以退為進(jìn)：緊扣定義，抓住本質(zhì)

陳小鋒

華羅庚先生說過：“善于退，足夠的退，退到最原始而不失去重要性的地方，這是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個訣竅?！彪m然與銳角三角函數(shù)相關(guān)的問題非常豐富，但只要同學(xué)們能緊扣定義，抓住本質(zhì)，就能以不變應(yīng)萬變。

（蘇科版數(shù)學(xué)教材九年級下冊第113頁問題1）如圖1，水壩的橫截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α為30°，背水坡AD的坡度i（即tanβ）為1∶1.2，壩頂DC=2.5m，壩高4.5m。求：（1）背水坡AD的坡角β;（2）壩底AB的長。

【思路分析】解決水壩測量問題情境中坡角β的大小和壩底AB的長，需要作梯形ABCD的高CE、DF，構(gòu)造出直角三角形，即可理解背水坡AD的坡度i（即tanβ）為1∶1.2。在Rt△AFD中，回歸定義理解直角三角形銳角三角函數(shù)中的正切值是一個銳角的對邊和鄰邊的比，假設(shè)鄰邊不變，銳角變大，對邊增大，比值也會越來越大，具備單調(diào)性，即不同比值對應(yīng)不一樣的銳角度數(shù)，反之，不一樣的銳角度數(shù)對應(yīng)不同比值。問題中線段比（坡度i）對應(yīng)銳角三角函數(shù)值，可確定坡角β的大小，并求出AF的長。對于壩底AB的長的計(jì)算，通過證明可得EF=CD，Rt△BEC中迎水坡BC的坡角α為30°，由銳角函數(shù)值對應(yīng)線段比可求出BE的長，最終得出壩底AB的長。

【畫龍點(diǎn)睛】著名數(shù)學(xué)家歐拉把三角函數(shù)看作線段之比，這種觀點(diǎn)是數(shù)與形的巧妙結(jié)合?；谇榫秤兄诶迩邃J角三角函數(shù)與相關(guān)線段的關(guān)系，所以解決銳角三角函數(shù)的相關(guān)問題，關(guān)鍵在于回歸定義，構(gòu)造直角三角形，將銳角三角函數(shù)與所在直角三角形對應(yīng)邊的比進(jìn)行轉(zhuǎn)換，進(jìn)一步可由部分已知條件得出某線段的長度或三角函數(shù)值及對應(yīng)的銳角度數(shù)。

例1 （2021·甘肅武威）圖2是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑。寶塔建造工藝精湛，與崆峒山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”。某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動，具體過程如下：

方案設(shè)計(jì)：如圖3，寶塔CD垂直于地面，在地面上選取A、B兩處分別測得∠CAD和∠CBD的度數(shù)（A、D、B在同一條直線上）。

數(shù)據(jù)收集：通過實(shí)地測量獲知地面上A、B兩點(diǎn)的距離為58m，∠CAD=42°，∠CBD=58°。

問題：求寶塔CD的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）。

參考數(shù)據(jù)：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60。

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程。

【思路分析】本題看似復(fù)雜，但只要根據(jù)問題情境構(gòu)造直角三角形即可。設(shè)塔高CD=xm，在Rt△ACD中，根據(jù)定義可得出AD=[CDtan∠CAD]=[xtan42°]=[x0.9]。同理，在Rt△BCD中，可得BD=[CDtan∠CBD]=[xtan58°]=[x1.6]。再由AD+BD=AB，列式計(jì)算即可得出答案。

【畫龍點(diǎn)睛】問題中AD和BD都是在理解定義的基礎(chǔ)上，運(yùn)用已知角的銳角三角函數(shù)值來確定，即將AD和BD用寶塔高CD表示，建構(gòu)方程模型來解決問題。抓住定義也就抓住了本質(zhì)。從以上問題的分析中不難發(fā)現(xiàn)，不論在怎樣復(fù)雜的背景下，也不管命題人怎樣巧思妙想，比如江蘇南京2021年中考第21題隔河測量、江蘇宿遷2021年中考第24題計(jì)算無人機(jī)飛行高度、江蘇泰州2021年中考第21題游客目測山高等，只需回歸定義，抓住本質(zhì)，結(jié)合方程模型，皆可輕松解決。

例2 （2021·遼寧本溪）如圖4，AB是半圓的直徑，C為半圓的中點(diǎn)，A（2，0），B（0，1），反比例函數(shù)y=[kx]（x>0）的圖像經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為 。

【思路分析】本題會讓不少同學(xué)產(chǎn)生困惑，無法正確求解，但如果能把銳角三角函數(shù)的定義真正理解消化并融會貫通，就會發(fā)現(xiàn)不一樣的精彩。如圖5，設(shè)半圓圓心為D，連接DC，過點(diǎn)C作CG⊥OA于點(diǎn)G，交AB于E，先求出tan∠BAO=[OBOA]=[12]，cos∠BAO=[OAAB]=[255]，sin∠BAO=[OBAB]=[55]。由于∠CDE=∠EGA=90°，∠CED=∠AEG，可得∠DCE=∠BAO，

所以tan∠BAO=tan∠DCE。在Rt△CDE中，

tan∠DCE=[DECD]，cos∠DCE=[CDCE]，求出DE=[54]，CE=[54]，AE=[54]。在Rt△AGE中，sin∠BAO=[GEAE]，cos∠BAO=[AGAE]，可得GE=[14]，AG=[12]，即得C點(diǎn)坐標(biāo)求出k值。

【畫龍點(diǎn)睛】解決本題的關(guān)鍵在于把三角函數(shù)值對應(yīng)線段比的定義理解后融會貫通，妙用角相等，通過不斷轉(zhuǎn)化逐步求出相關(guān)線段的值，最后得解。

（作者單位：江蘇省南京市江寧開發(fā)區(qū)學(xué)校）