高中生圓錐曲線的CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)解題能力相關(guān)性的研究

張玉娟，逄海姣，康寶林

(鞍山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,遼寧 鞍山 114007)

學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)直接影響著學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，是學(xué)生學(xué)習(xí)的必要條件[1].奧蘇貝爾曾說(shuō)過(guò)：“影響學(xué)習(xí)的獨(dú)一無(wú)二的要素就是個(gè)體早前學(xué)會(huì)的知識(shí)，教育者應(yīng)該掌握這一點(diǎn)，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)[2].” 因此，教師進(jìn)行有效教學(xué)的重要依據(jù)是學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，它是學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)、建構(gòu)更加完善的知識(shí)體系的基礎(chǔ).喻平教授2003年提出了CPFS結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)是由概念域(Concept Field)，概念系(Concept System)，命題域(Proposition Field)，命題系(Proposition System)所構(gòu)成的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，是數(shù)學(xué)概念、命題以及各概念命題之間的抽象關(guān)系所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維方法構(gòu)成的整體，CPFS是英文單詞Concept，Proposition、Field、System的首字母縮寫[3-7]，它對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、構(gòu)建終身學(xué)習(xí)的能力具有重要意義.

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，也是高考的重點(diǎn)考察內(nèi)容之一，它涉及的概念、性質(zhì)和公式比較多，且這部分知識(shí)與函數(shù)，方程、不等式等知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起，綜合性較強(qiáng)，學(xué)生要想學(xué)好圓錐曲線必須建構(gòu)完善的認(rèn)知結(jié)構(gòu).本文基于CPFS結(jié)構(gòu)理論對(duì)高中生圓錐曲線認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平，及其與解題能力的相關(guān)性進(jìn)行了測(cè)查和分析.

1 研究設(shè)計(jì)

1.1 研究對(duì)象

鞍山市某高級(jí)中學(xué)高二年級(jí)一班、八班以及十班，這3個(gè)班級(jí)的總學(xué)時(shí)數(shù)、課程安排、教學(xué)方式、教學(xué)內(nèi)容和課后作業(yè)等保持一致.本研究將其定為研究對(duì)象.

1.2 研究方法

1.2.1 文獻(xiàn)研究法 通過(guò)多種渠道查閱大量的有關(guān)CPFS結(jié)構(gòu)、圓錐曲線的文獻(xiàn)，并對(duì)所收集到的文獻(xiàn)進(jìn)行細(xì)致的研讀，從而了解國(guó)內(nèi)外關(guān)于CPFS結(jié)構(gòu)、圓錐曲線的研究現(xiàn)狀，為本研究提供切實(shí)可靠的理論支撐.

1.2.2 測(cè)試法 應(yīng)用喻平教授提出的測(cè)試CPFS結(jié)構(gòu)的5個(gè)維度：目標(biāo)回憶、辨認(rèn)推理、結(jié)點(diǎn)連線、等價(jià)推理、命題應(yīng)用，編制圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)測(cè)試卷.

由于高二年級(jí)下學(xué)期期中考試圓錐曲線部分的內(nèi)容考得比較多，因此本研究依據(jù)此次考試成績(jī)和具體答題情況來(lái)分析研究對(duì)象的圓錐曲線解題能力.

對(duì)高二年級(jí)期中測(cè)試卷和圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)測(cè)試卷的數(shù)據(jù)進(jìn)行收集和整理，分析高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)水平與數(shù)學(xué)解題能力的整體情況，以及高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)的優(yōu)良性與數(shù)學(xué)解題能力的相關(guān)性.

1.3 研究工具

1.3.1 測(cè)試卷的編制 應(yīng)用喻平教授提出的CPFS結(jié)構(gòu)的5個(gè)維度來(lái)編制高中生圓錐曲線的測(cè)試卷，對(duì)學(xué)生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)進(jìn)行測(cè)試.該測(cè)試卷共有5個(gè)題目，測(cè)試內(nèi)容為“選修2-1第二章圓錐曲線”，以下是測(cè)試卷的具體題目以及分值設(shè)置：

由于本問(wèn)題的解構(gòu)建圖基于成本矩陣構(gòu)建，每個(gè)元素均為一個(gè)節(jié)點(diǎn)，故將信息素τij置于每個(gè)節(jié)點(diǎn)上，代表第i個(gè)車組擔(dān)任第j個(gè)車次的期望程度。在初始時(shí)刻設(shè) τij(0)=K(K為常數(shù))。

題目1：圓錐曲線是什么？(可以從形成、定義、標(biāo)準(zhǔn)方程等方面進(jìn)行回答，答案可以不限于以上幾方面，但要力求將你對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)全面地表達(dá)出來(lái).)學(xué)生給出的答案完全正確記15分，意義相同的答案不重復(fù)計(jì)分.

題目3：你認(rèn)為圓錐曲線部分包括哪些內(nèi)容？請(qǐng)你用思維導(dǎo)圖表示這些內(nèi)容(知識(shí)).本題總計(jì)得分24分，根據(jù)被測(cè)試者的答題情況酌情給分.

題目4：直線與橢圓的位置關(guān)系，如何判定？計(jì)分方法：給出直線與橢圓的三種位置關(guān)系——相交、相切、相離，每給出一種情況得2分；給出判定方法即用△進(jìn)行判斷，每寫出一種情況得3分；聯(lián)立消參完成具體運(yùn)算求出△的具體表達(dá)式得5分，總計(jì)得分20分.

題目5：請(qǐng)編制一道圓錐曲線的題目，并寫出答題思路，不用詳細(xì)計(jì)算.計(jì)分方法：給出所編制的題目得10分；給出解題思路得15分，總計(jì)得分25分，根據(jù)被測(cè)試者所寫內(nèi)容酌情給分.

1.3.2 測(cè)試卷的信效度 本研究在測(cè)試卷形成以后，對(duì)鞍山市某高級(jí)中學(xué)高二年級(jí)七班的 40 位同學(xué)進(jìn)行測(cè)試.用SPSS軟件對(duì)圓錐曲線CPFS 結(jié)構(gòu)水平測(cè)試卷進(jìn)行信度分析，得出該測(cè)試卷的信度為 0.812，處于0.75～0.9之間，說(shuō)明測(cè)試卷具有良好的信度，反映了高中生圓錐曲線的CPFS 結(jié)構(gòu)是優(yōu)良的.

應(yīng)用KMO和Bartlett檢測(cè)對(duì)測(cè)試卷的結(jié)構(gòu)效度進(jìn)行檢測(cè)，檢測(cè)結(jié)構(gòu)的具體情況如表1所示.

表1 KMO與Bartlett 檢驗(yàn)

由表1可知,KMO的值為0.835，則大于0.7，且Bartlett球形檢驗(yàn)的顯著性接近于0，則小于0.01，表明該數(shù)據(jù)作探索性因素分析具有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義.說(shuō)明本測(cè)試卷能較好地反應(yīng)高中生圓錐曲線的CPFS 結(jié)構(gòu)的優(yōu)良性情況.

2 調(diào)查結(jié)果與分析

2.1 高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)的調(diào)查分析

表2 高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)水平測(cè)試平均分統(tǒng)計(jì)表

通過(guò)對(duì)上述數(shù)據(jù)分析，可以看出高中生圓錐曲線總體水平中等.絕大多數(shù)學(xué)生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)合格，少數(shù)學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)不合格，極少數(shù)學(xué)生CPFS結(jié)構(gòu)優(yōu)秀.此外，學(xué)生之間的CPFS結(jié)構(gòu)差異較大：有的學(xué)生無(wú)法準(zhǔn)確理解圓錐曲線的概念，對(duì)概念的形成以及圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程一無(wú)所知；有的同學(xué)對(duì)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)了解不全面.表3對(duì)高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)水平測(cè)試題目的平均分和總分進(jìn)行了分析.

表3 高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)水平測(cè)試題目分析

由表3可以看出，高中生目標(biāo)回憶型題目掌握較好，大多數(shù)學(xué)生能夠準(zhǔn)確答出圓錐曲線的概念；結(jié)合試卷的具體答題情況及表3可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的辨認(rèn)推理能力相對(duì)較好，但還存在不能完整敘述圓錐曲線的性質(zhì)，極容易忽略圓錐曲線的對(duì)稱性、取值范圍和離心率等性質(zhì)；不能從本質(zhì)上理解圓錐曲線的幾何性質(zhì)，有的學(xué)生對(duì)于命題的等價(jià)推導(dǎo)沒(méi)有思路等現(xiàn)象，這些都是相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)連線問(wèn)題.學(xué)生做綜合題時(shí)，不能選擇正確知識(shí)去解題；多數(shù)同學(xué)對(duì)等價(jià)推理和命題應(yīng)用掌握得不好，測(cè)試題5的答題情況說(shuō)明了這點(diǎn)：題目要求學(xué)生編制一道圓錐曲線習(xí)題并寫出答題思路，絕大多數(shù)同學(xué)只能利用最簡(jiǎn)單的圓錐曲線概念編制，這說(shuō)明學(xué)生圓錐曲線的命題域不夠完善.

2.1.2 高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)優(yōu)良性的評(píng)析 通過(guò)對(duì)圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)水平測(cè)試卷成績(jī)的分析可知，高中生關(guān)于圓錐曲線所建立的CPFS結(jié)構(gòu)整體情況處于中等水平.研究對(duì)象基本上都能夠理解圓錐曲線概念，并且對(duì)概念中的相關(guān)定義掌握得比較好，但對(duì)定義深層次的理解方面，很多同學(xué)產(chǎn)生了命題模糊、混淆的現(xiàn)象.這是因?yàn)檫@部分同學(xué)并沒(méi)有將所學(xué)的圓錐曲線知識(shí)內(nèi)化到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，不能很好地以圓錐曲線概念為核心進(jìn)行知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的構(gòu)建，學(xué)生的知識(shí)比較零散無(wú)法形成框架，從而無(wú)法構(gòu)成完善的概念域與命題域，因此在出現(xiàn)相關(guān)概念辨析的時(shí)候無(wú)法從龐大而又零碎的知識(shí)體系中尋找解題要素.

2.2 高中生圓錐曲線解題能力的調(diào)查分析

2.2.1 高中生圓錐曲線解題能力的整體情況 利用Excel和SPSS軟件對(duì)回收的120份有效高二下學(xué)期期中測(cè)試卷數(shù)據(jù)進(jìn)行整理與分析.對(duì)120名學(xué)生的期中測(cè)試卷進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，滿分120分的測(cè)試卷中，被測(cè)試者最高成績(jī)?yōu)?06分，最低成績(jī)38分，平均值M=79.395,標(biāo)準(zhǔn)差δ=17.069,說(shuō)明被測(cè)試者的平均成績(jī)?yōu)?9.395分，且成績(jī)波動(dòng)較大，如表4所示.以平均值M和標(biāo)準(zhǔn)差δ為參照，將被測(cè)試學(xué)生的解題能力分為3個(gè)等級(jí),其中,測(cè)試成績(jī)≥M+δ的學(xué)生解題能力優(yōu)秀,共16人，占總體人數(shù)的13.33%，M-δ≤測(cè)試成績(jī)

通過(guò)對(duì)上述數(shù)據(jù)分析，可以看出高中生圓錐曲線解題能力總體處在合格水平.通過(guò)調(diào)查數(shù)據(jù)以及具體的答題情況可以看出，高中生圓錐曲線解題能力一般，多數(shù)學(xué)生對(duì)于圓錐曲線概念的理解只停留在表層，沒(méi)有深挖函數(shù)概念的內(nèi)涵以及函數(shù)概念之間的聯(lián)系，尤其是考查圓錐曲線解題能力中的閱讀理解能力時(shí)，很多學(xué)生反應(yīng)看不懂題目，不知道要用圓錐曲線的哪一點(diǎn)知識(shí)來(lái)做這道題.對(duì)于一些概念的辨析問(wèn)題解答情況也不是很理想，多數(shù)同學(xué)沒(méi)意識(shí)到圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及圖像位置會(huì)隨著焦點(diǎn)位置的不同而有所不同，導(dǎo)致了丟解；還有部分學(xué)生忽略標(biāo)準(zhǔn)方程以及離心率的限定條件，導(dǎo)致題目解錯(cuò).

2.2.2 高中生圓錐曲線解題能力的評(píng)析 通過(guò)對(duì)高中生圓錐曲線解題能力的分析，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生仍然只能對(duì)書本上的概念進(jìn)行機(jī)械的記憶與簡(jiǎn)單的應(yīng)用，對(duì)于考查圓錐曲線概念深層次理解的綜合題目的解題能力非常差.究其原因是學(xué)生沒(méi)有能力對(duì)圓錐曲線的相關(guān)命題進(jìn)行內(nèi)化并形成系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).學(xué)生對(duì)于圓錐曲線知識(shí)的應(yīng)用能力較差，不能發(fā)散思維，從而難以高效地提取相應(yīng)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題.總的來(lái)說(shuō)是學(xué)生沒(méi)有形成相對(duì)完善的概念域與概念系以及命題域與命題系.

2.3 高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)解題能力的相關(guān)性分析

本研究運(yùn)用SPSS軟件，對(duì)120名研究對(duì)象的兩張測(cè)試卷進(jìn)行數(shù)據(jù)處理分析，得到相關(guān)系數(shù)如表5所示.從相關(guān)性分析的結(jié)果可以看到，圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)水平與解題能力的皮爾遜相關(guān)系數(shù)為0.822，對(duì)應(yīng)的顯著性檢驗(yàn)值為0.009，小于0.01,說(shuō)明在0.01的顯著水平上，二者呈顯著性正相關(guān)，個(gè)體圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)水平與解題能力密切相關(guān).

表5 高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)與解題能力的相關(guān)性分析

通過(guò)以上分析以及學(xué)生具體的答題情況可以看出，擁有完善的圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)的學(xué)生，其解題能力較強(qiáng)，遇到問(wèn)題時(shí)能夠快速正確地從自身認(rèn)知結(jié)構(gòu)中尋求相關(guān)的知識(shí)解決問(wèn)題.而圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)不完善的同學(xué)，其解題能力相對(duì)比較薄弱.同時(shí)解題能力較高的學(xué)生，其CPFS結(jié)構(gòu)較為完善；而解題能力相對(duì)比較薄弱的同學(xué)，其CPFS結(jié)構(gòu)也不完善.

3 結(jié)論與建議

3.1 結(jié)論

(1)高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)水平總體處于中等，達(dá)到優(yōu)秀水平的學(xué)生較少.

(2)高中生數(shù)學(xué)解題能力總體水平合格，達(dá)到優(yōu)秀水平的同學(xué)較少，且測(cè)試成績(jī)的波動(dòng)性較大.

(3)高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)解題能力呈明顯的正相關(guān).圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)水平越高，數(shù)學(xué)解題能力越強(qiáng).

3.2 建議

3.2.1 關(guān)于完善高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)的建議

(1)在圓錐曲線相關(guān)概念的教學(xué)中，首先，讓學(xué)生經(jīng)歷圓錐曲線的形成以及圓錐曲線概念的形成過(guò)程.鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手演示，進(jìn)行概念的總結(jié)與提煉；其次，適當(dāng)安排正反例子，加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的理解，從不同方面揭示概念的內(nèi)涵，同時(shí)要給學(xué)生進(jìn)行科學(xué)且及時(shí)的總結(jié).最后，通過(guò)定義的推導(dǎo)，讓學(xué)生理解標(biāo)準(zhǔn)方程的實(shí)質(zhì)以及其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，進(jìn)而讓學(xué)生通過(guò)對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程的認(rèn)識(shí)去學(xué)習(xí)圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì).

(2)在圓錐曲線相關(guān)命題的教學(xué)中，首先，在命題的獲得階段，教師要了解學(xué)生相關(guān)知識(shí)的命題系、命題域，然后根據(jù)學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)情況，采用不同的命題導(dǎo)入方式，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)辨認(rèn)出新舊知識(shí)的關(guān)系，對(duì)新舊知識(shí)進(jìn)行重組，形成更加完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)；其次，在命題的證明階段，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生，主動(dòng)理解和掌握命題證明的過(guò)程；最后，在命題的應(yīng)用階段，要培養(yǎng)學(xué)生模式識(shí)別、策略選擇、激活擴(kuò)散等一系列的信息加工的能力.教師要根據(jù)學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu)讓學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)木毩?xí)，只有這樣，學(xué)生才能不斷地對(duì)命題進(jìn)行提取和重構(gòu)，建立起命題域、命題系，從而形成完善的CPFS結(jié)構(gòu).

3.2.2 關(guān)于提高高中生數(shù)學(xué)解題能力的建議 研究結(jié)果顯示，高中生圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)水平與數(shù)學(xué)解題能力呈明顯的正相關(guān)關(guān)系.圓錐曲線CPFS結(jié)構(gòu)水平越高，數(shù)學(xué)解題能力越強(qiáng).為此，要想提高學(xué)生的解題能力一定要注重完善學(xué)生的CPFS結(jié)構(gòu).教師要注重強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)牧?xí)題訓(xùn)練.同時(shí)，教師應(yīng)加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的滲透與講解，幫助學(xué)生熟練運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生做一些較難習(xí)題的練習(xí).在整個(gè)過(guò)程中教師需要對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題作出精心的選擇與設(shè)計(jì)，并注意學(xué)生間的差異性，進(jìn)行因材施教.