讓智力生長(zhǎng)　讓智慧開花

馬紅

在蘇科版八年級(jí)上冊(cè)第一章“全等三角形”的教學(xué)過程中，許多學(xué)生會(huì)問，為什么沒有“邊邊角”判定法？筆者雖然舉出了反例，但仍然沒有消除學(xué)生的疑問。我要給“邊邊角”一個(gè)機(jī)會(huì)，給學(xué)生一個(gè)探究的機(jī)會(huì)。本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)及判定的基礎(chǔ)上，對(duì)

“邊邊角”問題做的進(jìn)一步探究，旨在幫助學(xué)生更為理性地分析問題，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，為學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)。

一、教學(xué)目標(biāo)

通過對(duì)“邊邊角”問題的研究，學(xué)生經(jīng)歷感知、猜想、驗(yàn)證、歸納等環(huán)節(jié)，提高分析問題和解決問題的能力;研究特殊情況下，“邊邊角”可以證明三角形全等的依據(jù);學(xué)生在“做”數(shù)學(xué)中增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和自信心，在積極思考中形成勇于探索的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

二、教學(xué)重、難點(diǎn)

探索特殊情況下“邊邊角”可證明三角形全等。

三、教學(xué)過程

1.溫故知新，引起思考。

問題1：本章節(jié)中，我們是沿著什么樣的路徑來探究判定三角形全等的條件的？

設(shè)計(jì)意圖：判定兩個(gè)三角形全等，需要從三角形的組成元素邊、角入手，為后面進(jìn)一步研究?jī)蓚€(gè)三角形的邊角關(guān)系做好鋪墊。如果所給的條件不能確定三角形的形狀和大小，就不能判定三角形全等。

問題2：如圖1，已知AC=DF，添加適當(dāng)?shù)臈l件使得△ABC≌△DEF。

設(shè)計(jì)意圖：設(shè)計(jì)開放性的問題，培養(yǎng)學(xué)生有序思考問題的習(xí)慣，在學(xué)生舉例的過程中，可以引出“邊邊角”不能判斷三角形全等。

2.合作探究，激活思維。

問題3：“邊邊角”為什么不能判定三角形全等呢？先畫圖說明，再與你的同桌交流。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生進(jìn)一步感受并理解滿足“邊邊角”條件的兩個(gè)三角形可能不全等，大部分學(xué)生會(huì)畫出圖2來說明。畫圖的過程中，學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到，只有所給的條件能確定三角形的形狀和大小，才能夠說明兩個(gè)三角形全等。

問題4：“邊邊角”能確定一個(gè)形狀和大小唯一的三角形嗎？

問題5：已知線段m和∠α（見圖3），畫△ABC，使得AB=m，BC=n，∠A=α（0°<α<90°），線段n取何值時(shí)，能且只能畫出一個(gè)△ABC？

給學(xué)生充足的思考時(shí)間，讓學(xué)生在動(dòng)手操作的過程中找到解決問題的突破口。

設(shè)計(jì)意圖：所給的條件具有“邊邊角”的特點(diǎn)。教師可引導(dǎo)學(xué)生從確定的一邊和一角入手，分析確定△ABC的關(guān)鍵是確定∠A的對(duì)邊BC。如圖4，當(dāng)點(diǎn)B確定時(shí)，點(diǎn)C需要滿足兩個(gè)條件：在射線AE上和到點(diǎn)B的距離為n。當(dāng)以B為圓心、n為半徑的圓與射線AE的交點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)，點(diǎn)C確定，△ABC也隨之確定。變中又有不變。通過控制變量，結(jié)合分類討論思想，學(xué)生動(dòng)手操作，自主探索，深化理解，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

問題6：通過以上探究，你有什么發(fā)現(xiàn)？

預(yù)設(shè)：如圖5、圖6，當(dāng)“邊邊角”條件中的“角”α（0°<α<90°）的對(duì)邊n等于點(diǎn)B到AE的垂直距離或n≥m時(shí)“，邊邊角”能確定△ABC。

設(shè)計(jì)意圖：通過問題驅(qū)動(dòng)，學(xué)生在畫圖的過程中經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等環(huán)節(jié)，學(xué)會(huì)表達(dá)，學(xué)會(huì)歸納。

3.探尋本質(zhì)，深化理解。

問題7：通過畫圖我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)0°<α<90°時(shí)，具有上述結(jié)論。你還能提出什么問題？

學(xué)生很自然地會(huì)提出，畫△ABC，使得AB=m，BC=n，∠A=α（α=90°或90°<α<180°），線段n取何值時(shí)，能且只能畫一個(gè)△ABC？

設(shè)計(jì)意圖：促進(jìn)學(xué)生全面思考問題，合理、有序地開展進(jìn)一步的數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，完善對(duì)“邊邊角”的探究過程。通過分析，學(xué)生畫出滿足條件的圖7和圖8，發(fā)現(xiàn)當(dāng)n>m時(shí)，△ABC確定。

問題8：在什么樣的條件下，“邊邊角”能確定一個(gè)三角形呢？

設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}指向高階認(rèn)知活動(dòng)。要把這個(gè)問題表達(dá)清楚，對(duì)于學(xué)生來說是有難度的。在學(xué)生經(jīng)歷一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)之后，留給學(xué)生充分的思考時(shí)間，給予學(xué)生思維發(fā)展的機(jī)會(huì)。教師在這個(gè)過程中需要扮演好“助產(chǎn)師”的角色，不給學(xué)生現(xiàn)成答案，而是用反問和反駁，讓學(xué)生主動(dòng)尋找答案。

問題9：“邊邊角”在哪些特殊的情況下能判定兩個(gè)三角形全等？

已知兩個(gè)三角形的兩邊及一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，當(dāng)?shù)冉菫橹苯?，“邊邊角”就是“HL”，兩個(gè)三角形全等;當(dāng)?shù)冉菫殁g角，兩個(gè)三角形全等;當(dāng)?shù)冉菫殇J角，等角的對(duì)邊大于或等于另一邊，或等角的對(duì)邊等于另一邊與此角的正弦的積時(shí)（注：對(duì)于八年級(jí)學(xué)生，可借助圖形來說明），兩個(gè)三角形全等。

設(shè)計(jì)意圖：數(shù)學(xué)活動(dòng)的本質(zhì)是思維活動(dòng)。引發(fā)思考的對(duì)話是活動(dòng)的靈魂，深度對(duì)話能引導(dǎo)學(xué)生始終在數(shù)學(xué)思考中發(fā)現(xiàn)和生成，也體現(xiàn)對(duì)學(xué)生思維主體性和主觀能動(dòng)性的尊重。教師應(yīng)告訴學(xué)生盡最大努力，讓他們自己想辦法、說出來。師生對(duì)話中的“等待”是十分有必要的，因?yàn)閺牟坏却膶?duì)話，即使問題再好，也是一種缺乏誠(chéng)意的形式。我們要讓每一名學(xué)生參與到探究中，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體地位。

4.交流展示，成果分享。（略）

綜上，學(xué)生在探究中經(jīng)歷感知、猜想、驗(yàn)證、歸納的過程，這是解決很多幾何問題的一般方法。數(shù)學(xué)的教學(xué)價(jià)值可能有很多理解，但其根本的要義，是讓學(xué)生學(xué)會(huì)理性思考，學(xué)會(huì)探究，學(xué)會(huì)創(chuàng)新，并在此過程中，讓智力生長(zhǎng)，讓智慧開花。