直觀引發(fā)歸納 轉(zhuǎn)化明晰算理
——以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級上冊“小數(shù)乘小數(shù)”為例

陳為強(qiáng)

（江蘇省徐州市賈汪區(qū)實(shí)驗(yàn)小學(xué)）

談起推理，很多人不由自主地想起中學(xué)幾何證明中的演繹推理，其實(shí)推理并不是中學(xué)幾何的“專利”，它在數(shù)學(xué)的其他領(lǐng)域也被廣泛運(yùn)用。然而，計算教學(xué)中的推理運(yùn)用往往被師生所忽略和遺忘，本文僅以人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》五年級上冊“小數(shù)乘小數(shù)”為例，談?wù)剼w納推理和演繹推理在計算教學(xué)中的有效運(yùn)用。

一、借助幾何直觀，進(jìn)行歸納推理

借助幾何直觀能把抽象的結(jié)論變得形象化、可視化。六年級的“分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)”幾何模型的呈現(xiàn)方式可使學(xué)生很形象地理解“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”計算的算理和算法。利用小數(shù)和分?jǐn)?shù)的密切關(guān)系，借鑒這種幾何直觀圖，可使學(xué)生對小數(shù)乘以小數(shù)的計算結(jié)果從直觀感知走向直觀理解，進(jìn)而引發(fā)直觀猜測、直觀推理。

如可以出示探索題：王老師家裝修房子，購買了一種長0.6米，寬0.4米的長方形瓷磚，每塊瓷磚的面積是多少平方米？

師：怎樣列式計算？

生：0.6×0.4= 。

師：這道題與以前的小數(shù)乘法有什么區(qū)別？

生：以前學(xué)的是小數(shù)乘整數(shù)，這題兩個數(shù)都是小數(shù)。

師：這就是今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容“小數(shù)乘小數(shù)”（板書課題），你會算嗎？（學(xué)生嘗試）

生：0.6×0.4=2.4，因?yàn)?0.6 和 0.4 都是一位小數(shù)，所以乘積也是一位小數(shù)為2.4。

生：0.6×0.4=0.24，因?yàn)?0.6 米=6 分米，0.4 米=4分米，6×4=24（平方分米），24（平方分米）=0.24（平方米）。所以0.6×0.4=0.24。

師：哪位同學(xué)明白他的方法？

生：他是把小數(shù)乘法借助單位換算轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘法，算完后又把單位換算回來的。

師：這位同學(xué)很善于發(fā)現(xiàn)別人的閃光點(diǎn)，還有別的方法嗎？下面的圖你能看懂嗎？

生：這是一個邊長為1 米的正方形，陰影部分是長6 分米，寬4 分米的小長方形，其面積占大正方形的24/100，用小數(shù)表示為0.24，所以0.6×0.4=0.24。

師：能從圖中看到乘積，不簡單，如果讓你計算0.6×0.9 ，你會嗎？

生：可以假設(shè) 0.6 和 0.9 的單位為米，轉(zhuǎn)化為分米進(jìn)行計算，結(jié)果為54 平方分米，然后換算以平方米為單位，算出0.6×0.9=0.54。

生：我是借助畫圖的方式，從下圖中可以看出0.9×0.6 占大正方形的面積的 54/100，所以 0.9×0.6=0.54。

師：這兩題在方法上什么相同之處？

生：都是借助單位換算轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法，算完后，再通過單位換算求出原來的結(jié)果，還可以借助畫圖的方法表示兩個小數(shù)相乘的結(jié)果。

生：我還發(fā)現(xiàn)兩個一位小數(shù)相乘，積就是兩位小數(shù)。

師：僅僅從兩個例子就得到這個結(jié)論，是否正確，還有待驗(yàn)證。

學(xué)生獨(dú)立探索小數(shù)乘小數(shù)的計算方法，有的學(xué)生借助已有的小數(shù)加減法的計算經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類比推理，造成乘積中小數(shù)點(diǎn)的位置錯誤；有的學(xué)生借助生活經(jīng)驗(yàn)，利用單位換算轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法進(jìn)行計算，然后進(jìn)行單位還原求出結(jié)果；還有的學(xué)生利用小數(shù)和分?jǐn)?shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合，借助直觀模型形象地詮釋0.6×0.4的結(jié)果。接著，教師出示0.6×0.9，學(xué)生運(yùn)用剛剛學(xué)到的方法，利用轉(zhuǎn)化表征或者圖形表征來呈現(xiàn)結(jié)果。經(jīng)此探究，引發(fā)了學(xué)生的直觀洞察，他們進(jìn)行不完全歸納推理：兩個一位小數(shù)相乘，積是兩位小數(shù)。因?yàn)椴煌耆珰w納推理的結(jié)論具有或然性，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生對發(fā)現(xiàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

二、借助演繹推理，明確背后算理

因?yàn)椴煌耆珰w納法推導(dǎo)出來的結(jié)論具有或然性，可能是正確的，也可能是錯誤的，因而對結(jié)論的驗(yàn)證必須要經(jīng)過演繹推理，只有通過演繹推理嚴(yán)格論證才能確定結(jié)論的必然性。而最新研究表明，10～11歲是兒童演繹推理認(rèn)識的快速發(fā)展期，因此，作為數(shù)學(xué)教師，我們可以依據(jù)自己的教學(xué)內(nèi)容，逐步滲透之，只要學(xué)生能“夠得著”，我們就要開展演繹推理，讓學(xué)生走出依靠直觀形象和感性經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行合情推理的框框，展開有根有據(jù)、有條有理的論證，讓學(xué)生明白其中蘊(yùn)含的道理，幫助學(xué)生樹立理性思維。下面是王老師家房間和外面陽臺的平面圖。

師：你能提出什么問題？請列出算式。

生：房間的面積多少平方米？列式為3.8×3.2。

師：大家嘗試一下？

生：利用單位換算把 3.8 米和 3.2 米轉(zhuǎn)化為 38 分米和32 分米，38 與32 積為1216，1216（平方分米）=12.16（平方米），所以3.8×3.2=12.16。

師：不借助單位換算的方法，能否說明小數(shù)乘法的計算道理？

生（皺著眉頭）：從 3.8 變成 38 擴(kuò)了 10 倍，3.2 變成32也擴(kuò)大10倍，積也會擴(kuò)大的，那怎么辦？

生（激動地說）：我明白了，3.8 和3.2 分別擴(kuò)大10倍是 38 和 32，積就擴(kuò)大 100 倍，然后把 38 和 32 的積縮小100 倍是12.16。（結(jié)合學(xué)生的說明完成板書如下）

生：小數(shù)乘法是轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法計算的，然后點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

師：一道題帶給大家的感悟不少，會算陽臺的面積嗎？

（學(xué)生獨(dú)立計算后展示）

生：我是按照小數(shù)點(diǎn)對齊計算的，算完后把小數(shù)點(diǎn)拉下來積是43.7，大家同意嗎？

生：我不同意，如果把兩個小數(shù)都看大一點(diǎn)，分別是2和4，乘積才是8，這題中積比8小。

師：利用估算初步判斷1.15×3.8不等于43.7，正確的該如何計算呢？

生：按照末尾對齊來計算，把 1.15 和 3.8 分別擴(kuò)大 100 倍和 10 倍為 115 和 38，乘積就擴(kuò)大 1000 倍，115與38的積是4370，最后把積縮小1000倍為4.37。

師：算出的積符合剛才估算的結(jié)果嗎？（學(xué)生贊同）這位同學(xué)不僅說出了結(jié)果，還說明了原因。它們計算時有什么相同點(diǎn)？

生：都是轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法進(jìn)行計算的。

生：小數(shù)乘法列豎式計算最好末尾對齊。

師：為什么小數(shù)乘法列豎式計算末尾要對齊？

生：小數(shù)乘法列豎式計算如果小數(shù)點(diǎn)對齊，積的小數(shù)點(diǎn)和乘數(shù)的小數(shù)點(diǎn)不一定對齊。它和小數(shù)加減法不一樣，小數(shù)加減法計算時小數(shù)點(diǎn)對齊，結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)和上面小數(shù)點(diǎn)也對齊。

師：這幾位同學(xué)講得很好，能從小數(shù)乘法計算本質(zhì)說明末尾對齊的合理性。

計算的本質(zhì)就是推理，就是寓理于算的過程，本環(huán)節(jié)學(xué)生在剛剛獲得兩個一位小數(shù)相乘的算法后，能夠利用單位換算完成3.8×3.2 的計算。但是學(xué)生對小數(shù)乘法的理解僅停留在“知其然”的表面上，沒有理解藏在背后的算理。教師的適時追問“不借助單位換算轉(zhuǎn)化的辦法能否說明小數(shù)乘法的計算道理”“ 逼迫”學(xué)生進(jìn)行了深入思考，通過箭頭的指向打通了小數(shù)乘法和整數(shù)乘法之間的聯(lián)系。學(xué)生有條有理地闡釋了其中乘數(shù)和乘積的變化，逐步理解了小數(shù)乘法是利用積的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法計算，然后把積縮小相應(yīng)的倍數(shù)求出原來結(jié)果的算理。轉(zhuǎn)化過程的每一步都是嚴(yán)謹(jǐn)而有根據(jù)的，詮釋了演繹推理的魅力，使學(xué)生明晰了背后的算理，從而“知其所以然”。教師并沒有滿足于學(xué)生對3.8×3.2 算理的理解，而是請其獨(dú)立計算1.15×3.8。學(xué)生展示各自的算法并有理有據(jù)地闡釋，通過對比，學(xué)生真正明白小數(shù)乘法末尾對齊的根本所在——都是轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法進(jìn)行計算，有效消除了小數(shù)加減法給小數(shù)乘法計算帶來的負(fù)遷移，使其由對小數(shù)乘法由關(guān)注外在形式走向深刻理解內(nèi)在結(jié)構(gòu)。

三、注重說理訓(xùn)練，總結(jié)計算方法

通過不完全歸納法學(xué)生發(fā)現(xiàn)了小數(shù)乘法計算的關(guān)鍵點(diǎn)——乘積小數(shù)的位數(shù)和兩個乘數(shù)小數(shù)位數(shù)之間的關(guān)系，然后通過演繹推理證明了開始的猜想。經(jīng)歷兩種推理，學(xué)生進(jìn)一步明確了小數(shù)乘法計算算理。算理是內(nèi)隱的，算法是算理的外在表達(dá)方式，于是算法的總結(jié)完善就成為計算教學(xué)的必然。

師：你能給下面各題的積點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)嗎？

生：0.87×0.9 兩個乘數(shù)分別擴(kuò)大 100 倍和 10 倍，轉(zhuǎn)化成87×9=783，然后積再縮小1000 倍，成為0.87乘0.9，結(jié)果是0.783。

師：積的小數(shù)位數(shù)是怎樣確定的？

生：8.7和0.9都是一位小數(shù)，積7.83是兩位小數(shù),72.9 和 0.04 分別是一位和兩位小數(shù)，乘積 2.916 是三位小數(shù)。

生：我發(fā)現(xiàn)“積的小數(shù)位數(shù)就是兩個乘數(shù)中小數(shù)位數(shù)的和”。

其實(shí)，泰勒的“第一等工人是指那些雄心壯志、從事適合自己工作的人”。用現(xiàn)在的話說就是用人堅持“人崗匹配”，持有這種觀點(diǎn)的泰勒沒有錯。他認(rèn)為人的差別不在智力高低，而在于渴望成功的愿望。所以，泰勒描述的“第一等工人”不是超人，而是我們大多數(shù)的普通人。

師：大家同意這位同學(xué)的發(fā)現(xiàn)嗎？

生：我不同意，第三題 16.5×0.6=9.9，兩個乘數(shù)都是一位小數(shù)，積還是一位小數(shù)。

生：不對，積 9.9 是原來乘積 9.90 這個兩位小數(shù)化簡得來的。

生：最好在剛才發(fā)現(xiàn)加上幾個字變成“積的小數(shù)位數(shù)在沒有化簡之前等于兩個乘數(shù)中小數(shù)位數(shù)的和”。

師：加上幾個字就不容易產(chǎn)生歧義了，為什么存在這一現(xiàn)象呢？

生：如果兩個乘數(shù)分別是兩位和三位小數(shù)，轉(zhuǎn)化成整數(shù)時分別擴(kuò)大100 倍和1000 倍，乘積就擴(kuò)大100000倍，積縮小100000倍就是五位小數(shù)。

師：如果不舉事例，能不能說明這一結(jié)論？

生：小數(shù)乘法是轉(zhuǎn)化成整數(shù)乘法來計算的，兩個乘數(shù)分別有a位和b位小數(shù)，轉(zhuǎn)化成整數(shù)分別要向右移動a位和b位，所得乘積向右移動（a+b）位。要求小數(shù)的乘積，就要把積向左移動（a+b）位，所以乘積的小數(shù)位數(shù)在沒有化簡之前等于兩個乘數(shù)中小數(shù)位數(shù)的和。

師：這位同學(xué)用字母說明乘數(shù)小數(shù)位數(shù)與乘積中小數(shù)位數(shù)之間的關(guān)系，這樣就能把所有情況全部概括了。誰能總結(jié)小數(shù)乘法的計算方法？

生：小數(shù)乘法是按照整數(shù)乘法的計算法則進(jìn)行計算的，最后數(shù)出兩個乘數(shù)一共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

學(xué)生把對算理的理解用自己的語言表征了出來，通過幾道題的訓(xùn)練，學(xué)生發(fā)現(xiàn)小數(shù)乘積中小數(shù)位數(shù)和乘數(shù)小數(shù)位數(shù)的和之間有著直接的關(guān)系，借助兩個小數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)擴(kuò)大的倍數(shù)以及積的變化規(guī)律對此關(guān)系作以深刻詮釋，使得“算理”和“算法”相融而貫通。

四、溝通知識聯(lián)系，拓展學(xué)生思維

有效的練習(xí)既注重“練（訓(xùn)練）”，更注重“習(xí)（習(xí)得）”，從“習(xí)”對“練”的過程的反省和思考，促使“練”與“習(xí)”向縱深處發(fā)展。作為練習(xí)，既要聚焦小數(shù)乘法的難點(diǎn)——乘積中小數(shù)位數(shù)的確定，又要注重發(fā)展學(xué)生思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

師：看下面的算式，根據(jù)小數(shù)乘積的小數(shù)位數(shù)給乘數(shù)點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。

生：第一題應(yīng)該為7.29×0.4=2.916，因?yàn)榉e為三位小數(shù)，乘數(shù)0.4 為一位小數(shù)，所以另一個乘數(shù)應(yīng)為兩位小數(shù)7.29。

生：第二題積在沒有化簡前為兩位小數(shù)，所以兩個乘數(shù)小數(shù)位數(shù)一共是兩位，可以寫成1.65×6=9.90；16.5×0.6=9.90；165×0.06=9.90三種情況。

師：這兩題有什么區(qū)別？

生：第一題的答案只有一種，因?yàn)槌朔e與其中一個乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)確定，另一個乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)就確定了。

生：第二題要注意乘積沒有化簡之前是兩位小數(shù)，所以在給兩個乘數(shù)點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)時，只要兩個乘數(shù)一共有兩位小數(shù)就可以了，所以本題答案不止一個，存在多種可能。

數(shù)學(xué)練習(xí)不求全，但求變，該練習(xí)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)小數(shù)乘法的計算法進(jìn)行逆向推理，在“積”的不變中尋求兩個乘數(shù)的狀況，在“變與不變”中讓學(xué)生不僅達(dá)到對小數(shù)乘法計算的通透理解，而且還發(fā)散學(xué)生的思維，增強(qiáng)思維的開放性。