多變量問題中的“整元、換元、定元”策略

何文昌　念杰

不等式、函數(shù)與導數(shù)問題經(jīng)常涉及多個變量，這類問題綜合性大，技巧性強，學生往往無從下手，

給學生的求解帶來較大的困難.下面就“含多個變量問題”的“整元、換元、變元”策略作一探析，與同行交流.

一、整元——整合變量

評注：本題第（3）問中f（s+t）>f（s）+f（t）中有雙變量，因為s，t彼此獨立、地位相同，可以把一個變量確定為主元（自變量），另一個變量確定為次元（參數(shù)），通過移項、構(gòu)造函數(shù)，把雙變量問題轉(zhuǎn)化成單變量問題，再利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，從而證明結(jié)論，證明過程用到定元策略.

對于含多個變量問題，可以選擇整元、換元、定元策略，把多變量變形轉(zhuǎn)換成雙變量，再轉(zhuǎn)化成單變量，進而構(gòu)造出關(guān)于這個單變量的函數(shù)，利用函數(shù)與導數(shù)的知識求解.這類問題經(jīng)常含有x1x2，x1±x2，x1x2等，可以變形轉(zhuǎn)換成左右結(jié)構(gòu)相同的式子，或使用比值、和值、差值換元等整元、換元、定元方法把多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題.在教學過程中，教師可以基于問題的條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點，引導學生觀察多個變量的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想解決過的問題，在嘗試與調(diào)整中，尋找解決問題的方向，從而完善學生的認知結(jié)構(gòu)，提高思維的靈活性，形成和發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng).

（本文為福州教育科學研究院“十四五”規(guī)劃2022年度課題《“雙減”背景下課堂教、學、評一體化策略研究》（編號：FZ2022GH039，主持人：念杰）的研究成果之一.）