求精 求新 求同 求實(shí)

【摘?要】人教版高中數(shù)學(xué)新教材已于2019年下半年在部分省區(qū)市推行試用，這是核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)教材變革，充分體現(xiàn)了整體性、過程性、聯(lián)系性、選擇性、融合性、實(shí)踐性的特點(diǎn)。研究者以人教版高中數(shù)學(xué)新教材“三角函數(shù)”為例，對新教材的課程結(jié)構(gòu)、內(nèi)容順序、知識銜接等內(nèi)容進(jìn)行分析，為落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人奠定基礎(chǔ)。

【關(guān)鍵詞】新教材;舊教材;三角函數(shù);課程結(jié)構(gòu)

【作者簡介】呂增鋒，正高級教師，寧波大學(xué)兼職教授。

【基金項(xiàng)目】浙江省高等教育“十三五”第二批教學(xué)改革研究項(xiàng)目“HPM視野下的課程教學(xué)設(shè)計(jì)研究”（jg20190132）

人教版高中數(shù)學(xué)新教材已于2019年下半年在部分省區(qū)市推行試用，按照教材主編章建躍博士的說法，本次新教材是核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的高中數(shù)學(xué)教材變革，充分體現(xiàn)了整體性、過程性、聯(lián)系性、選擇性、融合性、實(shí)踐性的特點(diǎn)[1]。筆者研讀了新教材的數(shù)學(xué)必修1與必修2，發(fā)現(xiàn)新教材在總體布局與細(xì)節(jié)處理上彌補(bǔ)了舊教材的很多不足，亮點(diǎn)頗多。下面筆者以“三角函數(shù)”這一章節(jié)為例，談?wù)勑陆滩牡囊恍┝咙c(diǎn)，以期給教師的課堂教學(xué)提供有益的參考。

一、求精：優(yōu)化整合教學(xué)內(nèi)容，凸顯核心主題

高中數(shù)學(xué)新教材通過“一刪、二移、三連通”的做法，從知識系統(tǒng)的高度確立了三角函數(shù)的整體架構(gòu)，避免了知識的碎片化，在實(shí)現(xiàn)單元教學(xué)內(nèi)容的精選上，凸顯了“函數(shù)”大單元下的“三角函數(shù)”這一核心主題。

首先，新教材刪去了“三角函數(shù)線”這部分的內(nèi)容。三角函數(shù)線作為解決三角函數(shù)問題的有力工具，其優(yōu)點(diǎn)在于能夠把三角函數(shù)的值通過有向線段直觀地呈現(xiàn)出來，提供了用幾何視角研究三角函數(shù)性質(zhì)的新思路。新教材把這部分內(nèi)容刪去，筆者認(rèn)為可能是基于三角函數(shù)線的實(shí)質(zhì)只是單位圓模型的一種幾何表征的角度考慮，舍棄三角函數(shù)線直接借助單位圓模型，利用任意角三角函數(shù)的定義不僅能夠更直觀的獲得三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，比如，周期性、單調(diào)性、奇偶性等，還能畫出三角函數(shù)圖象。因此，新教材的內(nèi)容編排更符合學(xué)生的認(rèn)知。

其次，新教材把“解三角形”這部分內(nèi)容移到“平面向量”中，也就是說“解三角形”不再屬于“三角函數(shù)”章節(jié)。這也恰恰說明了新教材尊重?cái)?shù)學(xué)史實(shí)的編寫思路。從數(shù)學(xué)發(fā)展史看，三角學(xué)與任意角三角函數(shù)并不是一回事，三角學(xué)源于天文學(xué)，后來主要用于平面三角的測量、測繪工作，于是就有了解三角形的問題;任意角三角函數(shù)的誕生主要是為了研究圓周運(yùn)動，作為刻畫周期現(xiàn)象的一種函數(shù)模型。當(dāng)然，三角學(xué)中也定義了三角函數(shù)，但僅僅局限于銳角三角形，而任意角三角函數(shù)也不是銳角三角函數(shù)的簡單推廣。因此，把“解三角形”從“三角函數(shù)”中分離出來，有助于凸顯三角函數(shù)的本質(zhì)?！敖馊切巍比谌搿捌矫嫦蛄俊闭鹿?jié)也是比較合理的，主要原因是：一是正弦定理、余弦定理可以借助平面向量實(shí)現(xiàn)簡單的推導(dǎo)與證明;二是平面向量可以作為解三角形的工具;三是可以充分彰顯平面向量是溝通幾何、代數(shù)、三角的橋梁的作用。

最后，新教材把“三角恒等變換”放在“三角函數(shù)”章節(jié)，實(shí)現(xiàn)了三角函數(shù)知識系統(tǒng)的上下連通。舊教材是把“三角恒等變換”放在“平面向量”之后，不可否認(rèn)學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量之后確實(shí)有助于兩角差余弦公式的推導(dǎo)與理解，有助于凸顯平面向量的工具作用，但割斷了三角恒等變換與三角函數(shù)的聯(lián)系，阻礙了學(xué)生對三角函數(shù)的連續(xù)性認(rèn)知。

二、求新：立足勻速圓周運(yùn)動，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

本次教材的變革是以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的一次創(chuàng)新，教材的編寫過程圍繞如何落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行創(chuàng)新思考。對于“三角函數(shù)”而言，其最主要的任務(wù)就是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)，而新教材采取的策略是立足勻速圓周運(yùn)動，構(gòu)建從現(xiàn)實(shí)情境跨越到三角函數(shù)定義、圖象、性質(zhì)、公式的建模之路。

例如，銳角三角函數(shù)與任意角三角函數(shù)是兩回事，既不能把任意角三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣（或一般化），又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”[2]。但舊教材在章節(jié)開頭表述“我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。你能用直角坐標(biāo)系中角的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角三角函數(shù)嗎？”，這樣使得不少學(xué)生誤認(rèn)為“任意角三角函數(shù)是銳角三角函數(shù)的推廣”。雖然，舊教材最后利用單位圓來定義任意角三角函數(shù)，但還是借助銳角三角函數(shù)的概念，并且沒有對單位圓可以定義任意角三角函數(shù)的合理性、科學(xué)性做出明確的表述。由于受到銳角三角函數(shù)的影響，一些學(xué)生對三角函數(shù)值出現(xiàn)負(fù)數(shù)的情況不能理解，在求特殊角三角函數(shù)值時(shí)還是要作直角三角形。為此，新教材直接利用質(zhì)點(diǎn)的勻速圓周運(yùn)動來構(gòu)建任意角三角函數(shù)模型。如圖1，單位圓O上的點(diǎn)P以A為起點(diǎn)做逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，刻畫點(diǎn)P的位置變化情況。該題通過對質(zhì)點(diǎn)P的運(yùn)動位置的刻畫來探究角與P點(diǎn)坐標(biāo)之間的對應(yīng)關(guān)系，從而自然獲得任意角三角函數(shù)的定義，讓學(xué)生對終邊所在的象限決定三角函數(shù)值的正負(fù)的理解更深刻。

由此可見，證明中所采用的方法不能偏離單元的主題，既然三角函數(shù)的性質(zhì)及相關(guān)公式都是圓的性質(zhì)的表征，那么借助同樣的單位圓來進(jìn)行三角函數(shù)公式的推導(dǎo)、證明，不僅符合新教材的求同理念，而且能讓學(xué)生對數(shù)學(xué)知識有一個(gè)整體的認(rèn)知。

四、求實(shí)：尊重生活現(xiàn)實(shí)真相，凸顯問題的嚴(yán)密性

新教材強(qiáng)調(diào)以反映學(xué)生所熟悉的現(xiàn)實(shí)的事實(shí)為素材創(chuàng)設(shè)問題情境，這不僅體現(xiàn)在三角函數(shù)的教學(xué)引入環(huán)節(jié)，還體現(xiàn)在三角函數(shù)的應(yīng)用中。在“三角函數(shù)”這一章節(jié)內(nèi)容中，舊教材設(shè)置了溫度變化曲線、畫y=|sinx|圖象、太陽高度角問題、潮汐問題等。由于畫y=|sinx|圖象應(yīng)用屬性不強(qiáng)，而太陽高度角問題對于學(xué)生來說太過于陌生，難以理解，因此，新教材只保留溫度變化曲線與潮汐問題。但同樣的潮汐問題，新教材在問題的表述與數(shù)據(jù)的設(shè)置上更加嚴(yán)密，更加符合現(xiàn)實(shí)。海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭;卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋，下表（略）是某港口某天（舊教材是“某季節(jié)每天”）的時(shí)刻與水深關(guān)系的預(yù)報(bào)。雖然新教材的“某天”和舊教材的“每天”，只是一字之差，但更符合客觀事實(shí)，體現(xiàn)了新教材的嚴(yán)謹(jǐn)性。因?yàn)?，潮汐是在月球和太陽引力共同作用下形成的海水周期性漲落現(xiàn)象，而太陽、月球和地球的相對位置都是在變化的，導(dǎo)致每天漲潮和落潮的時(shí)間也不一樣，基本上每天漲落潮的時(shí)間比前一天推遲約48分鐘，每半個(gè)月輪回一次[3]。所以，新教材的表述更準(zhǔn)確、嚴(yán)謹(jǐn)。

新教材本著求精、求新、求同、求實(shí)的精神，對課程結(jié)構(gòu)、內(nèi)容順序、知識銜接等內(nèi)容，按照“函數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動”四條主線對高中數(shù)學(xué)知識進(jìn)行重新串聯(lián)、整合、重構(gòu)，形成了新的主題單元，為落實(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)育人奠定了基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)教材變革（續(xù)3）：《普通高中教科書·數(shù)學(xué)（人教A版》的研究與編寫[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（25）：5-10.

[2]章建躍.為什么用單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)定義任意角的三角函數(shù)[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2017（1）：15-18.

[3]呂增鋒.教材中一道應(yīng)用題引發(fā)的現(xiàn)實(shí)思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2008（3）：18-19.

（責(zé)任編輯：陸順演）