高中數(shù)學(xué)中的立體幾何解題技巧分析

李易民

【摘 要】 立體幾何是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分，對學(xué)生的空間想象力具有較高要求，為了幫助學(xué)生快速突破這部分?jǐn)?shù)學(xué)問題的求解難關(guān)，有必要傳授給他們解題技巧。本文基于高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀，以立體幾何題目為例，提出了一些切實(shí)可行的解題技巧。

【關(guān)鍵詞】 高中數(shù)學(xué);立體幾何;解題技巧

立體幾何是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容，常常作為壓軸題出現(xiàn)，對學(xué)生的空間思維能力和問題求解能力具有較高要求，使得學(xué)生在面對綜合性立體幾何問題的時(shí)候常出現(xiàn)不知如何下手的問題，影響了解題的準(zhǔn)確性。為了幫助高中生順利地突破這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)難關(guān)，有必要傳授給他們解題的技巧與方法。

一、巧用構(gòu)造方法，有效解決立體幾何問題

構(gòu)造方法是求解立體幾何問題中比較常用的一種教學(xué)手段，具體就是結(jié)合立體幾何題目的具體情況，通過靈活添加輔助線的方式來構(gòu)造圖形，力求可以更好地觀察圖形，幫助學(xué)生快速明確立體幾何問題求解的突破口。但是在立體幾何問題中應(yīng)用構(gòu)造方法期間，需要注意立足于問題的簡化處理視角，確保輔助線添加的科學(xué)性和合理性，避免因?yàn)殄e(cuò)誤添加輔助線而影響立體幾何問題的求解效率。

例1：如圖1，平面α上有A、B兩點(diǎn)，C、D兩點(diǎn)位于直線l上，其中點(diǎn)A、B、C、D共同圍成了一個(gè)矩形。在平面β上存在一個(gè)P點(diǎn)，CP和AB的中點(diǎn)分別為N點(diǎn)和M點(diǎn)，且已知AD=AP，AP⊥平面α，求證：MN為AB和PC的公垂線。

解析：針對該道立體幾何問題的求解，由于題干的信息比較抽象，增加了學(xué)生的求解難度，所以為了幫助他們快速求解問題，要注意對這道立體幾何問題進(jìn)行簡化。結(jié)合相關(guān)問題的題干特征和求解經(jīng)驗(yàn)，可知在題目中給定某一個(gè)中點(diǎn)的時(shí)候，可以利用構(gòu)造方法，再找到另一個(gè)中點(diǎn)構(gòu)成中位線，這時(shí)候可以有效地調(diào)用相似三角形、平行定理等方面的常用定理來快速求解。

通過靈活應(yīng)用構(gòu)造方法，科學(xué)添加輔助線，可以將這道立體幾何問題進(jìn)行簡化，從而有利于學(xué)生快速找到求解問題的關(guān)鍵。此外，構(gòu)造方法的一種變量應(yīng)用方式是構(gòu)建位置關(guān)系，這也有利于對相應(yīng)的問題進(jìn)行簡化。

二、巧用建模方法，有效解決立體幾何問題

建模方法具體是指將數(shù)學(xué)問題歸納為某個(gè)直觀性更強(qiáng)的數(shù)學(xué)模型，之后采取恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解。在高中立體幾何教學(xué)中，向量是比較重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，如果可以在求解立體幾何問題的時(shí)候靈活地應(yīng)用向量知識(shí)，那么可以降低學(xué)生求解立體幾何問題的難度，同時(shí)也有利于促進(jìn)高中生思維能力的發(fā)展，尤其是可以利用空間向量坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)計(jì)算立體幾何問題的目標(biāo)，這樣就可以將立體幾何問題的求解相應(yīng)地轉(zhuǎn)變成代數(shù)問題進(jìn)行求解。

例2：現(xiàn)有一個(gè)正四面體ABCD，其中線段AB和CD上分別存在E點(diǎn)和F點(diǎn)，且AE=AB，CF=CD，試求直線DE和BF夾角的余弦值。

解析：針對該道立體幾何問題的求解，如果直接采取繪制直觀圖的方式，學(xué)生計(jì)算難度比較大。而如果可以利用建模方法，構(gòu)建向量模型，那么可以幫助學(xué)生簡化問題求解過程。

解：假定線段AB、AC和AD為基向量，三者分別為a，b，c，且三者之間的夾角均為60°，并且正四面體的棱長是4，那么可知AE=CF=1，且AB與AC、AD以及AD和AC之間的夾角均為60°。結(jié)合余弦定理可知：BF=DE=?！?（a-c）（b+c-a）=-4。接著可以指導(dǎo)高中生繼續(xù)結(jié)合異面直線成角的基本定義，快速判斷直線DE和BF夾角的余弦值為。

在上述這一立體幾何問題求解過程中，靈活地運(yùn)用建模方法，借助基底坐標(biāo)法可以對相應(yīng)立體幾何問題中涉及的空間問題進(jìn)行有效解決，尤其是有利于消除其中涉及的垂直關(guān)系，最終可以將這一空間幾何問題轉(zhuǎn)化成以向量知識(shí)為主的代數(shù)問題求解，只需要調(diào)用向量坐標(biāo)即可求解問題。

總之，立體幾何問題的求解思路和方法眾多，本文結(jié)合例題，對構(gòu)造方法（構(gòu)造輔助線、構(gòu)造未知關(guān)系等）和建模方法的具體應(yīng)用情況進(jìn)行了重點(diǎn)探討，明確了求解方法應(yīng)用的重點(diǎn)與注意事項(xiàng)。幫助高中生掌握這些解題方法，可以有效提升他們求解立體幾何問題的能力。