再談一道理想變壓器動態(tài)分析的經(jīng)典錯題*

蔡志義

(漳州市第三中學 福建 漳州 363000)

1 引言

《物理通報》2018年第7期刊登了“經(jīng)驗讓一個簡單題目成為教師的一道經(jīng)典錯題——理想變壓器的動態(tài)分析”一文，文中作者白紅艷老師針對一道理想變壓器動態(tài)分析的題目，指出一些有經(jīng)驗的教師用類比法來解決題目，雖能解出答案，但因為在類比過程中無形改變題干條件從而出錯，緊接著她用嚴謹?shù)臄?shù)學推導證明此題答案.雖能讓學生明白此題的來龍去脈，但耗時較多，故筆者也就此題談?wù)勛约旱目捶ǎ脙煞N等效的思想方法解決此類問題，以期與白老師商榷及與同行探討.

2 經(jīng)典錯題與解析

【例1】如圖1所示為理想變壓器，其中r為定值電阻，R為滑動變阻器，P為滑動變阻器的觸頭，u為正弦交流電源，電源輸出電壓的有效值恒定.則( )

圖1 例1題圖

A.P向右移動時，原、副線圈的電流之比可能變大

B.P向右移動時，變壓器的輸出功率變大

C.若原、副線圈增加相同匝數(shù)，其他條件不變，則變壓器輸出電壓不變

D.若原、副線圈增加相同匝數(shù)，其他條件不變，r消耗的功率可能不變

文獻[1]的作者主要針對例1的選項B進行討論，她指出有經(jīng)驗的教師用高壓輸電進行類比，當滑片P向右移動時，電阻增大，電流減小，功率減小，所以選項B錯誤.筆者認為有經(jīng)驗的教師應(yīng)該會引導學生思考，這個選項在求解功率問題時，應(yīng)當分為兩種情況：一是定值電阻，二是變化的電阻.定值電阻由原來的分析沒問題，但此題是滑動變阻器，它是變化電阻，不能按此思路分析，因為此時電阻和電流同時變化，由功率公式P=I2R知，此時功率的變化無法確定.講到這里，學生就會明白可以與電源的輸出功率進行類比，它有一個二級結(jié)論，當電源的外電阻與內(nèi)阻相等時，輸出功率最大.所以接下來用兩種等效法(等效電阻法和等效電源法)解決此類問題.

(1)等效電阻法

如圖2所示，設(shè)輸入電流為I1，輸出電流為I2，原、副線圈的電壓以及匝數(shù)分別為U1，U2和n1，n2.虛線框由一個R等等效替代，則

圖2 等效電阻法圖

E=U1+I1r

(1)

E=I1r+I1R等

(2)

U2=I2R

(3)

(4)

I1n1=I2n2

(5)

由式(1)～(5)得

將r視為電源的內(nèi)阻，由等效電阻法的結(jié)論得：

(1)若R等

(2)若R等≥r，則滑片P向右移動時，變壓器的輸出功率一直減小.

(2)等效電源法

如圖3所示，設(shè)輸入電流為I1，輸出電流為I2，原、副線圈的電壓以及匝數(shù)分別為U1，U2和n1，n2.虛線框等效為一個新的等效電源，其電動勢為E等,內(nèi)阻為r等，則

圖3 等效電源法圖

E=U1+I1r

(1)

E等=I2r等+I2R

(2)

U2=I2R

(3)

(4)

I1n1=I2n2

(5)

由式(1)～(5)得

由等效電源法的結(jié)論得：

(1)若R

(2)若R≥r等，則滑片P向右移動時，變壓器的輸出功率一直減小.

3 兩種等效法的應(yīng)用拓展

文獻[1]通過大量繁瑣的數(shù)學推導與分析得到變壓器的輸出功率是可能增大也可能減少，實則不然，更準確的結(jié)論是變壓器的輸出功率先增大到最大后減小,也可能一直減小.如果遇到更復雜的電路圖，文獻[1]的計算方法將更麻煩，而現(xiàn)在的學生應(yīng)用數(shù)學解決物理問題的能力相對薄弱，就算計算出來，也要耗費相當長時間.對一道選擇題來說，在保證正確答案的同時應(yīng)盡量減少解題時間.下面，我們通過例2來分析應(yīng)用這兩種等效法在碰到更復雜的電路圖時也可以高效解決.

【例2】如圖4所示為遠距離輸電示意圖，兩變壓器均為理想變壓器，升壓變壓器T的原、副線圈匝數(shù)為n1，n2.降壓變壓器T′的原、副線圈匝數(shù)為n3，n4.原線圈兩端接入一電壓e=Emsin(ωt)的交流電源，r為定值電阻，輸電線的總電阻為2R1，R為滑動變阻器，不考慮其他因素的影響，則當滑動變阻器阻值為多少時，它的功率最大，最大值為多少.

圖4 例2題圖

(1)“等效電源法”解析

如圖5所示，把虛線框1看作等效電源E等1，r等1

圖5 等效電源法解析圖

把虛線框2看作等效電源E等2，r等2

當r等2=R時，即

時，等效電源輸出功率最大，滑動變阻器的功率有最大值，為

(2)“等效電阻法”解析

如圖6所示，把虛線框1看作一等效電阻R等1

圖6 等效電阻法解析圖

把虛線框2看作一等效電源E等1，r等1

當R等1=r等1+2R1時，即

時，滑動變阻器的功率有最大值，為

如果例2用常規(guī)的計算方法求解，將耗費大量的運算時間，而且學生不一定能換算到最后一步，并需要用均值不等式來解極值.而用等效法能將復雜電路圖進行簡化從而大大減少繁瑣的數(shù)學運算，提高解題速度，具有事半功倍的效果.另外，培養(yǎng)學生“等效法”的思想方法也具有重要的作用.還能對運用此思想方法的模型進行系統(tǒng)復習，如等效重力場等.