巧用同構(gòu)思想妙解一類指對(duì)混合壓軸題

劉文哲　張隆億

對(duì)方程或不等式進(jìn)行變形轉(zhuǎn)化，使其左側(cè)和右側(cè)具有相同的結(jié)構(gòu)形式，再通過構(gòu)造單調(diào)函數(shù)處理.對(duì)于具有混合指數(shù)對(duì)數(shù)的問題，通?？梢酝ㄟ^指數(shù)和對(duì)數(shù)的相互變換實(shí)現(xiàn)局部同構(gòu).問題可以轉(zhuǎn)化為相應(yīng)函數(shù)單調(diào)性或函數(shù)最值，這大大降低了計(jì)算和求解（證明）的難度.它是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)如邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的有效媒介，受到高考命題者的青睞.本文提出了指數(shù)與對(duì)數(shù)等式（不等式）的同構(gòu)方法，并對(duì)含指數(shù)對(duì)數(shù)壓軸問題的同構(gòu)解法進(jìn)行了梳理.

一、同構(gòu)的常見方法

簡(jiǎn)而言之，能直接使用同構(gòu)的混合指數(shù)和對(duì)數(shù)的導(dǎo)數(shù)試題不多.在許多情況下，需要用指數(shù)和對(duì)數(shù)同構(gòu)技巧，嘗試轉(zhuǎn)換為三種常見的同構(gòu)形式.解決這類含有指數(shù)對(duì)數(shù)導(dǎo)數(shù)試題的關(guān)鍵是同構(gòu)變換，進(jìn)而構(gòu)造一個(gè)對(duì)應(yīng)函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性或函數(shù)范圍，化難為易，突破解題的障礙點(diǎn).這類含指數(shù)對(duì)數(shù)壓軸題同構(gòu)解法事實(shí)上就是數(shù)學(xué)建模中建模、解模的過程.在這類導(dǎo)數(shù)壓軸題求解過程中引入了建模方法，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考，對(duì)同一個(gè)問題建立不同的數(shù)學(xué)解模型，讓學(xué)生從多個(gè)角度學(xué)習(xí)，尋找不同的問題解決方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)，使他們?cè)诿鎸?duì)復(fù)雜的函數(shù)和導(dǎo)數(shù)問題時(shí)能夠有章可循，一方面提高學(xué)生的數(shù)學(xué)建模技能，另一方面使學(xué)生養(yǎng)成有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)學(xué)建模思想解決問題的習(xí)慣，往往能達(dá)到事半功倍的效果.