小題應(yīng)小做　圖形巧助力

在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)科中重要的數(shù)學(xué)思想，往往伴隨函數(shù)與方程思想、分類討論思想、特殊與一般思想等，與邏輯推理、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)相交融.通過對圖形的觀察與分析，化抽象為直觀，化直觀為精確，本文以高考試題為例，僅從圖形的角度淺談它在高考小題中的巧用巧做，并列舉兩道方法類似的高考試題，以期拋磚引玉.

一、圖形在函數(shù)中的巧用

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)最重要的主干知識，也是解決實際生活、生產(chǎn)中的重要模型.初高中所學(xué)習(xí)的基本初等函數(shù)、其組合函數(shù)與復(fù)合函數(shù)，與參數(shù)的引入構(gòu)成了豐富多彩的函數(shù)類型，其圖象與基本性質(zhì)相得益彰，圖形凸顯性質(zhì)，性質(zhì)勾勒出圖形，相輔相成，尤其是在解決與抽象函數(shù)有關(guān)問題時，圖形發(fā)揮出關(guān)鍵作用.

例1 （2020年新高考卷Ⅰ第8題，卷Ⅱ第8題）若定義在R的奇函數(shù)f（x）在（－∞，0）單調(diào)遞減，且f（2）=0，則滿足xf（x－1）≥0的x的取值范圍是（）.

A.［－1，1］∪［3，+∞）B.［－3，－1］∪［0，1］

C.［－1，0］∪［1，+∞） D.［－1，0］∪［1，3］

分析與解：本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及抽象函數(shù)不等式的解法.如圖1，先根據(jù)題設(shè)初步畫出函數(shù)f（x）的大致圖象，再向右平移1個單位長度，再結(jié)合xf（x－1）≥0可求得－1≤x≤0或1≤x≤3，故選D.

例2 （2020年北京卷第6題）已知函數(shù)f（x）=2x－x－1，則不等式f（x）>0的解集是（）.

A.（－1，1） [WB]B.（－∞，－1）∪（1，+∞）

C.（0，1） D.（－∞，0）∪（1，+∞）

分析與解：本題是函數(shù)與不等式的交匯，意圖考查轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想、基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì).先由f（x）>0得2x>x+1，轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象與直線y=x+1的位置關(guān)系問題.如圖2，不等式f（x）>0表示的含義是指數(shù)函數(shù)y=2x的圖象在直線y=x+1的上方，因而可得x<0或x>1，故選D.

點評：在解題中，通過圖形呈現(xiàn)出函數(shù)的性質(zhì)、關(guān)鍵特征，能迅速求解問題，有事半功倍之效，因此，作出函數(shù)對應(yīng)的大致圖形是解題的關(guān)鍵.與例1類似題有2014年新課標(biāo)卷Ⅱ理科第15題、2017年新課標(biāo)卷Ⅰ理科第5題，與例2類似題有2019年天津卷文科第8題、2015年北京卷理科第7題.

二、圖形在立體幾何中的巧用

高考對空間立體幾何的考查主要是點線面之間的位置關(guān)系、常見幾何體的結(jié)構(gòu)特征及其表面積與體積、空間角與距離，還有一些動態(tài)問題，主要是應(yīng)用傳統(tǒng)幾何方法或建系引入空間向量來求解相關(guān)問題.對于立幾問題，借助它們的幾何特征進行轉(zhuǎn)化，運用有關(guān)的性質(zhì)定理、判定定理或結(jié)論、計算公式進行求解.

例3 （2021年新高考卷Ⅱ第10題）如下圖，在正方體中，O為底面的中心，P為所在棱的中點，M，N為正方體的頂點.則滿足MN⊥OP的是（）.

分析與解：對于選項A：平移直線OP至過點N，此時為正方體的對角線，易知該直線與直線MN斜交，不可能是垂直，選項A錯誤；對于選項B：平移直線OP至該正方體的體對角線位置（前左上方頂點、后右下方頂點），由三垂線定理可知，該直線與直線MN垂直，選項B正確；對于選項C：與選項B的情形相同，選項C正確；對于選項D：平移直線MN至前面，平移直線OP至左側(cè)面，易知兩直線斜交，不可能垂直，選項D錯誤.綜上，故選BC.

點評：異面直線所成角的求解方法、有關(guān)的定理知識等是求解本題的關(guān)鍵.通過平移直線至同一平面內(nèi)，或轉(zhuǎn)化為具有明顯的幾何特征來準(zhǔn)確判斷兩直線的位置關(guān)系.類似題有2017年新課標(biāo)卷Ⅰ文科第6題、2017年新課標(biāo)卷Ⅲ文科第10題.

例4 （2020年新高考卷Ⅱ第13題）已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，M，N分別為BB1，AB的中點，則三棱錐A1－NMD1的體積為＿＿＿＿＿.

分析與解：如圖3，直接求△NMD1的面積及其對應(yīng)的高比較麻煩，利用等體積法將三棱錐A1－NMD1換頂點與換底面成三棱錐D1－A1NM，此時只需求底面A1NM的面積、確定對應(yīng)高，即可求體積.△A1NM的面積S=2×2－2×12×2×1－12×1×1=32，又知對應(yīng)高為A1D1=2，所以三棱錐A1－NMD1的體積V=13×S×A1D1=1.

點評：當(dāng)直接求幾何體的體積比較困難，或遇到動點問題時，往往進行置換頂點（或底面），或等體積（或面積）進行轉(zhuǎn)化，探尋比較容易求解的幾何模型.類似題有2015年四川卷文科第14題、2012年山東卷理科第14題.

三、圖形在解析幾何中的巧用

解析幾何主要包括直線、圓、橢圓、雙曲線和拋物線，高考重點考查它們的幾何性質(zhì)和位置關(guān)系，定義是它們的“根”，妙用平幾知識也是破解小題的慣用手段，在解題中能巧妙求解問題，達(dá)到小題小做、巧做的目的.

例5 （2012年安徽卷文科第9題）若直線x－y+1=0與圓（x－a）2+y2=2有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是（）.

A.［－3，－1］ B.［－1，3］

C.［－3，1］ D.（－∞，－3］∪［1，+∞）

分析與解：如圖4，在直角坐標(biāo)系中畫出直線和圓的大致位置，發(fā)現(xiàn)圓心（a，0）在x軸上運動.

（視角1：定性分析）根據(jù)圖形，顯然知道直線與圓相切是臨界情形，且均相切時，在x軸正半軸的圓心離原點距離比在x軸負(fù)半軸的圓心離原點距離更近，因此根據(jù)選項特征，故選C.

（視角2：定量分析）因已知直線的傾斜角為45°，由等腰直角三角形易知直線與圓相切時，圓心（a，0）與點（－1，0）的距離是2，所以a=－3或a=1，故選C.

點評：畫出直線與圓在直角坐標(biāo)系中的大致位置，結(jié)合幾何特征判斷圓在一定范圍內(nèi)運動的情況，通過定性分析或定量分析可得到正確選項.類似題有2012年重慶卷理科第3題、2012年陜西卷理科第4題（文科第6題）.

例6 （2021年全國甲卷理科第15題，文科16題）已知F1，F(xiàn)2為橢圓C：x216+y24=1的兩個焦點，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的兩點，且|PQ|=|F1F2|，則四邊形PF1QF2的面積為＿＿＿＿＿.

分析與解：如圖5，在直角坐標(biāo)系中畫出橢圓，由|PQ|=|F1F2|可確定F1，F(xiàn)2，P，Q四點在以原點O為圓心、焦半徑c為半徑的圓上，所以P，Q兩點是直角頂點.根據(jù)焦三角形面積公式得S=b2tanθ2=4tan45°=4，故四邊形PF1QF2的面積為4×2=8.

點評：本題抓住|PQ|=|F1F2|，利用平幾知識判斷出點P，Q與點F1，F(xiàn)2四點共圓，進而轉(zhuǎn)化為圓與橢圓的相交問題，再借助焦三角形的二級結(jié)論求解.類似題有2021年新高考卷Ⅰ第14題、2020年新課標(biāo)卷Ⅰ文科第11題.

四、圖形在概率與統(tǒng)計中的巧用

幾何概型、正態(tài)分布、古典概型等都有對應(yīng)的圖形或樹狀圖，直方圖、葉莖圖和散點圖等本身就是圖形.這些圖形有其自身特有的幾何特征，在解題中充分借助特征有助于求解相關(guān)問題.

例7 （2021年新高考卷Ⅱ第6題）某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N（10，σ2），下列結(jié)論中不正確的是（）.

A.σ越小，該物理量在一次測量中在（9.9，101）的概率越大

B.σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5

C.σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等

D.σ越小，該物理量在一次測量中落在（9.9，10.2）與落在（10，10.3）的概率相等

分析與解：如圖6，對于選項A：σ為數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，σ越小，數(shù)據(jù)在μ=10附近越集中，所以測量結(jié)果落在（9.9，10.1）內(nèi)的概率越大，選項A正確；對于選項B：由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.5，選項B正確；對于選項C：由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等，選項C正確；對于選項D：因為該物理量一次測量結(jié)果落在（9.9，10）的概率與落在（10.2，10.3）的概率不同，所以一次測量結(jié)果落在（9.9，10.2）的概率與落在（10，10.3）的概率不同，選項D錯誤.綜上，故選D.

點評：本題破解之道就是利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性求解，通過作出大致圖象即可解決問題.類似題有2015年山東卷理科第8題、2011年湖北卷理科第5題.

例8 （2021年全國乙卷理科第8題）在區(qū)間（0，1）與（1，2）中各隨機取1個數(shù)，則兩數(shù)之和大于74的概率為（）.

A.79 B.2332 C.932 D.29

分析與解：如圖7，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，不妨設(shè)x∈（0，1），y∈（1，2），則它們組成一個邊長為1的正方形；而x+y>74表示的區(qū)域是在直線x+y=74的右上方，根據(jù)幾何概型有P=1－12×34×341×1=2332，故選B.

點評：線性規(guī)劃知識與幾何概型相結(jié)合，體現(xiàn)知識的交匯性，通過簡單地作出圖象能夠迅速得出它們的面積之比.類似題有2016年新課標(biāo)卷Ⅰ理科第4題、2015年湖北卷理科第7題.

五、圖形在平面向量中的巧用

平面向量既有大小又有方向，具有“數(shù)”和“形”的天然特征，是一座有效溝通各知識模塊的“優(yōu)質(zhì)”橋梁，在解決很多數(shù)學(xué)問題時，可借助平面向量巧妙求解，讓人耳目一新，豁然開朗.

例9 （2020年新高考卷Ⅱ第3題）在△ABC中，D是AB邊上的中點，則CB=（）.

A.2CD－CA B.2CA－CD

C.2CD+CA D.2CA+CD

分析與解：本題考查平面向量的基本定理，會用某一組基底表示平面內(nèi)的任一向量.如圖8，畫出△ABC，過點B分別作AC，CD的平行線，分別交直線CD，AC于點N，M.由于D是邊AB的中點，所以CM=CA，CD=DN，因此CB=CM+CN=－CA+2CD，故選A.根據(jù)中位線也可寫出CD=12（CA+CB），反解得CB=2CD－CA.

點評：三角形法則和平行四邊形法則是向量加減運算的重要依據(jù)，命題者往往會結(jié)合等分點或角平分線等進行考查，此時，善用平幾知識，結(jié)合圖形能迅速求解問題.類似題有2018年新課標(biāo)卷Ⅰ理科第6題（文科第7題）、2015年新課標(biāo)卷Ⅰ理科第7題.

例10 （2020年新高考卷Ⅰ第7題）已知P是邊長為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點，則AP·AB的取值范圍是（）.

A.（－2，6） B.（－6，2） C.（－2，4） D.（－4，6）

分析與解：本題考查平面向量的數(shù)量積運算.根據(jù)數(shù)量積的幾何意義知AP·AB表示AP在AB方向上的投影與|AB|的積.如圖9，點P運動到點C位置時，投影最大；點P運動到點F位置時，投影最小.計算得AC·AB=2×23×cos30°=6，AF·AB=2×2×cos（－120°）=－2，因此AP·AB∈（－2，6），故選A.

點評：求解數(shù)量積問題時，除了運用定義式a·b=|a||b|cosθ，還要注意它的幾何意義和極化恒等式的應(yīng)用，這可能會成為命題者反套路的一種新命題方式，因此解題時，若無法直接用定義式求解，不妨結(jié)合圖形，運用數(shù)量積的幾何意義進行求解.類似題有2017年北京卷文科第12題、2013年新課標(biāo)卷Ⅱ理科第13題（文科第14題）.

圖形具有優(yōu)美性、對稱性、和諧性與獨特性，可以直觀地將問題呈現(xiàn)出來，有助于解決問題，但不一定能完全展示出本質(zhì)特征.數(shù)學(xué)家華羅庚曾精辟論述“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微”、“以形助數(shù)”、“以數(shù)助形”.數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，圖形的形狀、大小及位置的判斷，需要數(shù)量來彌補，數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表達(dá)，因此充分利用圖形和具體的數(shù)量關(guān)系等求解數(shù)學(xué)問題，激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的熱情，從心理上認(rèn)同、走進數(shù)學(xué)，不會害怕數(shù)學(xué)運算，提高學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性，往往會有“柳暗花明又一村”的完美境界，體驗解題成功的喜悅感和成就感.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.人民教育出版社，2020.

［2］謝盛富.善用平幾知識妙解圓錐曲線問題［J］.福建中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（2）：31-33.

本文系2021年新羅區(qū)教育科研重點課題“新教材背景下提高數(shù)學(xué)運算能力的策略研究”（編號：XL1452022072）的階段性研究成果.