小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的培養(yǎng)策略

【摘 要】“直觀想象”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，指借助幾何直觀、空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的培養(yǎng)常常“被忽視”“被干擾”“被替代”。教師可以通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、組織探究學(xué)習(xí)和引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展總結(jié)反思等策略來(lái)培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);直觀想象;直觀想象力;教學(xué)之困;養(yǎng)成策略

【中圖分類號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2020）49-0036-04

【作者簡(jiǎn)介】陳蒨，江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)（江蘇常州，213000）科研中心副主任，一級(jí)教師，常州市骨干教師。

沒(méi)有直觀想象力的靈魂，就如沒(méi)有望遠(yuǎn)鏡的天文臺(tái)?！督K省義務(wù)教育學(xué)科核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力框架（試行）》在小學(xué)數(shù)學(xué)部分指出，“鑒于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的連續(xù)性和階段性，小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與正修訂的普通高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)一脈相承，包括：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析”。由此可見(jiàn)，“直觀想象”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)貫穿學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過(guò)程。那么，在小學(xué)階段，應(yīng)如何讓“直觀想象”的培養(yǎng)真正落地呢？如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力呢？筆者對(duì)此進(jìn)行了一些探究。

一、小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的內(nèi)涵與外延

（一）直觀想象的已定認(rèn)識(shí)

直觀想象在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中的定義是：借助幾何直觀、空間想象感知事物的形態(tài)與變化，利用圖形理解和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。小學(xué)數(shù)學(xué)直觀想象和高中一脈相承，只是在知識(shí)、能力層面比較基礎(chǔ)和淺顯。具體包括：借助空間加強(qiáng)對(duì)事物位置關(guān)系、形態(tài)變化與運(yùn)動(dòng)規(guī)律的認(rèn)識(shí);利用圖形描述和分析數(shù)學(xué)問(wèn)題;建立數(shù)與形的聯(lián)系;基于探索解決問(wèn)題的思路構(gòu)建直觀的數(shù)學(xué)模型。

（二）直觀想象的深度解讀

直觀想象不是簡(jiǎn)單的幾何直觀與空間想象的組合。我們知道，幾何直觀的本質(zhì)是將相對(duì)復(fù)雜、抽象的問(wèn)題“圖形化”，利用圖形描述問(wèn)題，進(jìn)而借助圖形分析、解決問(wèn)題。以現(xiàn)實(shí)世界為背景的空間想象則是從幾何圖形的運(yùn)動(dòng)、變化以及位置關(guān)系出發(fā)，加工、改造事物的幾何表象，甚至想象、創(chuàng)造新的表象。如此看來(lái)，它們既有交融點(diǎn)也有各自的側(cè)重點(diǎn)，我們要更多地關(guān)注其在相互交融基礎(chǔ)之上價(jià)值取向的拓展，如借助圖形帶來(lái)的直觀去拓展思維的空間，尋求解決問(wèn)題的策略，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

（三）直觀想象力的意義解讀

直觀想象力就是直觀想象的能力。發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問(wèn)題都有賴于直觀想象力的發(fā)揮。直觀想象力還為探索思路、數(shù)學(xué)推理、抽象建構(gòu)搭建了思維基礎(chǔ)。小學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力主要表現(xiàn)為：借助直觀描述數(shù)學(xué)問(wèn)題;依據(jù)直觀理解數(shù)學(xué)問(wèn)題;建立數(shù)與形的關(guān)聯(lián);通過(guò)想象深入認(rèn)識(shí)世界。培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力，不僅能發(fā)展幾何直觀能力和空間想象能力，還能提高學(xué)生借助圖形、空間等分析問(wèn)題、理解問(wèn)題、探究解題思路、創(chuàng)新建構(gòu)等方面的數(shù)學(xué)思維能力。

二、小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的培養(yǎng)之困

（一）缺乏系統(tǒng)，小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的培養(yǎng)“被忽視”

利用直觀想象，對(duì)一些數(shù)學(xué)知識(shí)賦予幾何意義的闡釋，能幫助學(xué)生形成正確、深刻的知識(shí)表象。然而，在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，不少一線教師對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)體系缺乏系統(tǒng)的認(rèn)知，進(jìn)而忽視了低年級(jí)學(xué)生直觀想象力的培養(yǎng)。

（二）認(rèn)知不透，小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的培養(yǎng)“被干擾”

借助圖表、幾何圖形或空間想象描述、類比、分析數(shù)學(xué)問(wèn)題，有助于學(xué)生猜測(cè)、推斷問(wèn)題的結(jié)果。在不斷嘗試、想象、練習(xí)的過(guò)程中，學(xué)生的直觀想象力會(huì)慢慢提升。然而，在實(shí)際教學(xué)中，有些需要學(xué)生直觀想象的問(wèn)題失分率往往會(huì)比較高，因而教師會(huì)采用簡(jiǎn)單粗暴的教法，從而干擾了學(xué)生直觀想象力的發(fā)展。

（三）理解不深，小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的培養(yǎng)“被替代”

研究表明，小學(xué)生比較容易孤立地、單一地、脫離現(xiàn)實(shí)地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題、概念和原理。直觀想象恰恰可以幫助學(xué)生鏈接數(shù)學(xué)與生活、數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)，讓數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)生經(jīng)驗(yàn)有機(jī)融合，讓學(xué)生的前后知識(shí)有機(jī)整合。然而在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，有時(shí)會(huì)因?yàn)榻處熇斫獠簧罨驗(yàn)E用多媒體設(shè)備，導(dǎo)致教學(xué)過(guò)程替代學(xué)生直觀想象的問(wèn)題出現(xiàn)。

三、小學(xué)生數(shù)學(xué)直觀想象力的培養(yǎng)策略

小學(xué)生直觀想象力的形成是從感性到理性的過(guò)程。教師要把握好時(shí)機(jī)，選擇恰當(dāng)?shù)牟呗裕龑?dǎo)學(xué)生的直觀想象力逐漸從感性走向理性。

（一）從物化到表征——在問(wèn)題情境中培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力

依托先行組織者和學(xué)生的原有認(rèn)知等把握學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，創(chuàng)設(shè)促進(jìn)學(xué)生直觀想象素養(yǎng)發(fā)展的教學(xué)情境，讓學(xué)生的認(rèn)知從物化到表征，能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力。

1.提供恰當(dāng)?shù)南刃薪M織者。

先行組織者（相應(yīng)的引導(dǎo)性材料）是美國(guó)認(rèn)知心理學(xué)家?jiàn)W蘇伯爾提出的概念，它是連接新舊知識(shí)的橋梁。在學(xué)習(xí)新知之前，學(xué)生有很多生活經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)儲(chǔ)備，但這些經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)堆積在一起沒(méi)有進(jìn)入學(xué)習(xí)新知的準(zhǔn)備狀態(tài)。這時(shí)，就需要先將先行組織者呈現(xiàn)給學(xué)生，打通新知與已有經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)的聯(lián)系。在情境創(chuàng)設(shè)中，恰當(dāng)?shù)南刃薪M織者能促進(jìn)學(xué)生通過(guò)已有認(rèn)知來(lái)直觀想象。如教學(xué)蘇教版二下《認(rèn)識(shí)角》一課，教師創(chuàng)設(shè)生活情境：今天，有三個(gè)好朋友和我們一起上課，它們就是剪刀、數(shù)學(xué)書(shū)和扇子（課件出示相應(yīng)圖片）。在這些物體中有我們今天要研究的數(shù)學(xué)知識(shí)（角）。這樣的情境創(chuàng)設(shè)，為學(xué)生提供了學(xué)習(xí)角的先行組織者，有利于學(xué)生結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)直觀想象抽象出數(shù)學(xué)中的角。

2.激活學(xué)生的原有認(rèn)知。

學(xué)生的原有認(rèn)知能通過(guò)教師的引導(dǎo)而激活。教學(xué)中，教師關(guān)注激活學(xué)生原有認(rèn)知的情境創(chuàng)設(shè)，能促進(jìn)學(xué)生透過(guò)本質(zhì)勾連新舊知識(shí)，構(gòu)建自己的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展數(shù)學(xué)直觀想象力。如教學(xué)蘇教版三下《認(rèn)識(shí)小數(shù)》一課，教師創(chuàng)設(shè)“買東西0.3元，0.3元究竟是多少？”的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生把1個(gè)正方形看作1元來(lái)分一分、涂一涂，表示出0.3元。這樣的情境創(chuàng)設(shè)，使學(xué)生通過(guò)直觀想象勾連起小數(shù)與分?jǐn)?shù)的聯(lián)系，有助于學(xué)生更好地理解小數(shù)。

（二）從表征到抽象——在探究學(xué)習(xí)中培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力

新課標(biāo)提出了探究學(xué)習(xí)的理念。設(shè)計(jì)探究性問(wèn)題，可以讓學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上充分交流、碰撞、啟發(fā)，使他們的思維從表征走向抽象。這樣有助于學(xué)生的直觀想象力得到進(jìn)一步提升，從而逐漸達(dá)到知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新的水平。

1.在碰撞中探究。

直觀想象是探索、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力幫手。學(xué)生在開(kāi)始接觸數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往會(huì)習(xí)慣性地對(duì)問(wèn)題作出一種直觀判斷，這種直觀判斷起初只是一種直覺(jué)、猜想或猜測(cè)。同伴之間的交流、碰撞則會(huì)讓這種直覺(jué)或猜想越來(lái)越豐富、理性和完善。如學(xué)完蘇教版五上《多邊形的面積》一課后，教師引導(dǎo)學(xué)生探究如何將一個(gè)正六邊形分成六個(gè)形狀相同、大小相等的圖形，學(xué)生嘗試探究后交流如下：

生1展示最基礎(chǔ)的分法（如圖1）。

生2展示圖2，從軸對(duì)稱圖形的角度思考，想象出新分法。

生3展示圖3，先把正六邊形分成三個(gè)完全相同的平行四邊形，再把每個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)完全相同的圖形。

生4受生2啟發(fā)，從軸對(duì)稱圖形出發(fā)，只要把三條對(duì)稱軸保持相對(duì)位置不變，繞中心點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，就能得到新分法。（如圖4左）

生5受生3、生4啟發(fā)，想到了另一途徑的無(wú)數(shù)種分法。先分成3個(gè)完全相同的平行四邊形，每個(gè)平行四邊形中再用對(duì)角線平分，3條對(duì)角線繞各自平行四邊形的中心旋轉(zhuǎn)相同的角度，也能得到無(wú)數(shù)種分法。（如圖4右）

2.在探究中抽象。

數(shù)學(xué)是抽象性極強(qiáng)的學(xué)科，而小學(xué)生的思維又具有直觀形象性，這就產(chǎn)生了矛盾。直觀想象能架起聯(lián)結(jié)具體與抽象的橋梁。借助直觀想象，學(xué)生能更有效地開(kāi)展數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)，從淺表感知到深入探尋，從淺層認(rèn)知到深層思維，使思維逐步走向更高級(jí)、更抽象的層面。如教學(xué)蘇教版五上《圖形的分割》一課，教師首先引導(dǎo)學(xué)生用正方形紙折一折、畫(huà)一畫(huà);接著引導(dǎo)學(xué)生比較不同分法，初步感知規(guī)律，進(jìn)而猜想、驗(yàn)證——經(jīng)過(guò)正方形中心任意畫(huà)出的直線都能把正方形分割成兩個(gè)面積相等的部分;最后研究其他圖形的分割。這個(gè)引導(dǎo)學(xué)生在探究中抽象的過(guò)程，能有效提升他們的直觀想象力。

（三）從抽象到內(nèi)化——在總結(jié)反思中培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)直觀想象力

借助問(wèn)題情境引導(dǎo)學(xué)生初步感知直觀想象是最淺表的層次;在探究學(xué)習(xí)中，學(xué)生的直觀想象力能向有意識(shí)的思考、抽象過(guò)渡;總結(jié)反思則能引導(dǎo)學(xué)生的直觀想象力向更高的層次發(fā)展和內(nèi)化。

1.在類比反思中內(nèi)化。

直觀想象是一種極富創(chuàng)造力的思維，也是科學(xué)研究的重要載體，總結(jié)反思能讓直觀想象更加深入。在總結(jié)反思中對(duì)比、類比、想象，能觸發(fā)學(xué)生的靈感，引導(dǎo)學(xué)生探尋問(wèn)題間的本質(zhì)聯(lián)系，幫助學(xué)生打通不同數(shù)學(xué)問(wèn)題間的秘密通道。如教學(xué)蘇教版五下《解決問(wèn)題的策略：轉(zhuǎn)化》一課，有這樣兩道練習(xí)題：題1是“計(jì)算[12+14+18+116]”;題2是“16支足球隊(duì)比賽，以單場(chǎng)淘汰制進(jìn)行（即每場(chǎng)比賽淘汰1支球隊(duì)）。一共要多少場(chǎng)比賽才能產(chǎn)生冠軍？”。這兩道題看起來(lái)毫無(wú)關(guān)聯(lián)，但事實(shí)上它們可以用同一種幾何模型來(lái)表達(dá)。解決問(wèn)題后的總結(jié)反思、類比想象可以幫助學(xué)生內(nèi)化相應(yīng)的幾何模型。題1可以借助圖5來(lái)直觀理解;題2則需要更高層次的直觀想象，比賽以單場(chǎng)淘汰制進(jìn)行，也就是每一輪比賽要淘汰掉原來(lái)球隊(duì)的[12]，從而建立起與題1相同的幾何模型（如圖6）。

2.在反思內(nèi)化中建構(gòu)。

總結(jié)反思是一種高層次的直觀想象。這樣的直觀想象不僅有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)間本質(zhì)的、內(nèi)在的聯(lián)系，還有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)或建構(gòu)知識(shí)間的高層次隱性聯(lián)結(jié)。有些數(shù)學(xué)知識(shí)在淺表層面看不出聯(lián)系，但在某個(gè)層面有一種本質(zhì)的聯(lián)系。總結(jié)反思有助于學(xué)生完成有意義的建構(gòu)，從更高的層面提升數(shù)學(xué)直觀想象力。如教學(xué)蘇教版五上《解決問(wèn)題的策略：列舉》一課，有這樣一道練習(xí)題：從學(xué)校經(jīng)過(guò)少年宮到動(dòng)物園（如圖7），一共有幾條路可以走？教師首先讓學(xué)生用自己的方式表示出所有路線;然后展示有代表性的學(xué)生作品，并讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言來(lái)表述搭配現(xiàn)象;最后引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)提煉：搭配就是兩種事物之間的交叉對(duì)應(yīng)。那么如圖8，交叉對(duì)應(yīng)和矩陣模型就體現(xiàn)出本質(zhì)的關(guān)聯(lián)。這樣一種建構(gòu)就有賴于總結(jié)反思的直觀想象。

本文的研究只是一個(gè)起點(diǎn)，直觀想象作為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，要研究的東西太多，既要完善理論層面的理解，更要注重教學(xué)實(shí)踐。正如華東師范大學(xué)鮑建生教授指出的：數(shù)學(xué)素養(yǎng)是在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上、在數(shù)學(xué)活動(dòng)中逐步養(yǎng)成的。小學(xué)生的直觀想象力也是在他們生活的每一天、經(jīng)歷的每一節(jié)課、做的每一道題中逐步養(yǎng)成和提升的。

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