二次函數(shù)背景下的壓軸題破解策略

胡永強

近年來許多地區(qū)都以二次函數(shù)知識為背景編制中考壓軸題。解決這類問題通常需要引入新的參數(shù)代入函數(shù)表達式得出點的坐標，結(jié)合點的坐標表示一些線段的長度，再根據(jù)題目的條件建立這些線段之間的相等關(guān)系或比例關(guān)系，得到方程并求出新參數(shù)的值，從而解決問題。下面以2019年四川省南充市中考試卷第25題為例進行詳細解讀，供同學(xué)們參考。

如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點A（-1，0），點B（-3，0），且OB=OC。

（1）求拋物線的解析式。

（2）點P在拋物線上，且∠POB=∠ACB，求點P的坐標。

（3）拋物線上兩點M、N，點M的橫坐標為m，點N的橫坐標為m+4。點D是拋物線上M、N之間的動點，過點D作x軸的垂線交MN于點E。

1求DE的最大值;

2點D關(guān)于點E的對稱點為F，當m為何值時，四邊形MDNF為矩形？

【思路突破】（1）由點B（-3，0）和OB=OC這兩個條件可得點C（0，-3），將A（-1，0）、B（-3，0）、C（0，-3）代入y=ax2+bx+c得方程組，解方程組后即可求出拋物線的解析式為y=-x2-4x-3。我們還可以由點A（-1，0）和點B（-3，0）設(shè)二次函數(shù)的交點式y(tǒng)=a（x+3）（x+1），將點C（0，-3）代入y=a（x+3）（x+1），得a=-1，則拋物線的解析式為y=-x2-4x-3。

（2）因為點A、B、C三點確定，因此∠ACB為一定值。圖中的∠ACB所在的三角形為鈍角三角形，不利于解決問題，可依托∠ACB構(gòu)造一個直角三角形，再用直角三角形的相關(guān)知識解決問題。

如圖2，作AH⊥BC于點H，因為A（-1，0）、B（-3，0）、C（0，-3），則AB=2，OB=OC=3，BC=32，所以∠ABC=45°，所

過點P向兩條坐標軸作垂線段，構(gòu)造直角三角形，再借助點P的坐標表示

因為DE∥y軸，所以我們可以設(shè)點D、E的橫坐標為d，將其代入拋物線和直線MN的解析式表示出點D、E的縱坐標，再將點D的縱坐標與點E的縱坐標作差，即可得到DE的二次表達式，最后結(jié)合求二次函數(shù)最值的相關(guān)知識求出DE的最大值。

我們首先要求出直線MN的解析式。由題意得M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35），設(shè)直線MN的解析式為y=kx+n，將點M、N的坐標代入y=kx+n以直線MN的解析式為y=（-2m-8）x+m2+4m-3。設(shè)D（d，-d2-4d-3），因為DE∥y軸，所以DE=-d2+（2m+4）d-m2-4m=-[d-（m+2）]2+4，所以當d=m+2時，線段DE的值最大為4。

2如圖5，此問屬于矩形存在性問題。由題意得ED=EF，因此可以從對角線的角度入手，只要EM=EN就可以推出四邊形MDNF為平行四邊形，如果再有DE=EM，就可推出DF=MN，根據(jù)“對角線相等的平行四邊形是矩形”可推出四邊形MDNF是矩形。

引入新的字母表示點D、E的坐標，從而表示出線段DE和線段EM的長，根據(jù)DE=EM得到方程，解出方程，從而達到解決問題的目的。具體解法如下：因為點M、N在拋物線上，所以M（m，-m2-4m-3），N（m+4，-m2-12m-35）。因為四邊形MDNF是矩形，所以DF=MN且DF與MN互相平分，即DE=EM，點E為MN的中點，所以E（m+2，-m2-形MDNF是矩形。注意，此問還可以從矩形的定義切入，由DF與MN互相平分可推出四邊形MDNF為平行四邊形，若∠MDN是直角即可判斷四邊形MDNF是矩形。那么我們可以過點D作y軸的垂線，垂足為點S，過點M、N分別作DS的垂線，構(gòu)造“K型圖”，用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)列方程求解。

【解后反思】解決這類問題的突破口是用新的參數(shù)表示點的坐標及線段的長，關(guān)鍵是建立這些線段之間的等量關(guān)系或比例關(guān)系。此類題的難點是計算，一要計算準確，二要注重驗算。

（作者單位：江蘇省蘇州市陽山實驗初級中學(xué)校）