冪指函數(shù)的若干問題研究

楊方圓 韓彬玲

摘要：本文利用對(duì)冪指函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行了探討，總結(jié)得出了冪指函數(shù)的三種求極限的方法，四種求導(dǎo)數(shù)的方法以及冪指函數(shù)的積分定理。

關(guān)鍵詞：冪指函數(shù);極限;微分;積分

一、冪指函數(shù)的求極限問題

由于，因此有，假設(shè)極限存在。那么求解就能轉(zhuǎn)化為求.

若，此時(shí)冪指函數(shù)的極限類型為確定式，有，其極限求解較為簡(jiǎn)單，不做過多探討，本文主要研究00型、∞0型和1∞型三種不確定式極限的求解問題。

（一）等價(jià)無(wú)窮小代換定理

1.冪指函數(shù)00的型極限

定義1.1設(shè)f（x）和g（x）在U0（x0）上分別有定義，f（x）、g（x）均是變化過程x→x0時(shí)的無(wú)窮小量，f（x）>0，即可將稱為00型極限。

引理1.1設(shè)f（x）、g（x）、f1（x）、g1（x）在U0（x0）上分別有定義，且均是變化過程x→x0時(shí)的無(wú)窮小量，其中f（x）>0、f1（x）>0。如果f（x）～f1（x）、g（x）～g1（x），并且，則。

1.1冪指函數(shù)的∞0型極限

定義1.2設(shè)f（x）和g（x）在U0（x0）上分別有定義，f（x）、g（x）均是變化過程x→x0時(shí)的無(wú)窮小量，且有f（x）>0，即∞0可將型極限的冪指函數(shù)表示成。

引理1.2設(shè)f（x）、g（x）、f1（x）、g1（x）在U0（x0）上有定義，且均是變化過程x→x0時(shí)無(wú)窮小量，其中f（x）>0、f1（x）>0.如果有f（x）～f1（x）、g（x）～g1（x），且，則有。

1.2冪指函數(shù)1∞型極限

定義1.3設(shè)f（x）和g（x）在U0（x0）上分別有定義，f（x）、g（x）均是變化過程x→x0時(shí)的無(wú)窮小量，且有f（x）>0，即可將1∞型極限的冪指函數(shù)表示成，此時(shí)g（x）≠0。

引理1.3設(shè)f（x）、g（x）、f1（x）、g1（x）在U0（x0）上分別有定義，且均是變化過程x→x0時(shí)的無(wú)窮小量，，其中f（x）>0、f1（x）>0、g（x）≠0、g1（x）≠0。如果f（x）～f1（x）、g（x）～g1（x），且，則有。

2.洛必達(dá)法則

在冪指函數(shù)不確定式求極限中，可以將冪指函數(shù)化為以e為底的指數(shù)函數(shù)，利用洛必達(dá)法則求其指數(shù)極限，進(jìn)而得出冪指函數(shù)極限，有：

（Ⅰ）00型：如果，

則有。

（Ⅱ）∞0型：如果，

則有。

（Ⅲ）1∞型：如果，

則有。

3.冪指函數(shù)型重要極限

（1）（其中）;

（2）（其中）。

4.冪指函數(shù)的極限舉例

例1.1求極限。

解：該求極限問題為冪指函數(shù)的00型不確定式極限。

，令y=xx，等式兩端同時(shí)取對(duì)數(shù)，有;

應(yīng)用洛必達(dá)法則;

因此=e0=1。

二、冪指函數(shù)求微分問題

大學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)于冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解內(nèi)容很多，其求解方法可總結(jié)為四種，分別為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、指數(shù)求導(dǎo)法、多元函數(shù)求微分法和疊加法。

（一）對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

（1）y=f（x）g（x）兩邊取對(duì)數(shù)得lny=g（x）lnf（x）;

（2）等號(hào)兩邊對(duì)x求導(dǎo)：;

（3）移項(xiàng)：（2.1）

（二）指數(shù)求導(dǎo)法

（1）y=f（x）g（x）=eg（x）lnf（x）;

（2）根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可得：

y'=;

（3）對(duì)上式化簡(jiǎn)計(jì)算即可得（2.1）。

（三）多元函數(shù)微分法

y=f（x）g（x）引入中間變量s和t，而中間變量依賴同一變量x，令s=f（x），t=g（x），則可以將冪指函數(shù)y=f（x）g（x）轉(zhuǎn)化成y=u（s，t）=st，這時(shí)可按照多元函數(shù)求解微分的方法進(jìn)行求解冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

根據(jù)二元復(fù)合函數(shù)的微分公式有

化簡(jiǎn)即可求得（2.1）。

（四）疊加法

對(duì)前面求導(dǎo)結(jié)果進(jìn)行整理運(yùn)算有：

觀察發(fā)現(xiàn)，冪指函數(shù)求導(dǎo)時(shí)可將其分別看作指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)求導(dǎo)，再將求導(dǎo)數(shù)結(jié)果進(jìn)行相加。

（五）冪指函數(shù)求導(dǎo)舉例

例2.1求y=（lnx）ex的導(dǎo)數(shù)

解一：利用取對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

取對(duì)數(shù)，有l(wèi)ny=exlnlnx，再對(duì)x進(jìn)行求導(dǎo)，有

移項(xiàng)：。

解二：指數(shù)求導(dǎo)法（略）

三、冪指函數(shù)的求積分問題

關(guān)于冪指函數(shù)的積分問題，高等數(shù)學(xué)中并沒有對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)而具體的研究，也只是在一些考研習(xí)題中才可能會(huì)應(yīng)用到。本文對(duì)冪指函數(shù)的積分求解以及積分性質(zhì)進(jìn)一步分析，并加以例題便于大家去理解應(yīng)用。

（一）冪指函數(shù)積分的基本理論

在研究?jī)缰负瘮?shù)的時(shí)候，利用前面求導(dǎo)得到的結(jié)論進(jìn)行反推：

對(duì)等式兩端求其不定積分，有

定理3.1如果f（x）和g（x）均為可微函數(shù)，且有f（x）>0，u（x）=（g（x）lnf（x））'，

則∫f（x）g（x）（g（x）lnf（x））'dx=f（x）g（x）+C（其中C為任何常數(shù)）（3.1）

（二）冪指函數(shù)的積分舉例

例3.1求∫fxx（1+x+xlnx）dx。

解：∫fxx（1+x+xlnx）dx可以化簡(jiǎn)成為，又相當(dāng)于。

的某個(gè)原函數(shù)為（x+1）lnx事實(shí)上，;

所以：∫xx（1=x+xlnx）dx=xx+1+C（其中C為任何常數(shù)）。

結(jié)語(yǔ)

以上對(duì)冪指函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行了研究討論，通過對(duì)冪指函數(shù)極限、微分、積分的性質(zhì)及其求解方法進(jìn)行整理分析，更好地認(rèn)識(shí)了冪指函數(shù)，掌握了一些較為便捷的求解方法與技巧，希望會(huì)對(duì)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有一定的幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]劉元宗，黃誠(chéng).一個(gè)求冪指函數(shù)的極限定理及其應(yīng)用[J].新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，33（3），65-66.

[2]李宏杰.冪指函數(shù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法探究[J].科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2015，（14），20-23.