一道導數(shù)壓軸題的“異構(gòu)”妙解

范明輝

一、試題呈現(xiàn)

（2022年第七屆湖北省高三調(diào)研模擬考試第22題）已知函數(shù)f（x）=xex－1，g（x）=a（lnx+x）.

（1）若不等式f（x）≥g（x）恒成立，求正實數(shù)a的值；

（2）證明：x2ex>（x+2）lnx+2sinx.

二、試題分析

本題屬于探索創(chuàng)新情境，以指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)為載體，考查導數(shù)在不等式恒成立求參數(shù)值的問題以及證明不等式的問題中的應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等知識，對學生的數(shù)學運算能力、邏輯推理能力以及分類討論的思想，考查理性思維和數(shù)學探索的學科素養(yǎng).

三、異構(gòu)妙解

思路分析：第（1）問，將函數(shù)表達式代入可得xex－a（lnx+x）－1≥0恒成立，對代數(shù)式“xex”進行朗博變形可得xex=elnx·ex=ex+lnx，結(jié)合導數(shù)問題中常用的切線不等式ex≥x+1，可構(gòu)造為［ex+lnx－（lnx+x）－1］+（1－a）（lnx+x）≥0，易知前部分ex+lnx－（lnx+x）－1≥0，而余量函數(shù)y=lnx+x在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且值域為（－∞，+∞），故系數(shù)1－a=0，即a=1.

注：所謂“朗博變形”是指利用指數(shù)運算和對數(shù)運算法則，將形如aex（a>0）代數(shù)式中ex的系數(shù)a變形成elna，進一步將aex變形成aex=elna·ex=ex+lna.這種變形技巧被稱為“朗博變形”，通常搭配母函數(shù)y=ex－x－1（即利用函數(shù)y=et及其在t=0處的切線y=t+1得到的切線不等式et≥t+1，將不等式移項得到母函數(shù)y=et－t－1）進行異構(gòu)配湊，配湊的結(jié)果即aex=ex+lna=ex+lna－（x+lna）－1+x－lna+1，這里的代數(shù)式ex+lna－（x+lna）－1與et－t－1是同構(gòu)的，都是非負的，至于多出來的余量x－lna+1需結(jié)合具體的題目進行配湊.

第（2）問，將待證不等式移項變形得x2ex－xlnx－2lnx－2sinx>0，觀察到前兩項中含公因式x，提取之后同（1）進行朗博變形得x［ex+lnx－（lnx+x）－1］+x2+x－2lnx－2sinx>0，

對于后面出現(xiàn)的x2－2lnx項，可以聯(lián)系常用的切線不等式x－1≥lnx，將其變形為

x2－1－lnx2≥0，此時還剩下x+1－2sinx，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可知x－sinx≥0，1－sinx≥0，則待證不等式轉(zhuǎn)化為證明

x［ex+lnx－（lnx+x）－1］+x2－1－lnx2+x－sinx+1－sinx>0.

這種將原復雜函數(shù)通過恒等變形轉(zhuǎn)化為多個不同的簡單函數(shù)的構(gòu)造方法就是異構(gòu).

解析：（1）記h（x）=f（x）－g（x）=xex－1－a（lnx+x）（x>0），則

h′（x）=x+1x（xex－a），記φ（x）=xex－a（x>0），則φ′（x）=（x+1）ex>0，

故φ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.令φ（x）=0，則lnx+x=lna.

當a=1時，x0>0，使得x0+lnx0=0，∴φ（x）在（0，x0）上為負，在（x0，+∞）上為正.∴h（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，在（x0，+∞）上單調(diào)遞增.∴h（x）≥h（x0）=0，符合題意.

當a>1時，x1>x0，使得x1+lnx1=lna，∴φ（x）在（0，x1）上為負，在（x1，+∞）上為正.∴h（x）在（0，x1）上單調(diào)遞減，在（x1，+∞）上單調(diào)遞增.∴h（x1）

當a<1時，x2

（2）即證x［ex+lnx－（lnx+x）－1］+x2－1－lnx2+x－sinx+1－sinx>0，記F（x）=ex－x－1（x∈R），則F′（x）=ex－1，∴F（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增.∴F（x）≥F（0）=0，即ex－x－1≥0，∴ex+lnx－（lnx+x）－1≥0，當且僅當x0+lnx0=0時取等號.

記G（x）=x－1－lnx（x>0），則G′（x）=1－1x=x－1x，∴G（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增.∴G（x）≥G（1）=0，即x－1－lnx≥0，∴x2－1－lnx2≥0，當且僅當x=1時取等號.

記H（x）=x－sinx（x>0），則H′（x）=1－cosx≥0，∴H（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增.∴H（x）>H（0）=0，即x－sinx>0.又1－sinx≥0，當且僅當x=π2+2kπ（k∈Z）時取等號，故有ex+lnx－（lnx+x）－1≥0，當且僅當x0+lnx0=0時取等號；

x2－1－lnx2≥0，當且僅當x=1時取等號.

∴x［ex+lnx－（lnx+x）－1］+x2－1－lnx2+x－sinx+1－sinx>0，故原不等式得證.

四、小結(jié)反思

以上解法中，第（2）問的異構(gòu)解法尤為美妙，主要依托于常用的不等式ex－x－1≥0，x－1－lnx≥0以及三角函數(shù)的性質(zhì)，通過對待證不等式進行恒等變形，化歸為證明熟悉的不等式，將未知向已知轉(zhuǎn)化.但是，異構(gòu)法難于構(gòu)造，難于轉(zhuǎn)化，這需要在平時多加訓練，掌握常用的不等式.一旦熟練掌握異構(gòu)法，解決導數(shù)中的不等式證明問題及恒成立問題將會顯得容易.