《線性代數(shù)》支架式教學(xué)法初探

冷洶濤 吳集林 王柏清

摘 要：國家開放大學(xué)《線性代數(shù)》三大考核要點，求逆矩陣、線性方程組解的判定、求線性方程組的解，其解題過程中都以矩陣的初等行變換為關(guān)鍵手段，課堂教學(xué)中其固化解題步驟，為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建支架，引導(dǎo)學(xué)生對上述四個考核要點的知識進(jìn)行自我構(gòu)建，從而提高及格率。

關(guān)鍵詞：初等行變換 固化解題步驟 搭建支架 自我構(gòu)建 及格率

引言

國家開放大學(xué)《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)12》包含了《線性代數(shù)》和《微積分》兩個部分[1]。在滿分100分的期末考試的試卷中，《線性代數(shù)》占42分[2]?？己说闹R點有矩陣的乘法、逆矩陣、矩陣的秩、線性方程組解的判定、線性方程組的解，有時兩個或三個知識點結(jié)合在一道題目中考核，比如逆矩陣、矩陣的乘法、矩陣的加減法、單位矩陣、矩陣的轉(zhuǎn)置相結(jié)合，矩陣的秩和線性方程組解的判定相結(jié)合。表1是試卷號為2006的期末試卷近三年《線性代數(shù)》分?jǐn)?shù)的分布情況，表中“其他”主要包含矩陣的轉(zhuǎn)置、單位矩陣、矩陣的加減法等。

從以上考分統(tǒng)計情況來看，求逆矩陣、線性方程組解的判定、求線性方程組的解是《線性代數(shù)》三大考核要點。其他考核知識點，如矩陣的加減法、矩陣的乘法、單位矩陣、矩陣的轉(zhuǎn)置，所占分?jǐn)?shù)較少，也容易掌握。

一、學(xué)情分析

“彎下腰撿支筆，直起腰再看老師的演算，已經(jīng)兩眼麻麻黑”——這是一名學(xué)生在班級微信里面描述的數(shù)學(xué)課，這句話從一個側(cè)面說明了學(xué)生對數(shù)學(xué)課的畏懼心理。開放教育的學(xué)生，從學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)時間、學(xué)習(xí)方法、基礎(chǔ)知識等幾個方面，與普通高等教育的學(xué)生有著極大的差別[3]。學(xué)情歸納如表2所示。

特別說明一點，關(guān)于學(xué)生的“基礎(chǔ)知識”，無論是業(yè)余班還是白天班，基礎(chǔ)都很差[4] [5]。大部分同學(xué)10以內(nèi)的正負(fù)整數(shù)的加減乘除不會算，分?jǐn)?shù)的加減乘除不會算，他知道1-1=0，但“（-1）+1”他會等于2。

要把這樣的學(xué)生教及格，是一件有難度的事情，走尋常路，實踐證明行不通。

二、初等行變換

《線性代數(shù)》三大考核要點的解題方法如表3所示。

從表3可以看出，“初等行變換”是三大考核要點的關(guān)鍵解題手段。

初等行變換是對換變換、倍乘變換、倍加變換三種矩陣的行變換，基本意義分別如下：

對換變換：交換兩行的位置，如圖1所示。

倍乘變換：某行乘以一個常數(shù)k，如圖2所示。

倍加變換：將矩陣的某一行遍乘一個常數(shù)后加到另一行，如圖3所示。

這三種初等行變換的意義比較容易理解，學(xué)生也容易掌握。這是建構(gòu)主義教學(xué)方法中支架式教學(xué)的第一步，明確搭建支架的材料。

三、固化解題步驟

教學(xué)過程中明確提出“固化解題步驟”，就是為學(xué)生的學(xué)習(xí)搭建支架。教師在例題演算過程中，嚴(yán)格按固化解題步驟解題，讓學(xué)生明白構(gòu)建知識的“腳手架”已經(jīng)搭好。然后從易到難布置課堂訓(xùn)練題目，讓學(xué)生順著“腳手架”搭建自己的知識體系，教師在教室里巡回指點;與此同時任命能夠迅速解出題目的學(xué)生為小組長，充當(dāng)小老師，對不會的同學(xué)進(jìn)行講解，“先進(jìn)帶后進(jìn)”，大家齊進(jìn)步。

1.求逆矩陣

如圖4所示，對左邊矩陣A施行初等行變換，化為單位矩陣，右邊的單位矩陣I化為A的逆矩陣A-1。

固化的解題步驟如表4所示。

2.線性方程組解的判定

線性方程組解的判定分兩種情況，一種是非齊次線性方程組，即AX=b形式。其解題方法是對增廣矩陣施行初等行變換，化為階梯形矩陣，再根據(jù)課本上的定理3.1和定理3.2判定線性方程組的解。

另一種是齊次線性方程組，即AX=0形式。其解題方法是對系數(shù)矩陣施行初等行變換，化為階梯形矩陣，再根據(jù)課本上的推論判定線性方程組的解。

從上述解題方法可以看出，對矩陣施行初等行變換，化為階梯形矩陣是關(guān)鍵。階梯形矩陣是形如圖5的矩陣，其中表示某行的首非零元，×表示非零或零元素。

在教學(xué)實踐中總結(jié)出的固化解題步驟如表5所示。

化成階梯形矩陣后，其非零行的行數(shù)就是矩陣的秩（此處可解決求矩陣的秩這一考核要點），根據(jù)定理3.1和3.2以及推論就可判定線性方程組的解。

3.求線性方程組的解

求線性方程組的解分兩種情況，一種是求解非齊次線性方程組的解，即AX=b形式。其解題方法是對增廣矩陣施行初等行變換，化為行簡化矩陣，再直接寫出方程組的解。

另一種是求解齊次線性方程組，即AX=0形式。其解題方法是對系數(shù)矩陣施行初等行變換，化為行簡化矩陣，再直接寫出方程組的解。

從上述解題方法可以看出，對矩陣施行初等行變換，化為行簡化矩陣是關(guān)鍵。行簡化矩陣（概念略）是形如圖6的矩陣，其中×表示零或非零元素。

從教學(xué)實踐中總結(jié)出固化解題步驟如表6所示。

結(jié)語

就《線性代數(shù)》三大考核要點，老師在課堂上講透初等行變換，這是搭建支架的材料。老師演算例題嚴(yán)格按照固化步驟解題，這是搭建支架。課堂訓(xùn)練題目從易到難，輔以小組協(xié)作學(xué)習(xí)，這是學(xué)生進(jìn)行課堂知識的自我構(gòu)建。

教學(xué)實踐表明，求逆矩陣一次課（2小時），線性方程組解的判定一次課（2小時），求線性方程組的解兩次課（4小時），三個考核要點的往屆試題訓(xùn)練一次課（2小時），總計通過10個小時的強(qiáng)化訓(xùn)練，學(xué)生完全能夠掌握三大考核要點。

參考文獻(xiàn)

[1]趙魁君.關(guān)于《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》教學(xué)的幾點體會[J].科技和產(chǎn)業(yè)，2010（11）：124.

[2]李偉林.財經(jīng)類《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》期末試題比較分析與思考[J].山西煤炭管理干部學(xué)院學(xué)報，2011（8）：162.

[3]吳立志.《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)12》教學(xué)案例評析[J].濟(jì)南職業(yè)學(xué)院學(xué)報，2013（6）：49.

[4]蔡銘輝，吳集林，張德君.開放大學(xué)數(shù)學(xué)類課程有效教學(xué)模式探討—以《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程為例[J].廣西廣播電視大學(xué)學(xué)報，2015（12）：26-27.

[5]劉海英.提高電大《經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》課程及格率的對策[J].福建廣播電視大學(xué)學(xué)報，2009（4）：61-62.

作者簡介

冷洶濤（1966—），男，漢族，碩士研究生，佛山開放大學(xué)副教授。