初中數(shù)學教學中學生元認知 驅動邏輯推理能力提升的研究

姚進

[摘? 要] 邏輯推理本質上是一個認知過程，認知規(guī)律是受人的元認知支配的，元認知就是邏輯推理能力養(yǎng)成的重要驅動力. 邏輯推理是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的要素之一，元認知是認知心理學的基本概念，將兩者結合起來，說明了初中數(shù)學教學要堅持一個基本觀點，那就是包括邏輯推理能力培養(yǎng)在內(nèi)的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地，要置于心理學的視角之下，這樣才能讓教學過程更加符合科學規(guī)律.

[關鍵詞] 初中數(shù)學;元認知;邏輯推理;能力提升

筆者一直高度重視初中數(shù)學教學中學生邏輯推理能力的培養(yǎng)，這是因為邏輯推理在初中數(shù)學教學中一直占有非常重要的位置，無論是“雙基”時代的初中數(shù)學教學，課程改革中的初中數(shù)學教學，對邏輯推理都非常重視，而在核心素養(yǎng)的視角之下，數(shù)學學科核心素養(yǎng)更是將邏輯推理作為其中的一個重要元素. 筆者梳理了長期以來初中數(shù)學教學對邏輯推理的認識，發(fā)現(xiàn)更多時候學生邏輯推理能力的養(yǎng)成，只在于邏輯推理本身，對邏輯推理發(fā)生的條件似乎重視不夠. 這一點引起了筆者的高度重視，于是開始梳理哪些因素對邏輯推理過程的影響比較明顯. 在梳理的過程當中，筆者發(fā)現(xiàn)邏輯推理本質上是一個認知過程，而認知過程就一定是遵守認知規(guī)律的，認知規(guī)律是受人的元認知支配的，這樣就可以發(fā)現(xiàn)邏輯推理能力的培養(yǎng)實際上與元認知高度相關. 某種程度上講，元認知就是邏輯推理能力養(yǎng)成的重要驅動力. 本文試以浙教版“切線長定理”為例，談談筆者的一些淺見.

邏輯推理能力的培養(yǎng)不能忽視元認知

關于認知心理學的研究表明，邏輯推理與元認知都是人在信息加工過程中表現(xiàn)出來的重要的心理機制. 所謂元認知，簡單地說，就是對認知的認知，其實質就是人們對認知活動的自我意識和自我調節(jié). 教育實踐和實驗研究表明，元認知與思維品質存在因果關系，而所謂的數(shù)學元認知，指的是人們對數(shù)學認知活動的認識和控制. 邏輯推理的過程需不需要這樣的認識與控制？這個問題的答案是顯而易見的. 邏輯推理有兩個關鍵詞：一是邏輯，二是推理. 在人們的生活中，或者說在數(shù)學學習過程中，除了邏輯推理之外，還有合情推理等等，合情推理不需要理由，符合直覺與經(jīng)驗事實即可;邏輯推理則不行，邏輯推理強調邏輯性，環(huán)環(huán)相扣的邏輯推理，每一次推理的時候，“因為”與“所以”的關系都是成立的，也只有如此才能稱之為合乎邏輯.

比如在“切線長定理”的教學中，當學生用全等三角形的知識，一步步推理出“過圓外一點所作的圓的兩條切線長相等”時，就要經(jīng)過多次“因為”“所以”配合的推理，因而這個過程就是邏輯推理過程.

那么在邏輯推理的過程中，中學生的元認知是如何發(fā)揮作用的呢？有經(jīng)驗的教師都知道，在初中數(shù)學證明題解決的過程中，學生經(jīng)常會問一個問題：老師，你是怎么想到這么做的呢？回答這個問題，其實就需要元認知. 舉一個簡單的例子，要證明“過圓外一點所作的圓的兩條切線長相等”，就必須認識到這實際上是要證明兩條線段相等，而要證明兩條線段相等最直接的方法就是三角形全等，因此就必須去構造兩個三角形，那么在看到圖1之后，構造出來的三角形必然如圖2所示. 這里的每一步之所以進行得那么自然，其實就是元認知在發(fā)揮著作用，由此可見，元認知對于邏輯推理能力的培養(yǎng)來說是不可或缺的.

元認知視角下學生邏輯推理能力的培養(yǎng)

要培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，首先要解決的一個問題是何為邏輯推理能力，專業(yè)的說法是數(shù)學中的邏輯推理能力是指正確地運用思維規(guī)律和形式對數(shù)學對象的屬性或數(shù)學問題進行分析綜合、推理證明的能力;其次要解決的一個問題就是元認知如何保證學生邏輯推理能力的培養(yǎng). 這里仍然以上述切線長定理為例來進行分析.

在上面提到一個說法，就是對于教師來說，切線長定理的證明思路是“自然而然”的，之所以覺得自然除了因為教師自身多次重復之外，還因為教師自身有著比較好的元認知. 在實際教學中，教師不妨拓寬學生的思路，讓學生自由思考可以構造什么樣的三角形并證明全等，這個時候學生很容易發(fā)現(xiàn)：一個現(xiàn)成的圓心擺在那兒，自然就是三角形的一個頂點. 在有些教師的眼里，這只是作一兩條輔助線，但在筆者的眼里就是利用了學生的元認知. 因為在筆者看來，元認知的起點實際上就是學生的直覺，就是學生第一眼看到的那個條件.

除此之外，元認知還體現(xiàn)在引導學生思維步步深入上，引導學生發(fā)現(xiàn)邏輯的存在，然后去進行推理，這就是邏輯推理的本質，這個邏輯推理本質的體現(xiàn)，也離不開元認知發(fā)揮的作用.

在“切線長定理”的證明過程中，學生在作了輔助線之后，邏輯推理的第一步轉換，就是將“PA=PB”轉換成“Rt△AOP≌Rt△BOP”;第二步推理就是在自己掌握的全等三角形判定法則中，尋找合適的判定法則;第三步就是用準確的數(shù)學語言將推理過程書寫出來.

從難度的角度來看，這樣的三步邏輯推理都不困難，也正是因為這三步邏輯推理都不困難，所以就有了一個引導學生反思自己原認知的機會. 這個時候將學生常常問的問題——“老師，你是怎么想到這么做的呢？”再反問給學生：“我們應該怎么想，才知道應該這么做呢？”譬如上面的第一步推理，很顯然“要證明兩條線段相等，可以考慮利用三角形的全等”這樣的認識，是有效推理的關鍵，而這是一個經(jīng)驗性認識，常常是在學習反思的過程中形成的. 與此類似，第二步推理過程中，“PA=PB”要順利轉換成“Rt△AOP≌Rt△BOP”，關鍵在于“PA，PB要出現(xiàn)在相應的兩個三角形當中”認識的形成，這也是一個經(jīng)驗性的認識，同樣形成于學生的學習反思過程中.

由此可見，學習反思實際上是提升了學生的元認知水平，反過來再以元認知驅動學生邏輯推理的過程. 在教學中，教師要努力讓學生“自己想到怎么做”，只有學生自己知道在推理的過程中應當怎么做，才能說明學生的邏輯是清晰的，那才說明學生的邏輯推理能力形成過程是順利的. 從上述分析來看，引導學生形成學習反思的意識，尤其是在問題解決之后，梳理問題解決的過程，重點思考“怎么思考才對”，那元認知就可以驅動學生的邏輯推理順利進行.

邏輯推理能力培養(yǎng)須置于心理視角下

邏輯推理是數(shù)學學科核心素養(yǎng)的要素之一，元認知是認知心理學的基本概念，將兩者結合起來，說明了初中數(shù)學教學要堅持一個基本觀點，那就是包括邏輯推理能力培養(yǎng)在內(nèi)的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落地，要置于心理學的視角之下，這樣才能讓教學過程更加符合科學規(guī)律.

對于邏輯推理而言，教師一方面要認識到數(shù)學相較于其他學科有著煩瑣嚴謹?shù)奶攸c，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力對于提高他們的學習效率與數(shù)學素養(yǎng)來說，具有十分重要的意義;另一方面也要認識到只有遵循學生的學習規(guī)律，才能將學生的能力培養(yǎng)置于科學的軌道之上. 對于邏輯推理能力的培養(yǎng)而言，元認知可以說是一個“火車頭”，而傳統(tǒng)教學中教師忽視的恰恰就是這個火車頭，因此學生在學習過程中往往是知其然不知其所以然. 大量的習題訓練只可以讓學生熟悉常規(guī)問題的解決，而要培養(yǎng)學生的元認知能力，并使其成為邏輯推理能力提升的驅動力，就必須在最基本的數(shù)學概念和規(guī)律的教學中，尤其是相對簡單的概念與規(guī)律的教學中，讓學生經(jīng)歷學習反思的過程，將推理過程變得簡潔，這樣學生的直覺就容易形成，直覺水平提升了，元認知能力也就上來了. 筆者所研究過的多個案例，都表明這樣的教學策略，可以有效地讓元認知成為邏輯推理能力培養(yǎng)的驅動力.

很顯然這是一種科學教學的思路，而教學的科學就是學生學習過程中表現(xiàn)出來的認知規(guī)律，就是用心理規(guī)律來闡述的. 所以說核心素養(yǎng)的培育并不純粹是一個核心素養(yǎng)要素落地的問題，更是一個在教學中尋找能夠為核心素養(yǎng)要素落地提供支撐的問題，只有解決了這些基礎性的問題，才能讓包括邏輯推理在內(nèi)的數(shù)學學科核心素養(yǎng)要素真正落到實處.