概念自然生成，定理探究論證

薛瓊

[摘? 要] “三角形的中位線”是初中幾何的重要內(nèi)容，其中的概念與性質(zhì)定理更是后續(xù)幾何問題突破的關(guān)鍵. 在教學(xué)中，需要基于其核心知識展開教學(xué)探究，將知識與思想方法進(jìn)行整合，使學(xué)生體驗(yàn)探究過程，完成知識內(nèi)化、吸收的同時(shí)獲得思維的發(fā)展. 文章對其展開教學(xué)探討，提出了相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 中位線;概念;生成;性質(zhì);探究;論證

“三角形的中位線”是蘇教版八年級下冊的教學(xué)內(nèi)容，教材將其編排在平行線、全等三角形、平行四邊形之后，是后續(xù)中點(diǎn)四邊形及相似三角形探究學(xué)習(xí)的基礎(chǔ). 教學(xué)中，需要使學(xué)生理解中位線的概念，掌握中位線的性質(zhì)及定理，同時(shí)激發(fā)學(xué)生思考，提升學(xué)生的探究能力. 因此，在教學(xué)伊始，需要結(jié)合教學(xué)重點(diǎn)深入探討教學(xué)方式，合理設(shè)置教學(xué)環(huán)節(jié)，設(shè)計(jì)探究過程，確保課堂教學(xué)高效推進(jìn)，下面對其展開探討.

概念引出，自然生成

新課程標(biāo)準(zhǔn)提出，課堂教學(xué)應(yīng)注重知識的生成過程，因此，教學(xué)三角形中位線的概念時(shí)，應(yīng)重視其背景，合理創(chuàng)設(shè)情境引入環(huán)節(jié)，拉近數(shù)學(xué)新知與生活實(shí)際的距離，促進(jìn)課堂預(yù)設(shè)的自然達(dá)成. 創(chuàng)設(shè)情境引入時(shí)需要從兩個(gè)角度進(jìn)行：一是聯(lián)系舊知，完成知識的過渡;二是設(shè)置活動(dòng)，使學(xué)生深刻認(rèn)識中位線.

“中位線”是三角形中重要的線段，教學(xué)時(shí)可以從學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)入手，引出中位線，故教學(xué)中可提出如下問題：

（1）三角形中存在哪些重要的線段？這些線段有哪些特殊之處？

（2）這些線段有哪些應(yīng)用價(jià)值？

通過設(shè)問進(jìn)行引導(dǎo)，學(xué)生可以聯(lián)系知識經(jīng)驗(yàn)回顧高、中線、角平分線、垂線等三角形中的特殊線段，深刻認(rèn)識特殊線段的特點(diǎn).

在此基礎(chǔ)上，可設(shè)計(jì)動(dòng)手活動(dòng)來引出中位線：取△ABC中任意兩邊的中點(diǎn)，然后連接成一條線段，同學(xué)之間互動(dòng)交流，觀察該線段，總結(jié)該線段具有哪些特點(diǎn). 任取兩邊的中點(diǎn)可以獲得三角形的中位線，分析線段繪制的過程很容易獲得中位線的特性. 教學(xué)中，只需要對其繪制過程進(jìn)行設(shè)定，給出中位線的定義，同時(shí)指出中位線的特點(diǎn)：三角形的中位線的端點(diǎn)為三角形中兩條邊的中點(diǎn).

為強(qiáng)化認(rèn)識，還可以采用對比探究的方式——在同一三角形中給出具有同一端點(diǎn)的中位線和中線，讓學(xué)生直觀認(rèn)識兩者的差異，深刻理解中位線的概念，把握其特點(diǎn).

如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別是線段AB和AC的中點(diǎn)，連接DE，DC，回答問題（選填“中線”或“中位線”）：

（1）線段CD是△ABC的_________;

（2）線段DE是△ABC的_________.

同時(shí)可引導(dǎo)學(xué)生填寫表1.

完成概念認(rèn)知后還需要引導(dǎo)學(xué)生思考三角形的中位線的條數(shù)，思考在同一個(gè)三角形中可以繪制幾條中位線. 教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生類比三角形的中線，根據(jù)中位線形成的過程來確定一個(gè)三角形的中位線有3條，同時(shí)讓學(xué)生互相觀察、對比所作的中位線，確定該結(jié)論（如圖2）.

中位線的概念是該部分教學(xué)的核心，采用聯(lián)系舊知、繪圖探究的方式可使學(xué)生體驗(yàn)中位線形成的過程，從而把握其定義的內(nèi)涵及特點(diǎn). 而探究辨析的方式則可以使學(xué)生區(qū)分中線與中位線，正確認(rèn)識三角形的中位線，其中滲透的對比思想和類比思想對學(xué)生的思想提升極為有利.

活動(dòng)探究，性質(zhì)提取

中位線的性質(zhì)探究是中位線內(nèi)容的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，是在中位線概念基礎(chǔ)上的探究推進(jìn)，同時(shí)也是對三角形中位線的深入認(rèn)識. 該過程需要從“概念的直觀認(rèn)識”過渡到“性質(zhì)的數(shù)形認(rèn)識”，其中涉及中位線的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，探究內(nèi)容具有一定的難度，可采用活動(dòng)探究、問題引領(lǐng)的方式，即引導(dǎo)學(xué)生在活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)三角形中位線的性質(zhì)，在思考中提取其性質(zhì).

三角形的中位線性質(zhì)有兩方面內(nèi)容，包括位置關(guān)系——與第三條邊平行，數(shù)量關(guān)系——長度是第三條邊的一半. 探究性質(zhì)時(shí)需要對其加以區(qū)分，分別設(shè)置探究活動(dòng)，建議采用“觀察—猜想—驗(yàn)證”的思路，同時(shí)結(jié)合具體的模型進(jìn)行直觀量化分析.

探究性質(zhì)過程中，可先引導(dǎo)學(xué)生將三角形硬紙板沿著其中一條中位線剪成兩部分，按照圖3的方式進(jìn)行圖形拼接，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察四邊形BCFD是什么圖形. 通過直觀的拼接，學(xué)生可以初步得出該四邊形為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形成立的條件可以初步做出如下猜想：三角形的中位線平行于第三條邊，且長度是第三條邊的一半.

猜想研究階段，可同樣結(jié)合對應(yīng)的探究活動(dòng). 以長度關(guān)系為例，可以借助直尺，通過精準(zhǔn)的測量來論證，活動(dòng)如下：對于圖4中的△ABC，ED是三角形的中位線，請大家拿出直尺分別測量線段ED和BC的長度，分析這兩條線段之間的長度關(guān)系. 它們是否相等？若不相等，是否存在特殊的數(shù)量關(guān)系？

對于平行關(guān)系的驗(yàn)證，同樣可以采用度量的方式，只需要借助矩形的性質(zhì)即可. 可設(shè)置如下活動(dòng)：（在圖4的基礎(chǔ)上）在△ABC中，分別過點(diǎn)E和點(diǎn)D作底邊BC的垂線，垂足分別為E′和D′，如圖5. 然后用直尺分別測量線段EE′和DD′的長度，分析這兩條線段之間的長度關(guān)系，思考四邊形EE′D′D的形狀，可以得出ED與BC有怎樣的位置關(guān)系？

進(jìn)行教學(xué)引導(dǎo)時(shí)需要具有一定的邏輯性，可按照如下思路進(jìn)行：EE′=DD′，EE′∥DD′→四邊形EE′D′D為平行四邊形→ED∥BC，即結(jié)合作圖得出EE′∥DD′，聯(lián)合度量獲得的EE′=DD′來確定四邊形EE′D′D為平行四邊形，進(jìn)而確定ED∥BC，從而初步得出三角形的中位線與第三條邊平行.

上述探究三角形中位線的過程采用了“直觀猜想—度量驗(yàn)證”的方式，通過拼圖對中位線的兩個(gè)性質(zhì)做出猜想，然后結(jié)合度量來完成初步驗(yàn)證，學(xué)生可以充分參與探究活動(dòng). 在活動(dòng)中，學(xué)生的感性認(rèn)知和理性思維均得到了極大的鍛煉，其中領(lǐng)悟知識是探究過程追求的重點(diǎn)，傳達(dá)的方法是重要技能，而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是核心.

模型構(gòu)建，論證定理

上述對三角形的中位線性質(zhì)進(jìn)行了初步猜想與驗(yàn)證，但需要指出的是，驗(yàn)證活動(dòng)的過程采用的是直尺度量的方式，顯然度量所得到的數(shù)據(jù)誤差較大，所以其可以作為猜想性質(zhì)的依據(jù)，但不能作為生成性質(zhì)定理的論據(jù). 數(shù)學(xué)是一門邏輯性強(qiáng)、科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在驗(yàn)證、歸納定理階段需要按照數(shù)學(xué)的證明方法，由數(shù)學(xué)的定理結(jié)論進(jìn)行演繹推理.

論證三角形的中位線的性質(zhì)定理實(shí)則就是證明所設(shè)兩條線段之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，其中的數(shù)量問題需要分析其中的倍數(shù)，位置問題則是證明其中的平行關(guān)系. 從不同的視角來分析可以獲得不同的證明思路，其中添加輔助線、構(gòu)建模型是論證的關(guān)鍵. 教學(xué)中可以按照“思路分析—輔助線添加—過程論證”的思路，下面提出兩種論證思路（下面的論證思路中，均有E，O分別為AB，AC的中點(diǎn)）.

1. 論證視角——截長補(bǔ)短

該視角需要通過截取的方式來完成轉(zhuǎn)化，實(shí)則為數(shù)學(xué)的全等轉(zhuǎn)化. 教學(xué)中需要指出該視角的內(nèi)涵所在，然后在此基礎(chǔ)上展開思路構(gòu)建.

模型構(gòu)建：如圖6，過點(diǎn)C作CF∥AB，與EO的延長線交于點(diǎn)F，從而可得△COF.

論證思路：模型構(gòu)建的核心是CF∥AB，則平行性質(zhì)→∠AEO=∠CFO（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），結(jié)合AO=CO（已知條件）和∠AOE=∠COF（對頂角相等）→△AOE≌△COF→AE=CF（全等三角形的性質(zhì)）→CF=BE（等長轉(zhuǎn)化），綜合CF∥BE→四邊形BCFE為平行四邊形→EO∥BC.

另外，△AOE≌△COF→EO=OF（全等三角形的性質(zhì)）→2EO=BC（等長轉(zhuǎn)化）→EO=■BC.

2. 論證視角——幾何旋轉(zhuǎn)

該視角需要對其中的三角形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，利用旋轉(zhuǎn)的特性來完成論證，實(shí)則還是數(shù)學(xué)的全等轉(zhuǎn)化. 教學(xué)中應(yīng)該詳細(xì)描述旋轉(zhuǎn)過程.

模型構(gòu)建：如圖7，將△AOE以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后得到△COF.

論證思路：模型的核心是△AOE≌△COF（旋轉(zhuǎn)特性），利用其中的全等特性顯然可以確定EO=■EF，同時(shí)可推知四邊形BCFE為平行四邊形，進(jìn)而獲得EO∥BC，EO=■EF=■BC.

上述呈現(xiàn)了三角形中位線性質(zhì)定理的兩種論證視角，但求證的核心均為三角形全等的性質(zhì)定理. 教學(xué)中，教師有必要引導(dǎo)學(xué)生對不同的論證思路加以辨析，明晰論證的核心定理，掌握幾何證明的過程，即添加輔助線構(gòu)建模型，利用幾何定理展開關(guān)系推導(dǎo). 同時(shí)定理論證的過程中滲透了數(shù)學(xué)的模型思想、轉(zhuǎn)化思想，以證明、推理為依托展開思想方法教學(xué)，有助于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)之一.

總之，對中位線的概念、性質(zhì)定理和論證過程加以探究有著重要的教學(xué)意義，在探究教學(xué)中，學(xué)生可以體驗(yàn)知識建構(gòu)的過程，能喚醒學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，能使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)探究的方法與手段，同時(shí)獲得數(shù)學(xué)思想的提升，知識學(xué)習(xí)和思維發(fā)展均推向了頂峰.