初中數(shù)學(xué)“一圖一課”式專題復(fù)習(xí)教學(xué)

蔣月蘭

一、教學(xué)設(shè)計與意圖

1.操作與回顧。

操作：已知⊙O（如圖1），請按要求畫圖。

（1）如果在⊙O所在的平面上有一點A，請畫出點A。（學(xué)生通過畫圖發(fā)現(xiàn)，點A的位置有無數(shù)種可能。）

問題1：這無數(shù)種可能有幾種類型？

生1：三種類型，分別是點在圓內(nèi)、點在圓上以及點在圓外。

問題2：用什么方法可以判斷？如何判斷？

生2：用d表示點A到圓心的距離，用r表示圓的半徑，然后比較d與r的大小。當(dāng)d>r時，點在圓外;當(dāng)d=r時，點在圓上;當(dāng)d

（2）過點A畫直線l。（學(xué)生通過畫圖發(fā)現(xiàn)，直線l的位置也有無數(shù)種可能。）

問題3：這無數(shù)種可能有幾種類型？

生3：三種類型，分別是直線與圓相交、相切、相離。

問題4：用什么方法可以判斷？如何判斷？

生4：用d1表示圓心到直線的距離，用r表示圓的半徑，然后比較d1與r的大小。當(dāng)d1>r時，直線與圓相離;當(dāng)d1=r時，直線與圓相切;當(dāng)d1

圖3設(shè)計意圖：以上兩個環(huán)節(jié)都是通過動手畫圖引出知識，學(xué)生在畫圖過程中自然喚醒了點與圓、直線與圓的位置關(guān)系等知識。學(xué)生在作圖的過程中培養(yǎng)了發(fā)散性思維，體會了分類的必要性，滲透了分類和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。

問題5：如圖4，過點A畫直線，都可以畫出圖3的三種位置關(guān)系嗎？動手試一試。

生5：點A在圓內(nèi)時，只能畫出相交;點A在圓上時，既可以畫出相交也可以畫出相切;點A在圓外時，三種情況都可以畫出。

問題6：d1=r是d1與r在數(shù)量上的特殊情況，也是臨界情況。那么，請過點A畫出⊙O的切線并說出你的依據(jù)。

生6：依據(jù)的是切線的判定定理，過半徑的外端點且垂直于半徑的直線是圓的切線。（如圖5）

設(shè)計意圖：通過追問“過點A都能畫出三種位置關(guān)系類型的圖形嗎”，讓學(xué)生進(jìn)一步理解判斷直線與圓位置關(guān)系的本質(zhì)。通過畫切線，再次喚醒學(xué)生對切線性質(zhì)定理、判定定理以及圓周角性質(zhì)的回顧，在解決問題的過程中培養(yǎng)學(xué)生綜合分析問題的能力。

（3）在圖6的⊙O上另取一點B，過點B畫一條與⊙O相切的直線，設(shè)所畫直線與過點A的切線（A為切點）相交于點M，如圖7。

問題7：你想到了什么知識？

生7：切線長定理，過圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。

問題8：這幅圖還給你哪些數(shù)學(xué)美感？由此你還能得出哪些結(jié)論？

設(shè)計意圖：學(xué)生通過畫圖得到切線長定理，并通過開放性的問題“尋找數(shù)學(xué)美”，便自然地用數(shù)學(xué)的眼光觀察圖形得出圖形的軸對稱性，再次利用幾何圖形的性質(zhì)，尋找并得出圖形中各邊、角之間的聯(lián)系。這培養(yǎng)了學(xué)生的觀察和分析的能力，滲透了數(shù)形結(jié)合思想。

（4）在圖7的⊙O上再另取一點C，過點C作一條切線與前兩條切線相交，交點為N、T。（學(xué)生通過畫圖發(fā)現(xiàn)，圖形又有兩種可能的情況。）

1當(dāng)C取在優(yōu)弧上時。

問題9：從這個圖中（圖8），我們看到了什么？想到了哪些相關(guān)知識？

生8：三角形三邊與圓相切，即三角形的內(nèi)切圓。內(nèi)切圓的圓心是三角形的內(nèi)心，是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點，到三角形三邊的距離相等。

問題10：若順次連接A、B、C呢？

生9：能得到三角形的外接圓。外接圓的圓心是三角形的外心、三角形三邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點的距離相等。

2當(dāng)C取在劣弧上時。

問題11：對于這個圖（圖9），你有什么想說的嗎？

生10：圖9也得到了三角形和圓，不過圓在

三角形旁邊與三角形相切了，可以取個名字叫它“旁切圓”，這也是一種位置關(guān)系。

師：這個名字取得很好，不過這個“旁切圓”的大小不受三角形的控制，我們的教材中沒有研究。我們的教材只研究了三角形的內(nèi)切圓、三角形的外接圓。當(dāng)三角形確定時，它的內(nèi)切圓、外接圓都確定了。

問題12：內(nèi)切圓的半徑通常用什么方法來求呢？

生11：因為相切，所以過切點的半徑與三邊垂直，垂線段可以看成三角形的高線，所以用面積法可以計算出內(nèi)切圓的半徑r內(nèi)=2S△MNT÷C△MNT。

問題13：如果選取的點B能使得兩條切線MB、MA互相垂直，此時的內(nèi)切圓的半徑還有其他方法來求嗎？

生12：此時得到了一個直角三角形（如圖10），可以得出四邊形AMBO為正方形，利用切線長定理可以得出r內(nèi)=（MN+MT-NT）÷2。

問題14：三角形的內(nèi)切圓、外接圓，包括你們?nèi)〉摹芭郧袌A”，都屬于三角形與圓的位置關(guān)系。那么，與圓有關(guān)的位置關(guān)系接下來還會往哪個方向研究呢？

生：四邊形與圓，多邊形與圓（圖11）......

設(shè)計意圖：繼續(xù)通過開放性的動手畫圖引出知識，學(xué)生在畫圖的過程中自然回顧了三角形的內(nèi)切圓、外接圓以及“旁切圓”。問題11的追問以及解答，讓學(xué)生進(jìn)一步體會什么樣的幾何圖形之間可以研究數(shù)量關(guān)系，為學(xué)生今后的自主學(xué)習(xí)提供了方法。問題12、13的提出，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固了各個量之間的關(guān)系。這里滲透了分類、數(shù)形結(jié)合、方程模型的思想，提升了學(xué)生整體建構(gòu)知識的能力，教學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)。

2.嘗試與鞏固。

嘗試：如圖12，圓O的直徑DE=8cm，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm。圓O以2cm/s的速度從左向右運動，在運動過程中，點D、E始終在直線BC上。設(shè)運動時間為t（s），當(dāng)t=0s時，圓O在△ABC的左側(cè)，OC=6cm。請結(jié)合復(fù)習(xí)的知識，嘗試編一道相關(guān)的問題并解答。

設(shè)計意圖：開放性的問題設(shè)計，旨在通過復(fù)習(xí)知識培養(yǎng)學(xué)生提出問題、解決問題的能力，讓學(xué)生進(jìn)一步體會研究幾何問題的一般角度和方法，引導(dǎo)學(xué)生多角度解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和深刻性。

二、教學(xué)反思

1.建構(gòu)知識體系。

在復(fù)習(xí)課中，學(xué)生已具備了一定的知識基礎(chǔ)，但知識體系不一定形成，需要在復(fù)習(xí)課中建構(gòu)知識體系。新課標(biāo)提倡，學(xué)生不是被動地接受知識，而是要在積極主動地參與下建構(gòu)。幾何知識往往跟圖形分不開，因此，教師可以嘗試帶領(lǐng)學(xué)生畫圖，讓學(xué)生親自去發(fā)現(xiàn)盡可能多的東西，從而不斷地豐富圖形來建構(gòu)知識體系。這樣才能讓學(xué)生全面認(rèn)識、理解、掌握和運用知識，才能讓知識內(nèi)化為成長素養(yǎng)，才能真正滿足成長需要。

本節(jié)課利用4個作圖操作，讓與圓有關(guān)的位置關(guān)系的所有知識慢慢地冒出新芽，自然生長，最終長成枝繁葉茂的大樹。畫圖的過程既帶領(lǐng)學(xué)生獨立、主動地去參與、發(fā)現(xiàn)，又在流程設(shè)計上推陳出新，激發(fā)了學(xué)生的興趣，培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力。

2.激發(fā)數(shù)學(xué)思維。

為了使學(xué)生的能力在復(fù)習(xí)課中得到提升，復(fù)習(xí)課就不能對學(xué)過的知識機械地進(jìn)行重復(fù)，因為機械重復(fù)會使學(xué)生感覺枯燥，失去學(xué)習(xí)的興趣。除了在流程設(shè)計上推陳出新外，我們還要關(guān)注教師提出的問題給學(xué)生帶來的數(shù)學(xué)思考，從而讓學(xué)生在梳理知識的同時，感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法，提煉基本數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)策略，達(dá)到增長智慧的目的。

本節(jié)課設(shè)計的問題不是常規(guī)的習(xí)題，而是開放性問題，甚至讓學(xué)生自己提出問題。第一、二、四個作圖都是開放性作圖，這樣可以引領(lǐng)學(xué)生全面回顧點與圓、直線與圓、三角形與圓的位置關(guān)系。通過“尋找數(shù)學(xué)美”“你看到了什么”“你想到了什么”“還會向什么方向生長”“嘗試編一道相關(guān)的問題并解答”等一系列的開放性問題引領(lǐng)學(xué)生自主探究，深入思考，增進(jìn)認(rèn)識;讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)知識的生長過程，有利于學(xué)生的問題意識、創(chuàng)新能力的提升，有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)散性、深刻性的培養(yǎng)。

3.落實核心素養(yǎng)。

復(fù)習(xí)課上，教師除了要幫助學(xué)生全面復(fù)習(xí)知識，建構(gòu)知識體系之外，還應(yīng)該有意識地向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想，揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，是開啟數(shù)學(xué)知識寶庫的金鑰匙，我們的復(fù)習(xí)課需要關(guān)注思想，要讓復(fù)習(xí)課堂因思想而厚重。

本節(jié)課通過4個作圖操作串聯(lián)知識，讓學(xué)生在作圖的過程中經(jīng)歷逐漸遞進(jìn)、深度探究。數(shù)學(xué)思想體現(xiàn)在以下方面：第一、二、四個作圖的答案都不是唯一的，在求知答案的過程中學(xué)生迫切需要的就是分類的思想;在判斷位置關(guān)系、圖形各要素之間關(guān)系的過程中，數(shù)形結(jié)合思想、模型思想得到了淋漓盡致的體現(xiàn);在如何作切線的過程中，畫切線的問題最終轉(zhuǎn)化成了畫垂線的問題，體現(xiàn)了解決問題過程中的轉(zhuǎn)化思想。學(xué)生在課堂中感受并體會到這些思想方法，并逐漸運用到后續(xù)的學(xué)習(xí)中，最終形成能力，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因此，在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)努力做到讓學(xué)生因參與而構(gòu)建，因追問而明晰，因反思而升華，因思想而開花。

（作者單位：江蘇省揚州市江都區(qū)國際學(xué)校）