2018年高考數(shù)學(xué)四川卷立體幾何題的研究與教學(xué)問題設(shè)計

四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(610068) 楊夢圓 邵 利

數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要成分,教學(xué)生學(xué)習(xí)如何解數(shù)學(xué)題也就成為數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)[1].其主要目的必定是為了教會學(xué)生思考,而不是為了得出題目答案.而教解題思路就需要教師將自身獨自解題所經(jīng)歷的思維變化通過言語傳達(dá)出來,這時通常采取以問題的形式來一步步引導(dǎo)學(xué)生思考.涂榮豹提出數(shù)學(xué)解題的基本步驟:(1)理解題意;(2)聯(lián)系已解決的問題,提出解題的各種設(shè)想;(3)實現(xiàn)解題方案,完成解題過程;(4)驗證結(jié)論,回顧解法[2].對于不同的題目可以不包含所有步驟,但可以根據(jù)這個解題步驟設(shè)計出啟發(fā)學(xué)生思考的教學(xué)問題.

1 試題研究

1.1 試題呈現(xiàn)

(2018年高考數(shù)學(xué)四川卷理科第19 題) 如圖1,邊長為2 的正方形ABCD所在的平面與半圓弧DC所在平面垂直,M是弧DC上異于C,D的點.

圖1

(Ⅰ)證明:平面AMD⊥平面BMC;

(Ⅱ)當(dāng)三棱錐M－ABC體積最大時,求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值.

1.2 試題分析

立體幾何的題目在考察學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的生成情況方面居于重要地位[3].這類題目主要考察學(xué)生利用綜合法證明點、線、面間位置關(guān)系的能力或利用空間直角坐標(biāo)系的向量運算解決問題的能力.而這類題目常有多種解法,學(xué)生應(yīng)該總結(jié)并分清每種解法的異同,區(qū)分清各個解題方法的本質(zhì),在解題過程中深化數(shù)學(xué)思想.

1.2.1 第(Ⅰ)問的分析

第(Ⅰ)問是證明面面垂直的邏輯推理題,那就需要學(xué)生找尋能得出面面垂直的條件.如果學(xué)生選擇綜合法證明,就可以反映出學(xué)生是否清晰線面垂直、面面垂直的判定定理,利用定理尋找符合定理條件的已知與推論,在整理條件是注意邏輯推理的流暢性和嚴(yán)密性.此題的解答總體上是比較好的,但學(xué)生在解答過程中還是存在以下一些問題:

①易忽略直徑所對圓周角是直角的隱含條件,即DM⊥MC;或者忽略面ABCD是正方形且與半圓面垂直且交于CB,導(dǎo)致無法得出DC⊥CM的線面垂直關(guān)系;從而因為條件不齊無法得出結(jié)論.

②多數(shù)學(xué)生都可以找出上述兩個條件,但是卻有少數(shù)學(xué)生的邏輯描述不準(zhǔn)確,失去數(shù)學(xué)邏輯的嚴(yán)密性,導(dǎo)致得分不完全.

③有部分學(xué)生直接找出兩平面構(gòu)成的二面角,通過證明其是直角,來證明兩平面垂直,但是多數(shù)學(xué)生忽略證明找到的二面角就是面AMD和面BMC的二面角,從而不能的滿分.

如果學(xué)生選擇向量法證明,就可體現(xiàn)出學(xué)生能否利用空間直角坐標(biāo)系向量運算的一結(jié)論:平面的法向量數(shù)量積為0?兩平面垂直來證明面面垂直.④用此方法解題易將一特殊位置的M點坐標(biāo)代表動點M,這樣是缺乏一般性的.

總的來說,第(Ⅰ)問大部分學(xué)生可以完全正確的解答,但是從少部分學(xué)生的解答過程中出現(xiàn)的問題①來看,反映了部分學(xué)生對立體幾何的基礎(chǔ)知識掌握不牢固,從出現(xiàn)的問題②和問題③可以看出部分學(xué)生的邏輯推理能力有待提高,推理論證的嚴(yán)密性不高,從出現(xiàn)問題④的學(xué)生解答中可以看出這部分學(xué)生的對于特殊和一般的數(shù)學(xué)關(guān)系理解不夠透徹,還是體現(xiàn)出學(xué)生沒有領(lǐng)悟從特殊到一般數(shù)學(xué)思想.所以要得全分,需要學(xué)生有扎實的知識基礎(chǔ),還需要在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中鍛煉嚴(yán)密的邏輯思維能力,逐漸領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想在問題解決中的運用.

1.2.2 第(Ⅱ)問的分析

第(Ⅱ)問是對學(xué)生計算兩平面所成二面角的正弦值能力的考察,要學(xué)生計算滿足三棱錐M－ABC體積最大時的二面角的正弦值.通常情況下這兩個平面僅有一個公共點,這樣的呈現(xiàn)方式對學(xué)生的直觀想象能力要求高,大部分學(xué)生不易找出兩面的公共邊,進而不易找出二面角的平面角,但是此題的兩個面的公共邊容易畫出的,這就使得學(xué)生的解題方法選擇多樣.學(xué)生在解答過程中主要存在以下一些問題:

①選擇向量法的同學(xué),易于錯將計算出的二面角的余弦值當(dāng)作問題要求的正弦值,不注意審題,不夠沉著冷靜.

②平面的法向量計算錯誤,導(dǎo)致此問只能得到建立空間直角坐標(biāo)系的分.

③M點的位置確定錯誤,第二小問的M點與第一問的M點是不同的,但是很多學(xué)生意識不到,或者對體積最大的理解有誤,導(dǎo)致后續(xù)計算都毫無意義.

④選擇綜合法計算的同學(xué)仍然有忽略對所找到的兩平面構(gòu)成的二面角平面角的證明描述,從而得不了全分.

綜上所述,第(Ⅱ)問對學(xué)生來說也不是難題,但是總會由于審題不仔細(xì)、粗心大意或邏輯不嚴(yán)密而丟分.從問題①和問題②可以反映出學(xué)生對于考試心態(tài)調(diào)整還存在問題,從出現(xiàn)問題③和問題④的這部分學(xué)生解答可以發(fā)現(xiàn)學(xué)生靈活運用知識的能力有待提高,邏輯推理不嚴(yán)密,需要加深引導(dǎo)加強鍛煉.

2 教學(xué)問題設(shè)計

只有鎖定“患處”,查明原因,才能“對癥下藥”.針對上面對試題解答中出現(xiàn)的問題,設(shè)計以下教學(xué)問題來引導(dǎo)學(xué)生思考解題思路,書寫解題過程,在全過程中感悟每種方法使用時應(yīng)注意的地方.此處問題設(shè)計以涂榮豹提出數(shù)學(xué)解題的基本步驟來設(shè)計教學(xué)引導(dǎo)問題,讓學(xué)生建立解決問題的流程,培養(yǎng)嚴(yán)密的邏輯思維能力.

2.1 理解題意

問題0通過閱讀題目大家能知道些什么?

設(shè)計意圖:提示學(xué)生在解題前要仔細(xì)審題,對于已知條件和問題做到心中有數(shù),直觀感知并在頭腦中構(gòu)建立體圖形,清楚其構(gòu)造,再由已知推導(dǎo)出一些隱含條件,為解題做好準(zhǔn)備.

2.2 聯(lián)系已解決的問題,提出解題的各種設(shè)想

問題1證明面面垂直我們可以怎么做?

設(shè)計意圖:引導(dǎo)學(xué)生思考出“線線垂直?線面垂直?面面垂直”的證明思路,此思路簡單明了,符合我們學(xué)習(xí)該部分知識時的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律,還能幫助學(xué)生捋清思路,提高推理論證的嚴(yán)密性;同時也可啟發(fā)學(xué)生得出在空間直角坐標(biāo)系中利用空間向量運算的結(jié)論來證明面面垂直,即利用平面的法向量數(shù)量積為0?兩平面垂直來證明面面垂直,也就是計算出兩平面的法向量,驗證法向量的數(shù)量積是否為零.

問題1-1用向量法解決,我們可以如何建系?

建系可以D、C或DC中點為原點建立空間直角坐標(biāo)系,如以D為坐標(biāo)原點,DA為x軸,DC為y軸,以垂直交線DC,垂足為D的直線為z軸;其余的情況同理.

設(shè)計意圖:學(xué)生們的建系結(jié)果應(yīng)該會覆蓋所有的情況,這里可提前啟發(fā)學(xué)生建系時選擇的原點可以不同,但意義是一樣的.

問題1-2M點的位置確定嗎?若建系,它的坐標(biāo)是什么?

設(shè)計意圖:此處提醒學(xué)生注意思考M點的坐標(biāo),引發(fā)學(xué)生的質(zhì)疑,及時矯正學(xué)生將其看作確定點的錯誤做法,同時提示學(xué)生利用DM⊥MC關(guān)系來表示M點的坐標(biāo).

問題2那通常我們?nèi)绾斡嬎銉善矫嫠山堑恼抑?

設(shè)計意圖:弄清第二小題是考查兩個平面所成的角的正弦值計算,解答時學(xué)生常用的方法是向量法,因為這種方法更易于計算,對學(xué)生直觀想象能力要求不高.但兩平面所成角二面角易找出時可運用綜合法,所以要引導(dǎo)學(xué)生嘗試使用這種方法解決問題,以提高直觀想象能力,但此時要向?qū)W生提問:“為什么你找的這個角就是所求二面角的平面角呢?”以此告誡學(xué)生應(yīng)該注意邏輯推理的嚴(yán)密性,每一步都要言之有理.

問題2-1什么時候目標(biāo)三棱錐的體積最大?此時M點在何處?

問題2-2如果建系解決,那么M點應(yīng)怎么表示?

設(shè)計意圖:通過思考何時三棱錐M－ABC體積最大來確定M點位置及坐標(biāo)是解決此小題的關(guān)鍵,所以要清楚M點與上一小題的變化之處.

2.3 實現(xiàn)解題方案,完成解題過程

問題3現(xiàn)在同學(xué)們試著利用剛剛捋出來的思路找找解題需要的條件并寫出自己的解法?盡可能的寫出多種不同的解法.

設(shè)計意圖:讓學(xué)生自主找條件寫解法,可以鍛煉學(xué)生獨立自主解題的能力,提高邏輯推理能力,盡管得不到所有解法,但通過后期的小組討論和教師的提示,可以讓學(xué)生有豁然開朗的感覺,使之得到的影響和收獲更多.

問題3-1大家先完成第(Ⅰ)問的解答,寫完之后小組討論,給出最終解法總結(jié),并給出各解法的異同.

學(xué)生的討論出四種方法,其中有一種方法是:過M作MN//BC,MN=BC連接AN,BN做輔助線,最后直接證明面面之間的二面角是直角;有兩種都是經(jīng)歷線線垂直?線面垂直?面面垂直的證明流程;還有一種是借助空間直角坐標(biāo)系,應(yīng)用充要條件“兩向量的數(shù)量積為零.兩個向量相互垂直”證明此題.

問題3-2大家觀察一下第(Ⅰ)問的解法一、二、三有什么異同?

設(shè)計意圖:試圖讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解法三和一、二都是綜合法,但是存在顯著差異.因為方法三是從根源上解決目標(biāo)問題,直接通過證明兩面的二面角是直角來達(dá)到目的.該方法容易出錯,主要由于畫不出MN這條輔助線,而缺少證明某角是二面角平面角的關(guān)鍵步驟.從側(cè)面也反映出學(xué)生在面對做輔助線解題是的正確率是無法保證的.

問題3-3第(Ⅰ)問在采用綜合法和向量法時應(yīng)分別注意什么?就此題而言你更偏向哪一種?

設(shè)計意圖:垂直和平行是高考立體幾何的必考知識點.學(xué)生能明白只要把握好線、面關(guān)系證明的方法、空間垂直關(guān)系以及空間平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化便可以求證,而此題證明若用向量法M點坐標(biāo)的確定是難點,向量法就顯得不那么適用,綜合法是首選.

問題4現(xiàn)在完成第(Ⅱ)問的解答,寫完之后小組討論,給出最終解法總結(jié),并給出各解法的異同.

此處學(xué)生討論出了兩種方法,其中一種是向量法,另一種是綜合法(輔助線與第(Ⅰ)問一樣).

問題4-1第(Ⅱ)問在采用綜合法和向量法時應(yīng)分別注意什么?就此題而言你更喜歡哪一種?

設(shè)計意圖:幫助學(xué)生辨識在求解二面角時,綜合法的難點是無法找到二面角或者添加輔助線作出二面角,當(dāng)然此題的二面角是容易作出的,但是需要證明其就是二面角,這又是大部分學(xué)生的困擾.可向量法完美的避開了這些難點,直接將問題轉(zhuǎn)化成求法向量的夾角問題,但是計算出的角的大小是二面角的平面角還是其補角,都需要判斷,這也是容易出錯的一點.

2.4 驗證結(jié)論,回顧解法

問題5通過解這道題,大家對于立體幾何題目有沒有什么解題心得?

設(shè)計意圖:通過交流,讓同學(xué)們感受出實際的解題中,大部分人只偏重綜合法與向量法其中一種.但是經(jīng)過對具體題目的求解與分析,發(fā)現(xiàn)它們是同等重要的,出現(xiàn)一邊倒的情況容易掉進出題者設(shè)計好的圈套中.所以需要告誡學(xué)生在平常的練習(xí)中綜合法與向量法都要兼顧.這樣才能在不同的題目類型中自如的選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?同時還要提醒重視對基礎(chǔ)知識的理解和掌握,要在日常學(xué)習(xí)中加深對數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟,提高推理論證是的嚴(yán)密性.

3 小結(jié)

筆者以2018年高考數(shù)學(xué)四川卷理科立體幾何題為例,分析了學(xué)生在此題的解答過程中出現(xiàn)的問題,由此設(shè)計了教學(xué)問題以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)解決問題的基本步驟和幫助學(xué)生克服不同方法易錯點,培養(yǎng)學(xué)生解題后的反思能力,同時在小組討論和教師提示后,還可以提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力.希望通過多次的這樣的教學(xué)活動提高學(xué)生的邏輯推理能力和靈活思考的一題多解的能力,讓學(xué)生不僅會做題,更會思考.2018年高考雖以時過境遷,但高考題確是值得教師深入挖掘其對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效能的重要依據(jù)和工具.