二階中立型時滯差分方程解的振動性準則

張思逸

(湖南幼兒師范高等專科學校,湖南 常德 415000)

0 引言

二階中立型差分方程的振動性理論在近十幾年來得到了廣泛的關(guān)注，主要體現(xiàn)在此類方程與某些類似微分方程的現(xiàn)象非常接近。此外，在物理學和其他領(lǐng)域有著許多應(yīng)用(見文獻[1,5])，特別是帶有中立型與時滯項的差分方程。 近些年來，二階中立型差分方程關(guān)于解的振動性問題的研究受到很多關(guān)注，見文[2-4,6,9-10]。但是，二階中立型時滯差分方程的振動性研究相對較少。文獻[7]中研究了如下的一類變系數(shù)的二階中立型時滯差分方程

Δ2[x(n)+p(n)x(n-m)]+Q(n)H(x(n-t))=0n≥n0

的振動性。在此基礎(chǔ)上，文獻[8]通過分析技巧也討論了如下的一類變系數(shù)的中立型時滯差分方程

Δ[anΔ(xn+pnxn-k)]+gnH(xn-t)=0n≥n0

(1)

的振動性。其中an>0，pn,gn∈R，k,t,n0∈Z+且Δ是向前差分算子，即Δxn=xn+1-xn，Δ2xn=Δ(Δxn)。

1 預備知識及主要定理

定義1 如果存在正整數(shù)N，對任意的n≥N，若方程(1)都有解xn≥0，那么稱{xn}是方程的最終正解，反之稱為最終負解。

定義2如果方程(1)的解{xn}既不是最終正解也不是最終負解，則稱之為振動的，否則稱之為非振動的。

定義3如果方程(1)的所有解都是振動的，則稱方程(1)是振動的，否則稱之為非振動的。

為了得到二階中立型差分方程振動解和其漸進性質(zhì)，我們需要引入如下的假設(shè)條件:

(H1) 存在λ≥0，對于幾乎所有的u,v≥0，使得H(u)+H(v)≥λH(u+v)成立;

(H2)H(uv)=H(u)H(v)，其中u,v∈R;

定理1若0≤pn≤p<∞， 如果條件(H1)-(H3)以及

(2)

成立，則方程(1)是振動的。

證明假設(shè)xn是方程(1)的一個非振動解，那么存在n0∈N+，使得當n≥n0時，有xn>0或者有xn<0。

(i)不妨設(shè)對任意的n≥n0+k，都有xn>0且xn-k>0，令

yn=xn+pnxn-kn≥n0+k，

則從方程(1)可知

Δ[anΔyn]=-gnH(xn-t)<0n≥n0+k

假設(shè)對任意的n≥n0+k有anΔyn<0，由(2)式可以知道，當n≥n0+k時有an>0。那么存在n1≥n0+k與實數(shù)c<0，使得當n≥n1時有

(3)

對上式(3)兩邊同時從n1到n-1求和，則有

即由(2)可得，當n→∞時，

對方程(1)的n取為n-k>0，兩邊同時乘上H(p)，得到

H(p)Δ[an-kΔyn-k]+H(p)gn-kH(xn-k-t)=0，

(4)

對上式(4)加上(1)，可以得到

Δ(anΔyn)+gnH(xn-t)+H(p)Δ[an-kΔyn-k]+H(p)gn-kH(xn-k-t)=0，

使用(H1)-(H3)，當n≥n0+k+t時，即有

0=Δ(anΔyn)+gnH(xn-t)+

H(p)Δ[an-kΔyn-k]+H(p)gn-kH(xn-k-t)

≥Δ(anΔyn)+H(p)Δ[an-kΔyn-k]+

Qn[H(xn-t)+H(p)H(xn-k-t)]

≥Δ(anΔyn)+H(p)Δ[an-kΔyn-k]+λQnH(yn-t)

≥Δ(anΔyn)+H(p)Δ[an-kΔyn-k]+λQnH(a)。

(5)

對上式(5)，兩邊從n1=n0+t到n-1求和，則有

則當n→∞時，上式與(H3)矛盾。

(ii) 設(shè)當n≥n0都有xn<0， 則當n≥n0時，令yn=-xn。由差分算子的線性性質(zhì)與假設(shè)(H2)，則有

Δ[anΔ(yn+pnyn-k)]+gnH(yn-t)=0，

于是利用相似的方法，就可以得到結(jié)論，證畢。

定理2若0≤pn≤p<∞，如果條件(H1)-(H3)以及

成立，則方程(1)是振動的。

該庭院位于小區(qū)整體建筑最東側(cè)，西靠另一單元建筑，南為大門入口，北側(cè)東側(cè)有圍墻，后院面積約為147.3 m2.側(cè)院為狹長通道，寬約4.65 m，長約8.7 m.前院面積較小，長約7 m，寬約4.5 m(圖1).從前院經(jīng)側(cè)院兩段連續(xù)下沉臺階至后院.該小區(qū)庭院共3個部分：前院、側(cè)院和后院(圖2).由于占地面積及建筑形式的限制，規(guī)劃占地為不規(guī)則幾何形，從規(guī)劃面積上看，屬于小尺度空間景觀設(shè)計范疇(圖3).

證明假設(shè)xn是方程(1)的一個非振動解，那么存在n0∈N+，使得當n≥n0時，有xn>0或者有xn<0。 不妨設(shè)對任意的n≥n0+t，都有xn>0且xn-t>0。

當xn<0時，類似地可以證明。令

yn=xn+pnxn-kn≥n0+k,

0=Δ(anΔyn)+gnH(xn-t)+

H(p)Δ[an-kΔyn-k]+H(p)gn-kH(xn-k-t)

≥Δ(anΔyn)+H(p)Δ[an-kΔyn-k]+

(6)

對(6)從n2=n0+k+t到n-1求和，就有

也就是

≤-[anΔyn-an2Δyn2+H(p)(an-kΔyn-k-an0+kΔyn0+k)]

≤-[anΔyn+H(p)(an-kΔyn-k)]

≤-(1+H(p))anΔyn。

于是就推出

與

-(yn-yn2)≤yn2，

這說明{yn}是單調(diào)有界的序列，并且

這與假設(shè)矛盾，故方程(1)是振動的，證畢。

定理3若-1≤pn≤0， 如果條件(2)，(H2)以及

(7)

成立， 則方程(1)是振動的。

證明令xn在[0,∞)上是(1)的無界解。由上述定理的證明可知anΔyn在[n1,∞)上是最終非增的，其中n1=n0+k。

因為yn是單調(diào)的，所以存在著n2>n1，n2=n0+k+t，使得對任意的n≥n2都有yn>0或者yn<0。

現(xiàn)在假設(shè)yn<0對任意的n≥n2都成立，則由已知條件與(3)可以得到xn

xn

上式與xn無界矛盾，故對任意的n≥n2一定有yn>0。

下面假設(shè)anΔyn>0，n≥n2。于是可知yn≤xn，這樣就得到了

Δ(anΔyn)+gnH(yn-t)≤0。

由集合{yn}的最終非減可以知道，存在常數(shù)c>0，使得對所有n≥n2都有yn≤c，即

Δ(anΔyn)+H(c)gn≤0,n≥n2

上式從n2到n-1求和，即得

所以就推出了

這顯然與(7)矛盾， 所以anΔyn<0。 后面證明可類似定理1，證畢。

定理4若對l1,l2>0有-∞<-l1≤pn≤-l2<-1，如果再有條件(2)，(H2)和(7)成立，則方程(1)的每個有界解要么是振動的，要么當n→∞時收斂于0。

證明假設(shè)xn是方程(1)在[n0,∞)上的一個解。

根據(jù)定理1 中相似的證明方法就可得到在[n1,∞)上anΔyn與yn是同號的，其中n1=n0+k。因此，根據(jù)定理1，(2)和{yn}的有界性，當xn>0時，我們只需討論: 當β∈(-∞,0)時有l(wèi)imn→∞yn=β。 類似地可以證明xn<0的情況。

假設(shè)β∈(-∞,0),則存在α<0，使得對任意的n≥n2,n2=n0+k+t，都有yn-k-t<α。故

-l1xn-k≤yn-xn≤yn。

即

-anΔyn-an3Δyn3<∞，

上式與(7)矛盾，所以β=0。于是