歸謬法在中學數(shù)學解題中的幾種常見應用

李星潔

(鹽城生物工程高等職業(yè)技術學校 本科管理部，江蘇 鹽城 224051)

歸謬法又稱反證法，是數(shù)學解題中一種常用且重要的證明方法。法國著名數(shù)學家阿達瑪(Hadamard)對歸謬法的實質(zhì)進行過概括：“若肯定定理的假設而否定其結(jié)論，就會導致矛盾。”[1—2]歸謬的本質(zhì)是從結(jié)論的反面入手，進行一系列推導，得到反面結(jié)論的錯誤，從而確定結(jié)論的正確性。歸謬法在中學數(shù)學的解題中有著特殊的作用，理解并掌握這種方法對中學數(shù)學的教與學都有重要的意義。

一、歸謬法的數(shù)理邏輯基礎

從數(shù)理邏輯的角度來看，歸謬法是自然推理系統(tǒng)中構(gòu)造證明的一種方法。自然推理系統(tǒng)一般包含字母表、合式公式以及若干推理規(guī)則，關于自然推理系統(tǒng)的具體定義和內(nèi)容可參考文獻[3]。在一個自然推理系統(tǒng)中，我們可以從任意給定的前提出發(fā)，應用此系統(tǒng)中的推理規(guī)則進行推理演算，得到的最后命題公式是推理的結(jié)論。在自然推理系統(tǒng)中，構(gòu)造形式結(jié)構(gòu)為(A1∧A2∧…∧Ak)→B的推理，其證明的形式一般為：

前提：A1，A2,…,Ak,

結(jié)論：B

而所謂證明，就是指從前提A1,A2,…,Ak出發(fā)，然后利用推理規(guī)則得到結(jié)論B的這樣一個過程。在自然推理系統(tǒng)中構(gòu)造證明的常用方法有：直接證明法、附加前提證明法和歸謬法。本文主要論述歸謬法也就是反證法，這里我們給出歸謬法證明形式：在形式結(jié)構(gòu)為(A1∧A2∧…∧Ak)→B的推理中，前提為A1,A2,…,Ak，結(jié)論為B，將B作為前提，如果A1∧A2∧…∧Ak∧B是一個矛盾式，那么(A1∧A2∧…∧Ak)→B一定是一個重言式，也就是說從前提A1,A2,…,Ak得到結(jié)論B是正確的推理。

值得注意的是，在歸謬過程中得到矛盾的邏輯依據(jù)是命題邏輯中的基本等值式“矛盾律”和“排中律”，其中“矛盾律”是指A∧A?0，由于已知前提以及公理、定理、法則或者已被證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假；再根據(jù)“排中律”A∨A?1，結(jié)論與“否定的結(jié)論”不能同時為假，必有一真，因此原結(jié)論必為真。所以歸謬法是以命題邏輯的基本等值式為依據(jù)的，是可行且可信的。

二、歸謬法的一般步驟及應用實例

在中學數(shù)學教學中，特別是在數(shù)學高考題的解題教學中有許多問題是可以使用歸謬法來解決的，不過由于許多學生還沒有經(jīng)歷過嚴格的數(shù)理邏輯訓練，沒有掌握歸謬法嚴謹?shù)男问胶头椒?，往往想不到或者不會正確使用這種方法，這就需要我們在教學過程中適時地滲透歸謬法的思想方法，引導學生逐步學會這種方法。首先在數(shù)理邏輯的理論基礎上，在教學中可以將歸謬法的一般步驟概括如下：(1)結(jié)論的否定：假設原命題結(jié)論為假，即假設命題結(jié)論的反面為真。(2)矛盾的導出：將否定的結(jié)論作為條件，與已知條件一起，經(jīng)過正確的邏輯推理，得到互相矛盾的結(jié)果。(3)結(jié)論的肯定：由導出的矛盾斷定假設不成立，從而得出原命題結(jié)論是正確的。

綜上所述，歸謬法的一般步驟為：結(jié)論的否定?矛盾的導出?結(jié)論的肯定。

歸謬法在數(shù)學解題中的重要性是毋庸置疑的。代數(shù)、幾何、方程中許多典型的問題都可以利用歸謬法進行證明。通過例1來說明歸謬法在代數(shù)問題中的應用。

分析：根據(jù)上述歸納的歸謬法一般步驟，給出本題證明的主要過程。

下面通過命題“兩底角平分線相等的三角形是等腰三角形”的證明來介紹歸謬法在幾何問題中的應用。上述命題的逆命題“等腰三角形兩底角的平分線相等”早在兩千多年前歐幾里得的《幾何原本》中就已作為定理出現(xiàn)，但直到1840年萊默斯(C.L.Lehmus)在給斯圖姆(C.Sturm)的信中提出后，該問題才引起較多的關注。萊默斯想得到該問題的一個純幾何的證明，斯圖姆未能解決，但他向許多數(shù)學家提到該問題。首先回答的是瑞士幾何學家斯坦納(J.Steiner)，后來該定理就以斯坦納—萊默斯命名并聞名于世。

例2 (斯坦納—萊默斯定理) 在△ABC中BD，CE分別是三角形兩內(nèi)角∠ABC和∠ACB的角平分線，若BD=CE,則AB=AC。

分析：根據(jù)歸謬法的一般步驟，我們回顧斯坦納原證法的證明過程。

第一步：結(jié)論的否定。假設AB≠AC，不妨設AB>AC。

第二步：矛盾的導出。由AB>AC可知∠BEC>∠BDC。在△BCE和△CBD中，由BD=CE,∠BCE>∠CBD可知BE>CD。作平行四邊形BDCF，連接EF，由BE>CD=BF可知∠1<∠2，由CE=BD=CF可知∠3=∠4，因此∠BEC<∠BFC=∠BDC，這與∠BEC>∠BDC矛盾。

第三步：結(jié)論的肯定。第一步的假設不成立，即AB=AC。

尋求該定理的不同證明方法在歷史上曾風靡一時，時至今日已經(jīng)有了至少80多種證明方法。值得一提的是其中有不少方法，包括斯坦納的原證法，都是建立在歸謬法基礎之上的。

例3：系數(shù)均為奇數(shù)的一元二次方程無整數(shù)根。

該問題可以具體化為已知方程ax2+bx+c=0，若a，b，c都是奇數(shù)，則該方程無整數(shù)根。

分析：根據(jù)歸謬法的一般步驟，我們簡述證明過程如下。

第一步：結(jié)論的否定。假設該方程有整數(shù)根，則設x0為方程的一個整數(shù)根。

第二步：矛盾的導出。對x0的奇偶性進行分類討論。若x0是奇數(shù)，則ax02+bx0+c為奇數(shù)；若x0是偶數(shù),則ax02+bx0為偶數(shù)，故ax02+bx0+c仍為奇數(shù)。因此，無論在何種情形下，均與ax02+bx0+c=0矛盾。

第三步：結(jié)論的肯定。第一步的假設不成立，即方程無整數(shù)根。

以上我們歸納了歸謬法使用的一般步驟，并通過代數(shù)、幾何、方程中的實例進行了用法分析，從中可見，歸謬法的使用范圍廣泛、效果顯著。

三、歸謬法在中學數(shù)學解題中的幾種常見應用

在中學數(shù)學的解題中，當所證明的命題為以下五種形式時，我們便可以考慮使用歸謬法進行證明。這五種形式的命題是：否定性命題、限定性命題、無窮性命題、全稱肯定性命題以及不等量命題。

1. 歸謬法在否定性命題中的應用

結(jié)論本身是否定形式的命題稱為否定性命題，通常是結(jié)論中出現(xiàn)“沒有…”“不能…”“不是…”等形式的命題，比如前文中的例3“系數(shù)均為奇數(shù)的一元二次方程無整數(shù)根”就是這種否定性的命題。此類命題，直接證明往往是困難的，而從命題的否定入手，將“否定的結(jié)論”作為條件之一，證明往往容易取得突破。下面通過一個簡單但經(jīng)典的例子來看一看歸謬法在否定性命題中的應用。

本例非常特殊之處在于題目中并沒有出現(xiàn)顯性的條件，導致直接的證明是困難的，因此使用歸謬法。在證明過程中，巧妙利用了有理數(shù)的定義和奇偶性導出了矛盾。

2. 歸謬法在限定性命題中的應用

結(jié)論中含有“唯一”“至多”“至少”“不可能同時…”“最多”等詞語的命題稱為限定性命題。在限定性命題證明的過程中，往往可以考慮取消對結(jié)論的限定，而后再導出矛盾。

經(jīng)由(1)(2)兩式和(2)(3)兩式分別可得如下(4)(5)兩式：

再由(4)(5)兩式可得-2<2<2，其中2<2是一個矛盾式，因此假設不成立。

3. 歸謬法在無窮性命題中的應用

結(jié)論中含有“無限”“無窮”等詞語的命題稱為無窮性命題。很顯然“無限”和“無窮”的否定是“有限”和“有窮”，因此在證明無窮性命題時，常常使用歸謬法。

例6：證明素數(shù)有無窮多個。

證明：假設素數(shù)只有有限多個，設為n個，記為p1,p2,…,pn?？紤]p=p1p2Lpn+1,則p不能被p1,p2,…,pn中的任何一個整除。 因此p為素數(shù)或者p有p1,p2,…,pn之外的素因子，無論哪種情況，都說明素數(shù)的個數(shù)不是有限多個,所以假設錯誤，素數(shù)有無窮多個。

注:以上證明素數(shù)有無窮多個的方法稱為“歐幾里得法”，這一結(jié)論的證明還有其他許多方法，如利用排列組合知識的“數(shù)數(shù)法”“抽象代數(shù)法”“拓撲法”等，然而利用歸謬法的“歐幾里得法”顯然是最簡單明了的證明方法。

4. 歸謬法在全稱肯定性命題中的應用

結(jié)論以“……一定……”或“……全是……”等形式出現(xiàn)的命題稱為全稱肯定性命題，此類證明中可采用反證法。

因為x1≥0，所以xn+1≥1，這與xi(i=1,2,…,n,n+1)均為小于1的非負實數(shù)的條件矛盾。

5. 歸謬法在不等量命題中的應用

不等量命題通常所證明的結(jié)論以不等式等形式出現(xiàn)，在直接證明比較困難時可考慮使用歸謬法。

例8:設f(x)是定義在自然數(shù)集上的一個函數(shù),滿足對任意x，都有f(x)為自然數(shù)且f(x)+f(x+2)≤2f(x+1)。記d(x)=f(x+1)-f(x)。證明對任意x，都有d(x+1)≤d(x)且d(x)≥0。

證明:由題設知，對任意x，f(x)+f(x+2)≤2f(x+1) ，從而f(x+2)-f(x+1)≤f(x+1)-f(x)，于是對任意x，都有d(x+1)≤d(x)。

假設存在某個自然數(shù)k使得d(k)<0，則由題設任意x，都有f(x)為自然數(shù)，得d(k)≤-1。又由于對任意x，有d(x+1)≤d(x)，所以對任意自然數(shù)n，有-1≥d(k)≥d(k+1)≥…≥d(k+n)≥…，

從而d(k+n)+d(k+n-1)+…+d(k)≤(n+1)d(k)≤-(n+1)，

又因為d(k+n)+d(k+n-1)+…+d(k)=f(k+n+1)-f(k)，

所以f(k+n+1)-f(k)≤-(n+1)。取n=f(k)，

從而f(k+f(k)+1)≤-1。這與f(k+f(k)+1)是自然數(shù)矛盾，命題得證。

歸謬法作為中學數(shù)學解題的一種重要方法，理解并掌握該方法不僅可以在解題過程中達到事半功倍的效果，還可以培養(yǎng)學生逆向思維的習慣和能力。關于歸謬法有許多相關研究[4—6]，作為中學數(shù)學教師一定要加強這方面的學習和研究，并在日常的教學活動中適時地提煉和引導學生掌握好這種方法，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。