課翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)中經(jīng)典案例設(shè)計(jì)的必要性

（一）課程特征

高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)理工科學(xué)生的一門必修課程，而該門課程是理工科專業(yè)學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課程的一門基礎(chǔ)課程，如果高等數(shù)學(xué)沒有學(xué)好，對(duì)后續(xù)專業(yè)課程的學(xué)習(xí)影響很大。由于高等數(shù)學(xué)教學(xué)課時(shí)長(zhǎng)、內(nèi)容多，大部分同學(xué)對(duì)高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)存在畏難和恐懼的心理，因此在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中有必要設(shè)計(jì)經(jīng)典的案例。

（二）慕課教學(xué)特征

慕課教學(xué)與傳統(tǒng)的課堂教學(xué)一個(gè)很大的區(qū)別在于，學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)資源已經(jīng)對(duì)教學(xué)內(nèi)容中基本概念、基本方法、基本理論有了一定的掌握，一些基礎(chǔ)的計(jì)算問題學(xué)生能夠通過慕課學(xué)習(xí)而掌握，因此需要教師設(shè)計(jì)一些經(jīng)典的案例來進(jìn)行教學(xué)[1，2]。

（三）翻轉(zhuǎn)課堂特征

在學(xué)生通過慕課學(xué)習(xí)以后，教師在組織翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)時(shí)需要對(duì)教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行濃縮串講以及對(duì)學(xué)生存在問題進(jìn)行高度的總結(jié)和分析。然而，翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)的課時(shí)數(shù)已經(jīng)大大減少，所以如果能通過一道經(jīng)典的例題把學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容和存在的問題分析清楚，那是最好不過的事情了[3]。

下面我們就翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)中關(guān)于“被積函數(shù)為三角函數(shù)時(shí)定積分計(jì)算”這一知識(shí)點(diǎn)如何通過一個(gè)例題來組織教學(xué)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

二、高等數(shù)學(xué)慕課翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)中的經(jīng)典案例設(shè)計(jì)與研究

1.例題的選取。本文將通過以下例題來組織“被積函數(shù)為三角函數(shù)時(shí)定積分計(jì)算”慕課翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)。

經(jīng)典例題：? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? .（n為自然數(shù)）

2.方法一：取特殊值法1。

解：不妨取n=0，原式

【方法小結(jié)】（1）此法能快速地得到問題的一個(gè)答案。（2）此法能順帶復(fù)習(xí)定積分的性質(zhì)：被積函數(shù)為1時(shí)，定積分等于區(qū)間長(zhǎng)度。（3）此法的弊端是這僅僅是一個(gè)特殊的情況，引導(dǎo)學(xué)生思考：n取別的自然數(shù)時(shí)答案會(huì)不會(huì)改變？答案是否與n有關(guān)？

3.方法二：取特殊值法2。

解：不妨取n=2，

或者（華里士公式）

【方法小結(jié)】（1）此法也能比較快速地得到問題的一個(gè)答案;（2）此法能順帶復(fù)習(xí)三角函數(shù)定積分的降冪法（半角公式）以及華里士公式;（3）此法的弊端是這也僅僅是一個(gè)特殊的情況，但是結(jié)果和前面方法一樣，引導(dǎo)學(xué)生思考：此題結(jié)果是否真的與n無關(guān)？

4.方法三：特殊值法3。

解：不妨取n=1，

【方法小結(jié)】（1）此法也能得到問題一個(gè)答案。（2）此法能順帶復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)有：正弦函數(shù)與余弦函數(shù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系;待定系數(shù)法進(jìn)行裂項(xiàng);一些基本的積分公式鞏固。（3）此方法一個(gè)最大的作用是能啟迪學(xué)生進(jìn)一步探索一般情況：，可作為學(xué)生課后思考的問題，提高課程學(xué)習(xí)的高階性和學(xué)生探索知識(shí)的能力。（4）同樣，此法也僅僅是一個(gè)特殊的情況，但是結(jié)果前面方法一樣，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：此題結(jié)果是否真的與n無關(guān)？一般情況下應(yīng)該如何處理？

5.方法四：常規(guī)方法。

解：換元法，設(shè)，

所以：

故：

【方法小結(jié)】（1）通過常規(guī)方法得到了該題的解答。（2）此法能順帶復(fù)習(xí)的知識(shí)點(diǎn)有：定積分換元法的基本步驟;定積分只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，觀察兩者的特點(diǎn)，是我們解決定積分的突破口;定積分計(jì)算的線性性質(zhì);定積分與被積函數(shù)用哪個(gè)字母表示沒關(guān)系，等等。（3）此方法的應(yīng)用與推廣：對(duì)于，我們可以令做換元，

從而：

此種換元法的最大優(yōu)點(diǎn)是：換元前后能確保積分上下限保持不變，從而可以利用積分的線性性質(zhì)求其和的一半來計(jì)算，當(dāng)被積函數(shù)滿足一定的性質(zhì)時(shí)，往往會(huì)有不一樣的效果。比如，當(dāng)積分區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱、被積函數(shù)具有奇偶性的時(shí)候就是學(xué)生慕課學(xué)習(xí)時(shí)候的特殊情況。另外，還可以通過該問題的幾何解釋，來提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，極大地滿足了不同學(xué)生的需求。（4）問題探索：能否考慮“萬能公式”換元法來解決該問題？可作為學(xué)生進(jìn)行慕課學(xué)習(xí)的下一個(gè)任務(wù)，在下一次翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)中進(jìn)行講解，起到了承上啟下的作用。

三、融入課程思政元素

通過對(duì)該問題的分析和講解，我們可以給學(xué)生傳達(dá)這樣的思想：做科學(xué)研究沒有一步到位的成果，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)和科研當(dāng)中要腳踏實(shí)地、由易到難、由特殊到一般，充分發(fā)揮艱苦奮斗的精神，永攀高峰，不要畏難，堅(jiān)持到最后一定會(huì)取得滿意的結(jié)果。

四、結(jié)束語

本文就高等數(shù)學(xué)慕課翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)中的“被積函數(shù)為三角函數(shù)時(shí)定積分計(jì)算”展開了設(shè)計(jì)和研究，通過合理選擇經(jīng)典的例題，不僅能在翻轉(zhuǎn)課堂上串講、鞏固、歸納基本知識(shí)點(diǎn)，也能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，在作者的教學(xué)實(shí)踐過程中取得了不錯(cuò)的教學(xué)效果。

參考文獻(xiàn)

[1]陳靈波.微課和翻轉(zhuǎn)課堂在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].黑龍江科學(xué)，2020，11（3）：25-27.

[2]劉彩云.基于微課的翻轉(zhuǎn)課堂在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的研究[J].銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2018，17（4）：93-96.

[3]馮倩倩.基于微課的高等數(shù)學(xué)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的研究與實(shí)踐[J].科技視界，2018，（1）：66-67.

The Design and Research of Classic Cases in Flipped Classroom Teaching

of MOOC in Higher Mathematics

TAN Yan-xiang， HU Hai-jun， CHEN Yue-zhong

（School of Mathematics and Statistics， Changsha University of Science & Technology，

Changsha， Hunan 410114， China）

Abstract： MOOC is becoming more and more widely used in modern university teaching. Because of the impact of the epidemic this year， online teaching has played a very important role. Teaching design not only needs to meet the requirements of teaching goals， but also needs to meet the characteristics of flipped classroom teaching with less hours and strong comprehensiveness. In flipped classroom teaching， it is very important to design cases based on the characteristics of Advanced Mathematics MOOC teaching. This article has launched a research on how to design classic examples in the calculation of definite integrals of trigonometric functions， and how to achieve teaching requirements through an example.

Key words： MOOC; flipped classroom; Advanced Mathematics; case design