Lucas數(shù)列兩項乘積倒數(shù)的有限和

張福玲

(渭南師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,陜西 渭南 714099)

0 引言

Lucas數(shù)列的遞推公式為：

Ln=Ln-1+Ln-2，L0=2，L1=1，n≥2。

其通項公式為[1]：

近年來許多學(xué)者對Lucas數(shù)列進(jìn)行了一系列的研究，見文獻(xiàn)[2-5]。文獻(xiàn)[4]中給出了Lucas數(shù)列無限倒數(shù)和的等式：

文獻(xiàn)[5-6]中給出了Lucas數(shù)列奇偶項平方的倒數(shù)和的等式：

通過Lucas數(shù)列的一些性質(zhì)，得到了關(guān)于Lucas數(shù)列兩項乘積倒數(shù)的有限和以及Lucas數(shù)列兩項交錯項乘積的倒數(shù)和的兩個定理：

定理1對于任意的正整數(shù)n,m>1，有

定理2 對于任意的正整數(shù)n,m>1，有

1 主要引理

引理1[2]對于任意的正整數(shù)n,存在以下關(guān)系

引理2 設(shè)a,b,c,d為正整數(shù)，其中a+b=c+d，且b≥max{c,d}，得到

LaLb-LcLd=(-1)a+1Lb-cLb-d。

證明根據(jù)Lucas數(shù)列的通項公式有

LaLb-LcLd=(Aa-Ba)(Ab-Bb)-(Ac-Bc)(Ad-Bd)

=AcBd+AdBc-AaBb-AbBa

=(AB)a(Ac-aBd-a+Ad-aBc-a-Bb-a-Ab-a)

=(-1)a+1(Ab-a+Bb-a-Ac-aBb-c-Ab-cBc-a)

=(-1)a+1(Ac-a-Bc-a)(Ab-c-Bb-c)

=(-1)a+1Lb-cLb-d

根據(jù)引理2，令a=1,b=n+m+1,c=n+1,d=m+1可得

引理3 對于任意的正整數(shù)m和n，有

LmLn+Lm+1Ln+1=Lm+n+1。

根據(jù)引理2，令a=2,b=2n+2,c=d=n+2可得

引理4 對于任意的正整數(shù)n,有

根據(jù)引理3，令m=n-1,n=n可得

引理5 對于任意的正整數(shù)n，有

L2n=Ln-1Ln+LnLn+1。

引理6 對于任意的n≥1,那么

L2n+12+1>LnLn+1(Ln+12+1)。

所以

L2n+12+1>LnLn+1(Ln+12+1)。

引理7 對于任意的和n,有

證明根據(jù)引理2可得：

引理8 對于任意的m≥2和n,有

證明根據(jù)引理2可得

引理9 對于任意的n,有

證明根據(jù)引理2可得

引理10 對于任意的n≥1,有

證明根據(jù)引理2得

引理11 對于任意的n≥1,有

證明根據(jù)引理2、引理3和引理5可以得到：

引理12 對于任意的n≥1,有

證明根據(jù)引理2、引理3和引理5可以得到

2 Lucas數(shù)列兩項乘積的倒數(shù)和

定理1對于任意的正整數(shù)n，m>1，有

證明根據(jù)引理2可以得到

所以

從而可以得到

(1)

1)n為偶數(shù)時

所以

因此

(2)

對于任意的k,由引理1有

所以

從而

根據(jù)引理6

所以

(3)

由(2)和(3)

即當(dāng)n為偶數(shù)時

(4)

2)n為奇數(shù)時

根據(jù)(1)可以得到

由于n為奇數(shù)，所以

根據(jù)引理4，

根據(jù)引理3

故

即

(5)

對于任意的k，根據(jù)引理1可以得到：

那么

所以

即

(6)

由(5)和(6)可以得到

即當(dāng)n為奇數(shù)時，有

(7)

由(4)和(7)式可得定理1。

3 Lucas數(shù)列兩項乘積交錯項的倒數(shù)和

定理2 對于任意的正整數(shù)n，m>1，有

證明由引理2可以得到，當(dāng)a=k,b=k+2，c=d=k+1時，

所以

因此

(8)

1)n為偶數(shù)時

由引理8和(8)可得

(9)

根據(jù)引理2

(10)

有

根據(jù)引理10，

即

從而可以得

(11)

根據(jù)引理11，

即

根據(jù)引理7

所以

即

(12)

結(jié)合(11)和(12)可得到

即當(dāng)n為偶數(shù)時

(13)

2)n為奇數(shù)時

根據(jù)引理2、(9)和(10)

根據(jù)引理9

即

(14)

根據(jù)引理12

根據(jù)引理7

所以

即

(15)

結(jié)合(14)和(15)可以得到：

即，當(dāng)n為奇數(shù)時

(16)

結(jié)合(13)和(16)可得定理2。