對(duì)有理數(shù)乘法法則教學(xué)處理的思考

李娟

[摘? 要] “數(shù)軸版”與“推理版”這兩種有理數(shù)乘法法則的教學(xué)處理方式各有特征，結(jié)合這兩種教學(xué)處理方式進(jìn)行適當(dāng)?shù)母牧?，能使學(xué)習(xí)難度大大降低，并有效增強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，以幫助學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系.

[關(guān)鍵詞] 有理數(shù)乘法法則;教學(xué)處理;數(shù)軸版;推理版;問題情境

有學(xué)生在學(xué)習(xí)有理數(shù)的乘法運(yùn)算時(shí)得到過(guò)（-3）×（-4）=9，執(zhí)教教師當(dāng)時(shí)對(duì)這一結(jié)果直接給予否定. 筆者課后詢問了該生，他當(dāng)時(shí)的思考如下：

找到數(shù)軸上的-3這個(gè)數(shù)，以3為單位并向數(shù)軸負(fù)方向的反方向數(shù)4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到+9.

從學(xué)生的思路不難看出，他已經(jīng)懂得了借助數(shù)軸來(lái)解釋有理數(shù)乘法法則，不過(guò)他在利用數(shù)軸判斷時(shí)忽略了以原點(diǎn)為起點(diǎn)這一條件. 事實(shí)上，這樣的錯(cuò)誤并不是唯一. 比如，從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)反方向移動(dòng)4次，每次移動(dòng)3格恰好到達(dá)-12的位置，于是（-3）×（-4）=-12. 很多教師會(huì)將這些錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因歸結(jié)為學(xué)生粗心，不過(guò)筆者以為，教師對(duì)教材處理的認(rèn)識(shí)也存在問題. 解釋乘法運(yùn)算為什么應(yīng)該從0的位置開始，是教師必須讓學(xué)生弄明白的.

有理數(shù)乘法法則的教學(xué)處理

教學(xué)中處理有理數(shù)乘法法則，一般包括“勻速直線運(yùn)動(dòng)狀況分析”和“從‘正數(shù)×正數(shù)出發(fā)的歸納推理”這兩種方式，現(xiàn)行教材也分成“數(shù)軸版”與“推理版”這兩個(gè)版本.

1. “數(shù)軸版”教學(xué)處理方式

“數(shù)軸版”的教學(xué)處理方式主要是借助數(shù)軸對(duì)“勻速直線運(yùn)動(dòng)狀況”進(jìn)行分析——從情境引出“直線變化”問題，引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)軸對(duì)運(yùn)算過(guò)程與結(jié)果進(jìn)行理解，并進(jìn)行有理數(shù)乘法法則的歸納. 這是“數(shù)軸版”教學(xué)處理方式的主要特征.

案例1？搖 情境導(dǎo)入：已知一只蝸牛在直線l上爬行，目前正好在直線l上的“0”處.

（1）若蝸牛以2厘米/分的速度勻速向右爬行，則它3分鐘后在哪個(gè)位置？

（2）若蝸牛以2厘米/分的速度勻速向左爬行，則它3分鐘后在哪個(gè)位置？

往往規(guī)定向左為負(fù)、向右為正來(lái)區(qū)分方向，規(guī)定現(xiàn)在前為負(fù)、現(xiàn)在后為正來(lái)區(qū)分時(shí)間.

……

（然后利用數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生將等式列出，并進(jìn)行觀察和思考，以填空的形式使學(xué)生對(duì)有理數(shù)乘法形成正確而深刻的理解，并歸納出有理數(shù)的乘法法則）

2. “推理版”教學(xué)處理方式

“推理版”教學(xué)處理方式主要是從“正數(shù)×正數(shù)”出發(fā)進(jìn)行歸納與推理. 從“正數(shù)×正數(shù)”出發(fā)，借助一系列問題使學(xué)生在觀察、對(duì)比、分析、討論和歸納中獲得有理數(shù)的乘法法則是其主要特征.

案例2？搖 問題：與有理數(shù)加法同理，負(fù)數(shù)被引入之后，3×（-3），（-3）×3，（-3）×（-3）這樣的乘法也會(huì)隨之出現(xiàn)，那么該怎樣進(jìn)行運(yùn)算呢？

思考：對(duì)以下乘法算式進(jìn)行觀察并總結(jié)其中的規(guī)律.

3×3=9，

3×2=6，

3×1=3，

3×0=0.

總結(jié)規(guī)律：算式的積因?yàn)楹笠怀藬?shù)的每一次遞減1而逐次遞減3.

若令這一規(guī)律在負(fù)數(shù)引入之后依然成立，則有3×（-3）=-9，3×（-2）=? ? ? ?，3×（-1）=? ? ? ?.

……

（然后運(yùn)用相同的方式對(duì)“負(fù)數(shù)×正數(shù)”進(jìn)行思考和處理，并歸納出“正正得正、負(fù)正得負(fù)”的運(yùn)算法則，引導(dǎo)學(xué)生思考并使其能夠在結(jié)論的觀察中獲得“正數(shù)×負(fù)數(shù)”“負(fù)數(shù)×負(fù)數(shù)”時(shí)都具有以上總結(jié)出的規(guī)律，最終將有理數(shù)的乘法法則進(jìn)行總結(jié)、歸納）

但實(shí)際上，“數(shù)軸版”和“推理版”這兩種教學(xué)處理方式在有理數(shù)乘法法則的教學(xué)處理上均存在一定的困惑：“數(shù)軸版”運(yùn)用有理數(shù)知識(shí)建立模型并解決實(shí)際問題的過(guò)程顯然比較直觀和形象，但即便有理數(shù)的乘法法則產(chǎn)生的來(lái)龍去脈在這一教學(xué)處理中得以呈現(xiàn)，法則的應(yīng)用也得到了很好的強(qiáng)調(diào)，學(xué)生也比較能接受，但也因?yàn)閱栴}情境所涉及的因素過(guò)多而對(duì)學(xué)生的抽象思維能力提出了更高的要求，這對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)也是一種干擾. “推理版”著重關(guān)注推理的過(guò)程，這顯然比較能激發(fā)學(xué)生的求知欲與積極性，推理能力自然得到一定的培養(yǎng)，不過(guò)其弊端也是顯而易見的——這一過(guò)程必然要求學(xué)生具備較高的推理能力，知識(shí)的由來(lái)更加權(quán)威卻又顯得說(shuō)服力不夠，因此，學(xué)生對(duì)有理數(shù)乘法法則的認(rèn)識(shí)自然無(wú)法達(dá)到一定的深度.

教學(xué)思考

數(shù)學(xué)知識(shí)之間有著非常緊密的內(nèi)在聯(lián)系，且呈現(xiàn)出很強(qiáng)的系統(tǒng)性. 新知識(shí)的發(fā)生、形成與發(fā)展都有其根源可循. 教師在教學(xué)中若壓縮知識(shí)的發(fā)生、形成與發(fā)展過(guò)程，則會(huì)使學(xué)生獲得零散而孤立的知識(shí). 就知識(shí)而教知識(shí)，只會(huì)令學(xué)生只知其然而不知其所以然. 純粹的知識(shí)積累無(wú)法令學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)得以擴(kuò)充與完善. 筆者對(duì)于現(xiàn)行教材中有理數(shù)乘法法則的教學(xué)處理方式進(jìn)行了自我實(shí)踐與思考，認(rèn)為下面的教學(xué)處理方式是比較合理而有效的.

1. “線性”教學(xué)

“先定性，后定量. ”這一有理數(shù)乘法法則的實(shí)質(zhì)決定了有理數(shù)乘法運(yùn)算的順序——確定結(jié)果的正負(fù)性之后對(duì)兩數(shù)絕對(duì)值相乘的總值進(jìn)行確定. 確定運(yùn)動(dòng)方向后再確定運(yùn)動(dòng)距離是“勻速直線運(yùn)動(dòng)狀況分析”的教學(xué)處理方式. 因此，筆者以為，“數(shù)軸版”處理有理數(shù)乘法法則的方式實(shí)際上是相當(dāng)確切的，但由于情境設(shè)計(jì)的規(guī)定與追求過(guò)多且嚴(yán)謹(jǐn)而影響了學(xué)習(xí)效果. 所以，筆者以為，將“數(shù)軸版”教學(xué)處理方式適當(dāng)改進(jìn)并形成“線性”處理方式顯然更為妥帖. 比如：

問題情境：直線l在東西方向上延伸，一只蝸牛在該直線上爬行.

（1）若蝸牛向東爬行且每分鐘前進(jìn)2厘米，則它3分鐘后離原來(lái)的位置有多遠(yuǎn)？在原來(lái)位置的哪個(gè)方向？

（2）若蝸牛向東爬行且每分鐘前進(jìn)-2厘米，則它3分鐘后離原來(lái)的位置有多遠(yuǎn)？在原來(lái)位置的哪個(gè)方向？

（3）若蝸牛向東爬行且每分鐘前進(jìn)2厘米，則它3分鐘前離原來(lái)的位置有多遠(yuǎn)？在原來(lái)位置的哪個(gè)方向？

（4）若蝸牛向東爬行且每分鐘前進(jìn)-2厘米，則它3分鐘前離原來(lái)的位置有多遠(yuǎn)？在原來(lái)位置的哪個(gè)方向？

如果把“3分鐘后”用“+3”來(lái)表示，那么你是否能夠借助數(shù)軸將其運(yùn)動(dòng)過(guò)程表示出來(lái)？

其他環(huán)節(jié)按照教材處理方式進(jìn)行.

如此設(shè)計(jì)明顯大大降低了問題的復(fù)雜性，學(xué)生在區(qū)分過(guò)程中也不易混淆，前后知識(shí)的聯(lián)系也在“正負(fù)數(shù)具有相反意義”這一性質(zhì)中更加緊密，系統(tǒng)性這一學(xué)科特點(diǎn)也展露無(wú)遺. 一些煩瑣的規(guī)定也在思維定式的積極影響下得以解決，嚴(yán)謹(jǐn)性或許降低，但學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)與理解中顯然更為直觀而輕松.

2. “約定”教學(xué)

幾個(gè)相同的數(shù)相加是乘法運(yùn)算的實(shí)質(zhì)，將乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化成加法運(yùn)算是小學(xué)教師在乘法教學(xué)中慣常的做法，等學(xué)生達(dá)到一定的熟練程度之后，教師則會(huì)要求學(xué)生運(yùn)用乘法口訣直接給出結(jié)果. 這種教學(xué)處理方式與初中乘法的教學(xué)處理方式顯然不同，但實(shí)際上，有理數(shù)的乘法依然能夠看成幾個(gè)相同的數(shù)的加法運(yùn)算，關(guān)鍵在于乘數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)應(yīng)怎樣進(jìn)行乘法意義的轉(zhuǎn)化與運(yùn)算. 從這一角度來(lái)進(jìn)行新的思考，我們完全可以把有理數(shù)乘法視作幾個(gè)相同的數(shù)的加法運(yùn)算，這能讓學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上對(duì)新知進(jìn)行同化并令原有知識(shí)結(jié)構(gòu)得以擴(kuò)充，學(xué)生的認(rèn)知體系會(huì)變得更為完備與圓滿. 筆者基于這一思考對(duì)有理數(shù)乘法法則教學(xué)進(jìn)行了“約定”教學(xué)的嘗試，效果明顯，教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

（1）思考.

①乘法運(yùn)算和加法運(yùn)算之間是否存在一定的關(guān)系？對(duì)2×3進(jìn)行解釋應(yīng)如何表述？

②你能根據(jù)乘法和加法的關(guān)系把式子（-2）×3轉(zhuǎn)化為加法形式嗎？

③你能根據(jù)乘法和加法的關(guān)系把式子2×（-3）轉(zhuǎn)化為加法形式嗎？

教學(xué)約定：乘法運(yùn)算中，若第二個(gè)乘數(shù)是負(fù)數(shù)，則將乘法運(yùn)算視作若干個(gè)第一個(gè)乘數(shù)的減法運(yùn)算. 比如2×（-3）=-2-2-2=-6.

④你能根據(jù)以上教學(xué)約定把式子（-2）×（-3）化為減法形式嗎？

（2）請(qǐng)結(jié)合乘法意義與教學(xué)約定填空.

①3×3=______;

②（-3）×3=_____;

③3×（-3）=_____;

④（-3）×（-3）=_____.

（3）請(qǐng)觀察以上式子并做出如下猜想.

①正數(shù)與正數(shù)相乘，積為_____數(shù);

②負(fù)數(shù)與正數(shù)相乘，積為_____數(shù);

③正數(shù)與負(fù)數(shù)相乘，積為_____數(shù);

④負(fù)數(shù)與負(fù)數(shù)相乘，積為_____數(shù).

由此再引導(dǎo)學(xué)生歸納出有理數(shù)的乘法法則.

如此設(shè)計(jì)不僅大大降低了學(xué)習(xí)難度，而且有效增強(qiáng)了知識(shí)間的聯(lián)系. 突出增加負(fù)數(shù)的思考令學(xué)生很好地理解了乘法運(yùn)算同小學(xué)學(xué)習(xí)的區(qū)別. 這一教學(xué)處理或許并不嚴(yán)謹(jǐn)，但不需要復(fù)雜對(duì)比與場(chǎng)景轉(zhuǎn)換以及簡(jiǎn)單的學(xué)習(xí)背景，能令思維定式的積極因素充分發(fā)揮作用，能使整個(gè)知識(shí)體系得以連貫.