初中數(shù)學(xué)中的數(shù)列規(guī)律問題的探究

江蘇省泰州二附中(225300) 鄧小卿

初中數(shù)學(xué)中常常需要解決探求一列數(shù)的排列規(guī)律問題,這不能不說是一大難點(diǎn).因此如何指導(dǎo)學(xué)生迅速地發(fā)現(xiàn)規(guī)律,并能正確地表達(dá)規(guī)律就顯得尤為重要,如果方法得當(dāng),不僅能開發(fā)學(xué)生的智力,而且能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.鑒于有所側(cè)重,某些問題,本文只講方法,暫不作理論上的推導(dǎo),下面介紹幾種常用的解決方法.

我們首先約定:數(shù)列中的第1 項(xiàng)用a1表示,第2 項(xiàng)用a2表示,······,第n項(xiàng)用an表示.這里1,2,···,n謂下標(biāo),所謂規(guī)律就體現(xiàn)在每一項(xiàng)都能與“標(biāo)”掛上鉤.

方法1略施變更現(xiàn)原形

把所給數(shù)列中的每一項(xiàng)都加或減、或乘或除以同一個(gè)數(shù),也許就能得到一個(gè)我們所熟悉的數(shù)列.

例1 求數(shù)列:0,7,26,63,124···的第n項(xiàng)

解:把這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)都加上1,得:1,8,27,64,125···

即13,23,33,43,153,···

因此原數(shù)列的第n項(xiàng)為n3－1.

例2如圖,每個(gè)正方形點(diǎn)陣被一直線分成兩個(gè)三角形點(diǎn)陣,根據(jù)圖中所提供的信息,用含n的等式表示第n個(gè)點(diǎn)陣中的規(guī)律.(泰州中考數(shù)學(xué)，2006年)

解:第1 個(gè)等式,即0+1=12,

把被加數(shù)、加數(shù)、和分別列出,得到三個(gè)數(shù)列:

被加數(shù)列:0,1,3,6,···

加數(shù)列:1,3,6,10,···

和數(shù)列:12,22,32,42,···

易知和數(shù)列的第n項(xiàng)為n2,加數(shù)列中的第n項(xiàng)為被加數(shù)列中的第n+1 項(xiàng),只要能求出被加數(shù)列的第n項(xiàng)就能很快得到加數(shù)列的第n項(xiàng).把被加數(shù)列的各項(xiàng)都乘以2,得0,2,6,12,···,即:0×2,1×2,2×3,3×4,···,則第n項(xiàng)為(n－1)n,因此被加數(shù)列的第n項(xiàng)為那么加數(shù)列的第n項(xiàng)就是因此,第幾個(gè)點(diǎn)陣中的規(guī)律就是:

方法2拆分各數(shù)求規(guī)律

把所給數(shù)列中的每一項(xiàng)拆成與項(xiàng)數(shù)有關(guān)的幾個(gè)數(shù)的和或差或積或商或方的形式,從中找出變化規(guī)律.

例3把數(shù)列:2,1/2,4/3,3/4,6/5,5/6,···,的第n項(xiàng)用n的代數(shù)式表示出來.

解:分母的規(guī)律顯而易見,只要求出分子所構(gòu)成的數(shù)列的第n項(xiàng)即可這里a1=2=1+1,a2=1=2－1,a3=4=3+1,a4=3=4－1,···,再考察數(shù)列1,－1,1,－1,···,的變化規(guī)律,奇數(shù)項(xiàng)為+1,偶數(shù)項(xiàng)為－1.進(jìn)而寫成a1=1+(－1)1+1,a2=2+(－1)2+1,a3=3+(－1)3+1,a4=4+(－1)4+1.因此,該數(shù)列的第n項(xiàng)就是[n+(－1)n+1]/n

例4正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列,請(qǐng)寫出第20 行第22 列的數(shù)字.

解:讓我們先看看第1 行第3 列,2 行4 列,3 行5 列,4行6 列有哪些數(shù)字.得5,11,19,29,···,找出變化規(guī)律,把第n行第n+2 列的數(shù)表示出來,先把這組數(shù)都加上1,得6,12,20,30,···,拆法如下:6=2×3,12=3×4,20=4×5,30=5×6,···,那么這列數(shù)的第n個(gè)是(n+1)(n+2)－1,從而5,11,19,29,···,這列數(shù)的第n個(gè)是(n+1)(n+2),這就是數(shù)表中第n行第n+2 列的數(shù).因此第20 行第22 列的數(shù)字為(20+1)(20+2)－1=461.

方法3由后向前搞遞推

對(duì)所給數(shù)列從第2 項(xiàng)起,找出后項(xiàng)與前項(xiàng)的關(guān)系(往往是求差)得到若干個(gè)等式,再把這些等式迭加起來,就能得到通項(xiàng)的表達(dá)式.這種方法對(duì)解決圖形的生長(zhǎng)問題頗具成效.

例5如圖是用相同的長(zhǎng)度的小棒擺成的一組有規(guī)律的圖案,圖案(1)需要4 根小棒,圖案(2)需要10 根小棒,······,按此規(guī)律擺下去,第n個(gè)圖案需要小棒____根(用含n的代數(shù)式表示).(陜西太原中考數(shù)學(xué)，2011年)

解:這里a1=4,a2－a1=6,a3－a2=6,a4－a3=6,···,an－an－1=6,把這幾個(gè)等式左右兩邊分別相加得:

即:an=4+6(n－1)=6n－2.

例6將一些相同的“○”,按如圖所示的規(guī)律依次擺放,觀察每個(gè)“電圖”中的“○”的個(gè)數(shù),若第n個(gè)“電圖”中有245個(gè)“○”則n=____.(四川綿陽中考數(shù)學(xué)，2012年)

解:這里a1=5a2－a1=2=1×2,a3－a2=4=2×2,a4－a3=6=3×2,···,an－an+1=(n－1)·2,把這n個(gè)等式的兩邊分別相加得:

即an=5+n·(n－1),當(dāng)an=245時(shí)得方程5+n·(n－1)=245,解得n=15

例2.例4 亦可用此方法,讀者不妨試試.

方法4按階設(shè)立函數(shù)式.

一般地說:數(shù)列的通項(xiàng)an是n的函數(shù),其中自變量n為正整數(shù).

例7求5,30,8,23,11,16,14,9,···,的第99 項(xiàng)和第100項(xiàng).

解:把數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)單獨(dú)列出得:5,8,11,14···這是第1,3,5,7,···,項(xiàng),后項(xiàng)與前項(xiàng)之差為3,這是原數(shù)列中,中間去掉一項(xiàng)的差,如按規(guī)律補(bǔ)上則得到的數(shù)列:5,6,5,8,9.5,11,12.5,14,···,其公差就是1.5,這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)an就是n的一次函數(shù),且n的系數(shù)就是1.5,

設(shè)an=1.5n+c,由a1=5.得5=1.5×1+c,c=3.5.

于是有an=1.5n+3.5(n為奇數(shù)),這就是原數(shù)列中奇數(shù)項(xiàng)的表達(dá)式,

再把原數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)單獨(dú)列出得:30,23,16,9,···,其公差為+7,按規(guī)律補(bǔ)上第1,3,5,7,···,項(xiàng)得到:33.5,30,26.5,23,19.5,16,···,其公差為－3.5.

設(shè)an=－3.5n+e,由a1=33.5 得33.5=－3.5+e,e=37.

于是得an=－3.5n+37(n為偶數(shù)).這就是原數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)的表達(dá)式,所以

當(dāng)n=99,a99=1.5×99+3.5=152

當(dāng)n=100,a100=－3.5×100+37=－313.

例8與例6 時(shí)數(shù)據(jù)間,求數(shù)列5,7,11,17,···,的第n項(xiàng)

解:把后項(xiàng)與前項(xiàng)的差記下,并反復(fù)運(yùn)用這一做法:

經(jīng)過兩次求差,始得常數(shù),那么通項(xiàng)an是n的二次函數(shù),此數(shù)列是二階等差數(shù)列,設(shè)an=bn2+cn+d

把n=1,an=5;n=2,an=7;把n=3,an=11 代入

所以an=n2－n+5.

例9 求數(shù)列:1,3,17,55,129,25,1···,的第n項(xiàng)

解:反復(fù)求差:

歷經(jīng)三次求差,始得常數(shù),那么通項(xiàng)an是n的三次函數(shù),此數(shù)列稱為三階等差數(shù)列,設(shè)an=bn3+cn2+dn+e

把n=1,an=1;n=2,an=3;n=3,an=17;n=4,an=55 代入

所以an=2n3－6n2+6n－1.

順便指出,無論用哪種方法求出通項(xiàng)的表達(dá)式以后,都要進(jìn)行檢驗(yàn),如果an與標(biāo)n對(duì)不上,則已經(jīng)出錯(cuò),查出問題出在哪里或換一種方法重新來過.

解決數(shù)表,數(shù)陣等復(fù)雜問題,只要找出與提出問題有關(guān)的某一數(shù)列,即某一橫行或某一縱列或某一斜行或前排或后列或某“框”內(nèi)的數(shù)時(shí)排列規(guī)律,就能把研究龐雜的表、陣轉(zhuǎn)化為討論單一的數(shù)列,取得了事半而功倍的成效,有時(shí)甚至一步到位.例4 就是采用了這一做法.