初中數(shù)學(xué)例題功能的再挖掘與探究

陳斌

摘 要：以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》為依據(jù)，對(duì)浙教版初中數(shù)學(xué)的例題、習(xí)題的傳統(tǒng)功能進(jìn)行再挖掘與探究。結(jié)合教學(xué)實(shí)踐中具體的案例，運(yùn)用教材例題再挖掘的策略，從例題示范功能的再挖掘、方法與思維啟迪的再挖掘和育人功能的再挖掘等方面尋求例題的深入剖析，以發(fā)揮其潛能。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué);教材例題;再挖掘

教材例題是經(jīng)過(guò)教育專(zhuān)家隊(duì)伍對(duì)教學(xué)內(nèi)容的系統(tǒng)研究、反復(fù)挖掘、系統(tǒng)探究的基礎(chǔ)上設(shè)置的。教師是教學(xué)活動(dòng)的實(shí)施者、引導(dǎo)者和促進(jìn)者角色，教師要根據(jù)教材的特點(diǎn)和教材例題的設(shè)置，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，從學(xué)生的興趣出發(fā)。結(jié)合學(xué)生的興趣和教材的特點(diǎn)，創(chuàng)設(shè)能有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)參與，促進(jìn)學(xué)生的主動(dòng)感知和體驗(yàn)的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生在情境體驗(yàn)的驅(qū)動(dòng)下，展開(kāi)對(duì)例題情境的充分體驗(yàn)和感知，在對(duì)例題的充分觀察、深入思考、深刻挖掘的過(guò)程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)點(diǎn)和系統(tǒng)等的科學(xué)理解和把握。

一、教材例題的傳統(tǒng)功能探究

（一）例題的原有功能

1.示范功能

例題的作用在于示范，這個(gè)示范既是教師知識(shí)的落實(shí)，也是學(xué)生解決問(wèn)題策略的范例，是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)有效開(kāi)展的載體，是某課堂核心知識(shí)內(nèi)容的集中體現(xiàn)。結(jié)合新課程標(biāo)準(zhǔn)，初中數(shù)學(xué)的例題示范功能主要是理解和運(yùn)用新知，鞏固概念、定理，解決問(wèn)題的示范;幫助學(xué)生掌握解決這類(lèi)問(wèn)題的基本流程，模仿解題，達(dá)到解題格式的示范作用。

2.方法指導(dǎo)和思維的啟迪

數(shù)學(xué)例題的功能在于方法的指導(dǎo)和思維的啟迪。在教學(xué)中，我們要充分理解教材，理解例題設(shè)置的目的，有深度地學(xué)習(xí)。在解決“例題”的過(guò)程中，教師要根據(jù)知識(shí)要點(diǎn)來(lái)設(shè)置引導(dǎo)問(wèn)題，通過(guò)觀察、類(lèi)比、猜想、歸納等活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生形成解決問(wèn)題的方法和策略。

3.育人功能的有效滲透

情感和價(jià)值觀是浙教版數(shù)學(xué)教材的一個(gè)重要目標(biāo)維度，因此，如何通過(guò)例題的教學(xué)來(lái)挖掘育人的功能是其一項(xiàng)重要任務(wù)。在教學(xué)中，例題教學(xué)體現(xiàn)出來(lái)的思維能力有助于學(xué)生理性思維能力的培養(yǎng)，統(tǒng)籌解決問(wèn)題;例題解決時(shí)的類(lèi)比思想、分類(lèi)討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想的歸納，有助于學(xué)生辯證唯物主義思想的滲透與形成;例題講解時(shí)充分挖掘數(shù)學(xué)的背景知識(shí)、發(fā)展由來(lái)，可以培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)情懷。

（二）教材原有例題的功能尚有待挖掘

1.教材中的例題示范功能的拓展還有待加強(qiáng)

在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，在充分理解教材的基礎(chǔ)上明確例題設(shè)置的目的，理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生，將數(shù)學(xué)核心思想有效落實(shí)。我們要培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維能力，舉一反三，有效地掌握知識(shí)。

2.在方法和思維啟迪上的功能有待挖掘

特別是通過(guò)一類(lèi)例題的解決，讓學(xué)生解題從“知其然”到“知其所以然”再到“何有知其所以然”。幾何例題怎么教、怎么解，代數(shù)問(wèn)題怎么教、怎么解。

3.例題教學(xué)的育人價(jià)值有待挖掘

在教學(xué)過(guò)程中，我們只注重問(wèn)題的背景研究，而忽略了我們的探究精神。

二、教材例題功能再挖掘的策略

數(shù)學(xué)知識(shí)既不是教出來(lái)的，也不是學(xué)出來(lái)的，而是研究出來(lái)的。數(shù)學(xué)活動(dòng)是經(jīng)驗(yàn)積累和反思的過(guò)程。我們可以從例題與習(xí)題的條件和結(jié)論、題目背景、題目的解決問(wèn)題的方法、核心素養(yǎng)落實(shí)的手段等方面進(jìn)行再挖掘。

策略一：情境創(chuàng)設(shè)生活化

在教學(xué)中，我們的例題設(shè)置應(yīng)建立在學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)之上，通過(guò)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在生活中的價(jià)值，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。我們可以根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，將具體問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，利用所學(xué)的知識(shí)去解決問(wèn)題，以達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

策略二：解題思路多元化

我們?cè)诮虒W(xué)中，最后的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生知道“知其所以然”。通過(guò)類(lèi)比教學(xué)，多角度分析思路，對(duì)解題一般方法、思維技巧進(jìn)行再探究。在實(shí)際的教學(xué)中，學(xué)生因?yàn)檎J(rèn)知規(guī)律的束縛，導(dǎo)致一些問(wèn)題只能按部就班去解決，沒(méi)有真正做到一題多解，最終指向多題一解路徑。

策略三：自我編題促成長(zhǎng)

在教師講解例題后，學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中，結(jié)合自我的認(rèn)知，完成相應(yīng)的例題和習(xí)題的反思，在這一過(guò)程中，學(xué)生往往根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)解決時(shí)的方法等，設(shè)計(jì)出相應(yīng)的題目。這樣學(xué)生就可以舉一反三，提高學(xué)習(xí)的效率。

三、教材例題功能的再挖掘

1.示范功能的再挖掘

教材例題的示范功能不僅是解題格式的示范，更重要的是解題方法與思維的示范，通過(guò)一個(gè)題的示范掌握一類(lèi)題的解法。

【案例】已知：如下圖，在Rt△CAB和Rt△ECD中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，且∠ACE=∠B=∠D=90°。求證：△CAB∽△ECD。

在△ABC和△CDE中

解析：∠B=∠D=90°∠ACB=∠CED（同角的余角相等）

∴△CAB∽△ECD

學(xué)生在解題過(guò)程中，教師在板書(shū)示范的過(guò)程中可以概括出一般特征“一線三等角”問(wèn)題。從相似三角形的判定“兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”這一判定入手，進(jìn)行思維的示范。改變條件，將直角變成一般角度時(shí)該如何解決問(wèn)題。

如下圖，在△ABC和△CDE中，點(diǎn)D在邊BC的延長(zhǎng)線上，∠ACE=∠B=∠D，則△ABC∽△CDE。

在△ABC和△CDE中

解析：∠B=∠D∠ACB=∠CED（三角形的內(nèi)角和為180°）

∴△ABC∽△CDE

這樣的教學(xué)，從特殊到一般，理解問(wèn)題的本質(zhì)，幫助學(xué)生從“知其然”到“知其所以然”和“何以知其所以然”的跨越，從知識(shí)的鞏固、解題格式的示范、方法的歸納等方面進(jìn)行了示范，有效建立了解決幾何問(wèn)題的套路，即幾何教類(lèi)比。

2.解題方法與思維的啟迪拓展再挖掘

【案例】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分別以a，b，c三邊為邊做正方形，求證：S2+S3=S1。

解析：證明：∵S2=b2，S3=a2，S1=c2

根據(jù)勾股定理：a2+b2=c2

∴S2+S3=S1

變式2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分別以a，b，c三邊為邊做正三角形，那么有S2+S3=S1

在這一例題的講解中，教師從勾股定理入手，進(jìn)行解題方法與思維啟迪的再挖掘。一是讓學(xué)生從直角三角形入手，向外構(gòu)造圖形，探索同一圖形為背景下圖形之間的關(guān)系，二是改變圖形背景，探索不同背景下圖形之間面積的關(guān)系。從不同的層面讓學(xué)生經(jīng)歷體驗(yàn)，讓學(xué)生感受圖形的變化，而圖形變化的本質(zhì)是勾股定理。特別值得一提的是在學(xué)習(xí)共同體下，學(xué)生相互的交流溝通，有效促進(jìn)了問(wèn)題的解決，歸納出在復(fù)雜圖形下如何探究，為學(xué)生自我體驗(yàn)和學(xué)習(xí)共同體下的合作體驗(yàn)提供范式。

教師在教學(xué)中，根據(jù)例題解決問(wèn)題思維的啟迪，幫助學(xué)生自我設(shè)計(jì)題目。學(xué)生根據(jù)實(shí)際設(shè)計(jì)了如下題目：

類(lèi)型1：改變向外拓圖形，解決問(wèn)題的思維不變

已知：如下圖，直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，分別以a，b，c為直徑做半圓（等邊三角形、等腰直角三角形等），求證：S2+S3=S1

【變式】公元前約400年，古希臘的希波克拉底研究了他自己畫(huà)的圖形，得出一個(gè)歷史性的數(shù)學(xué)結(jié)論。你能說(shuō)出這個(gè)結(jié)論并說(shuō)明理由嗎？

類(lèi)型2：探索同一圖形為背景下的圖形之間的關(guān)系。

如下圖，是一些由正方形和直角三角形拼合成的圖形，其中最大的正方形的邊長(zhǎng)為7cm，你能求出正方形A、B、C、D的面積之和嗎？請(qǐng)?jiān)囈辉嚒?/p>

特別值得肯定的是，一些學(xué)生在理解知識(shí)本質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過(guò)幾何畫(huà)板設(shè)計(jì)了美麗的幾何圖形，感受數(shù)學(xué)之美，激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣。

我們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中，可以利用各種學(xué)習(xí)工具，通過(guò)“實(shí)踐—分享—展示—評(píng)價(jià)—整合”五個(gè)循環(huán)式的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生在理解例題的方法和思維的基礎(chǔ)上，自我設(shè)計(jì)題目，從而對(duì)例題進(jìn)行深入的再挖掘。教師在這樣的課堂上要有豐富有趣的活動(dòng)形式，激發(fā)學(xué)生更靈活有效的學(xué)習(xí)方式，不斷優(yōu)化學(xué)習(xí)內(nèi)容，發(fā)展思維，發(fā)揮潛能，同時(shí)要及時(shí)進(jìn)行總結(jié)評(píng)價(jià)，對(duì)學(xué)生給予積極正面的評(píng)價(jià)，讓學(xué)生感受成果的同時(shí)體驗(yàn)到自己的價(jià)值。最后，學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)體會(huì)，暢所欲言自己的切身感受與實(shí)際收獲，從勾股定理到圖形面積關(guān)系的拓展練習(xí)中感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的魅力，體會(huì)古代數(shù)學(xué)的文化成就。

3.育人功能的再挖掘

【案例】1：也是一個(gè)很有趣的比，已知線段AB（如下圖），用直尺和圓規(guī)作AB上的一點(diǎn)P，使AP ∶ AB=1∶。

在講解之后，我們要充分挖掘例題的育人價(jià)值。數(shù)學(xué)題目的育人價(jià)值在于自我探究精神的挖掘。我布置了兩個(gè)實(shí)踐作業(yè)：通過(guò)查找互聯(lián)網(wǎng)、文獻(xiàn)等方式去查找有趣的比，寫(xiě)一篇科學(xué)小論文，并分享交流。

在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)小組合作，去查詢(xún)數(shù)學(xué)中的知識(shí)，并了解這些有趣的比有什么作用。在這一過(guò)程不僅讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的博大精深，也培養(yǎng)了科學(xué)的探究精神。在合作中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，在交流中解決問(wèn)題，在分享中感受數(shù)學(xué)樂(lè)趣，真正培養(yǎng)孩子們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

四、小結(jié)

荷蘭數(shù)學(xué)家弗賴(lài)登塔爾說(shuō)，數(shù)學(xué)教學(xué)方法的核心是學(xué)生通過(guò)課堂經(jīng)驗(yàn)，對(duì)已有的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行“再創(chuàng)造”的過(guò)程。教師在教學(xué)過(guò)程中，要立足課本例題，從學(xué)生的認(rèn)知水平、思維角度充分挖掘例題的功能，以期發(fā)揮例題功能的最大優(yōu)勢(shì)。

1.例題功能在于挖掘，使數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)更加有效，從而促進(jìn)核心素養(yǎng)落地

在教學(xué)中，我們對(duì)例題解決問(wèn)題方法的示范，從類(lèi)比的角度多題歸一解，從例題方法與思維的啟迪中培養(yǎng)學(xué)生的探究精神，從例題的育人功能中激發(fā)學(xué)生研究數(shù)學(xué)的精神。這樣的過(guò)程，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)有了深入的理解，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2.例題功能的再挖掘，需要教師具有更高的素質(zhì)

我們?cè)诮虒W(xué)中，教師要充分去研究教材、比較教材，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)，有效去挖掘例題最終指向。同時(shí)也要學(xué)習(xí)一些先進(jìn)的前沿知識(shí)，在教學(xué)中滲透人文素養(yǎng)，探究方式與方法，讓數(shù)學(xué)課堂“活”起來(lái)。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄭昌喜，劉慶萌.充分挖掘典型例題的教學(xué)功能[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2019（8）.

[2]阮波江.有效利用課堂例題、習(xí)題教學(xué)提升學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（5）.

編輯 魯翠紅