樹立五種意識破解恒成立問題

浙江省金華第一中學(xué)(321015) 黃錦龍

既含參數(shù)又含變量的不等式恒成立問題之所以備受命題者的青睞,一方面是這類問題把不等式、函數(shù)、方程、幾何等內(nèi)容有機(jī)結(jié)合起來,在知識的交會處命題,具有知識點多、綜合性強(qiáng)等特點,能體現(xiàn)出很好的區(qū)分度與選拔功能;另一方面是此類問題條件復(fù)雜,切入點難發(fā)現(xiàn),能很好地檢測學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.學(xué)習(xí)解決好不等式恒成立問題,能鞏固基礎(chǔ)知識,訓(xùn)練基本技能,感悟基本思想,豐富基本活動經(jīng)驗,提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力,促使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地開花.本文通過實例,以問題為導(dǎo)向,用五種意識對破解不等式恒成立問題作出解析,供讀者參考.

1 特值探路,驗證結(jié)論快捷解

例1(2018年3月溫州適應(yīng)性考試) 已知f(x)=x2－ax,|f(f(x))|≤2 在[1,2]上恒成立,則實數(shù)a的最大值為____.

解析這是一道填空壓軸題,試題簡約而不簡單,若采取“強(qiáng)攻”,勢必很快“敗下陣”來.不妨先思考問題成立的必要條件,取特殊值框定a的范圍,由

所以f(x)在[f(1),f(2)]上單調(diào)遞減,而故實數(shù)a的最大值為完美解決!

例2(2018年6月浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考) 設(shè)函數(shù)f(x)=3|ax|－(x+a)2,其中a ∈R.

(1)當(dāng)a=1 時,求函數(shù)f(x)的值域;

(2)若對任意x ∈[a,a+1],恒有f(x)≥－1,求實數(shù)a的取值范圍.

解析(1) 略;(2) 注意到,僅對x分類討論,無法去絕對值,以化簡f(x)的解析式.那就抓住目標(biāo),從必要條件入手,先通過特殊值來縮小所求參數(shù)的范圍,為解題找到思考方向.因為對任意x ∈[a,a+1],恒有f(x)≥－1,所以

解得－1≤a≤0.

下面證明,當(dāng)a ∈[－1,0],對任意x ∈[a,a+1],恒有f(x)≥－1,

①當(dāng)a≤x≤0 時,

故f(x)≥min{f(a),f(0)}≥－1 成立;

②當(dāng)0≤x≤a+1 時,

故f(x)≥min{f(a+1),f(0)}≥－1 成立.

由此,對任意x ∈[a,a+1],恒有f(x)≥－1.所以,實數(shù)a的取值范圍為[－1,0].

評注特殊化是把研究對象或問題從原有范圍縮小到較小范圍或個別情形進(jìn)行考察的思維方法,也就是說,當(dāng)數(shù)學(xué)問題的一般性不十分明顯時,我們可以從特殊的數(shù)、形的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系入手,從而找到解題方法或構(gòu)成解題起點.在解決不等式恒成立問題時,通過代入特殊值(如端點值),可以縮小所求參數(shù)的范圍,甚至可以得到結(jié)果,如上述兩題,但特殊化所得結(jié)論是問題成立的必要條件,接下來論證其充分性即可,這樣就掌控了解題節(jié)奏,能大幅度提高成功解題的概率.

2 數(shù)形結(jié)合,借助圖象直觀解

例3(2018年4月浙江省數(shù)學(xué)學(xué)考) 若不等式2x2－(x－a)|x－a|－2≥0 對于任意x ∈R 恒成立,則實數(shù)a的最小值是____.

解析被一道學(xué)考試題難住了,讓不少學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上開始“懷疑人生”.令x=0,得干脆就把作為了最后結(jié)果,很可惜! 題設(shè)不等式等價于2x2－2≥(x－a)|x－a|對于任意x ∈R 恒成立,且令f(x)=2x2－2,

圖1

則g(x) 的圖象不能在f(x) 圖象的上方,在同一坐標(biāo)系作出它們的圖象,如圖(1),可得當(dāng)時,2x2－2≥－(x－a)2即3x2+2ax+a2－2≥0 恒成立,所以Δ=4a2－12(a2－2)≤0,解得綜上,實數(shù)a的最小值是

例4已知函數(shù)對任意的x ∈[0,1]恒有f(x+a)≤f(x)成立,則實數(shù)a的取值范圍是____.

解析是分段函數(shù),想從“數(shù)”的角度破題無異于“與虎謀皮”,那就從“形”的角度入手,對任意的x ∈[0,1]恒有f(x+a)≤f(x)成立,就是在區(qū)間[0,1]上,f(x+a)的圖象總在f(x)圖象的下方或者與之重合,而f(x+a)的圖象可以由f(x)的圖象經(jīng)過平移得到,當(dāng)a=0 時,符合題意;當(dāng)a＜0 時,如圖(2),可得a=－1;當(dāng)a＞0 時,如圖(3),可得a≥1,綜上所述,a≥1,a=0,a=－1.

圖2

圖3

3 分離參數(shù),轉(zhuǎn)化問題簡潔解

例5已知f(x)=ax3,g(x)=9x2+3x－1,當(dāng)x ∈[1,2]時,f(x)≥g(x)恒成立,則a的取值范圍為( )

A.a≥11 B.a≤11

C.a≥D.a≤

解析f(x)≥g(x)恒成立,即ax3≥9x2+3x－1 恒成立.因為x ∈[1,2],所以對a實施分離,可得恒成立.令則當(dāng)時,a≥9t+3t2－t3恒成立.令h(t)=9t+3t2－t3,則h′(t)=9+6t－3t2=－3(t－1)2+12.易知h′(t)在上是增函數(shù),得所以h(t)在上是增函數(shù),從而a≥h(t)max=h(1)=11.故選A,這就是分離參數(shù)法解題的“套路”.

例6若對任意的x ∈[1,4],存在實數(shù)a,當(dāng)b＞0 時,使恒成立,求實數(shù)b的最大值.

解析初讀本題,容易被題目復(fù)雜的信息所難住,仔細(xì)研讀,分清參數(shù)與變量,思路就來了.去掉絕對值,得－2x≤x2+ax+b≤2x,注意到x ∈[1,4],分離參數(shù)a,問題等價于對任意的x ∈[1,4]恒成立,依題意,要使實數(shù)a存在,只需即可,接下來,就是求最值了.令對b分類討論:

ymin=可得－(1+b)+2,解得,b ∈?,所以b ∈?.

綜上所述,求并集得0＜b≤9,故實數(shù)b的最大值為9.

評注分離參數(shù)法通常是指對題設(shè)中含參不等式(方程)的參數(shù)進(jìn)行分離,使不等號(等號)一端只含有參數(shù)(不含變量),另一端只含變量(不含參數(shù)),從而解決有關(guān)不等式恒成立、不等式或方程有解中參數(shù)的取值范圍或參數(shù)最值的一種方法.對于不等式恒成立問題,如能成功分離參數(shù),將問題轉(zhuǎn)化為易于求解的函數(shù)值域或最值問題,那么就能極大地優(yōu)化解題程序,使解題過程簡潔明快.

4 變換主元,合理減元輕松解

例7(2017·湖州、衢州、麗水三地質(zhì)檢) 已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a,b,c ∈R),若存在實數(shù)a ∈[1,2],對任意x ∈[1,2],都有f(x)≤1,則7b+5c的最大值是____.

解析題目變量多,需要根據(jù)問題,分清主次.令g(a)=x2·a+bx+c,則g(a)是關(guān)于a的一次函數(shù),在[1,2]上單調(diào)遞增,得g(a)≤1 有解,于是g(a)min≤1?g(1)≤1,即x2+bx+c≤1 對任意x ∈[1,2]恒成立,令h(x)=x2+bx+c,則有

所以,當(dāng)b=－3,c=3 時,7b+5c取最大值－6.

例8已知函數(shù)f(x)=lnx.若不等式mf(x)≥a+x對所有m ∈[0,1],都成立,則實數(shù)a的取值范圍為____.

解析由題意得,a≤mlnx－x對所有的m ∈[0,1],x ∈都成立,令H(m)=lnx·m－x,m ∈[0,1],x ∈

所以－1≤lnx≤2,可 得即對恒成立,所以令g(x)=lnx－x則知函數(shù)g(x)在上是增函數(shù),在[1,e2]上是減函數(shù),所以g(x)min=g(e2=2－e2,故a≤2－e2.綜上得a≤－e2.

評注在日常解題中,我們總是習(xí)慣于將多元不等式轉(zhuǎn)換成x的不等式,視x為主元,這種思維定勢有時會增加問題解決的難度和復(fù)雜性.像例7,例8 含多元的不等式恒成立問題,就需要緊扣問題目標(biāo),先選擇某已知變量為主元,x為參數(shù),就可以“掙脫”多元束縛,按層次有效減元消元,使問題由復(fù)雜不斷走向簡單,直至迎刃而解.

5 構(gòu)造函數(shù),化歸最值容易解

例9當(dāng)x≥0 時,不等式ln(x+1)≥x－kx2恒成立,則實數(shù)k的最小值是____.

解析當(dāng)x=0 時,不等式對任意實數(shù)k恒成立,無法縮小k的范圍;那就分離變量,當(dāng)x＞0 時,可得恒成立,令求導(dǎo)后,發(fā)現(xiàn)導(dǎo)函數(shù)變得復(fù)雜,難以求g(x)的最大值,怎么辦?

直接構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(x+1)－x+kx2(x≥0),則由題意知x≥0 時,f(x)min≥0,首先f(1)=k－1+ln 2≥0,得k＞0.求導(dǎo)得,

(1)若2k－1＜0 即當(dāng)時,有f′(x)≤0,此時＜f(0)=0,與題意不符;

(2)若2k－1≥0 即當(dāng)x≥0 時,f′(x)≥0,此時恒有f(x)≥f(0)=0,符合題意,所以實數(shù)k的最小值是

例10已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx,

(2)存在實數(shù)k,使得對任意的實數(shù)x ∈[1,e],恒有f(x)≥(k+1)x+b成立,求k+b的最大值.

解析(1)略;(2)構(gòu)造函數(shù)

求導(dǎo),得

再求導(dǎo),得

則g′(x)在[1,e]單調(diào)遞增,所以

①當(dāng)k≤1 時,g′(x)≥0 恒成立,知g(x)在[1,e]單調(diào)遞增,則g(x)≥g(1)=－k－1,所以－k－1≥b ?b+k≤－1.

所以

可得

記

可得

所以,

綜上所述,k+b的最大值為－1.

評注函數(shù)、方程、不等式是數(shù)學(xué)中的“三駕馬車”,根據(jù)解決問題的需要,在函數(shù)、方程、不等式三者之間進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化,就能把尚未解決或難以解決的問題,逐步歸結(jié)為已經(jīng)解決或易于解決的問題.上述兩題的解法,就是通過構(gòu)造函數(shù),把不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)性質(zhì)研究的問題,通過討論函數(shù)的單調(diào)性,計算函數(shù)在給定區(qū)間上的最值,從而實現(xiàn)問題的解決.