三角函數概念教學

【摘 要】 三角函數作為高中一個重要的知識點，不僅是重要的周期函數模型還是解析幾何中的重要工具.三角函數的概念定義有兩種，這兩種定義可以由三角形相似原理聯(lián)系起來，任意一種都有它的優(yōu)點也有不足，我們不能單純批判或拋棄其中任意一種.為了幫助學生建立更加完善的知識網，培養(yǎng)學生數學核心素養(yǎng)，教師應該合理安排教學內容順序，使得兩種定義方式發(fā)揮其最大作用.

【關鍵詞】 三角函數;高中概念教學;數學核心素養(yǎng)

1 問題提出

三角函數是將角度與線段長度比值聯(lián)系起來的橋梁，使得我們對角度能夠進行更加深刻的學習研究以及應用.在數學不斷發(fā)展的過程中，由于應用和研究思路等各種原因影響，三角函數的定義方式演化出了兩種，分別是單位圓定義法和終邊定義法.在學術界內關于高中三角函數到底應該采用那種定義形式的爭議一直沒有定論，在高中數學人教版課程教材中，這一點體現(xiàn)的十分明顯，在人教A版教材中采用的是單位圓定義法，在人教B版教材中采用的是終邊定義法.那我們究竟該如何抉擇，二者真的有優(yōu)劣之分嗎？

2 兩種定義方式

這兩種定義法各有其支持者，他們各持己見，各自都在為自己的觀點出謀劃策.章建躍教授曾談到以單位圓作為載體來講授以上知識點的優(yōu)越性，即任意角α的終邊與單位圓的交點P（x，y）唯一確定，正弦函數、余弦函數中自變量與函數值之間的對應關系為：角α（弧度）對應于點P的縱坐標y為正弦值，角α（弧度）對應于點P的橫坐標x為余弦值，這可以得到非常清楚、明確并且很簡潔的表示.由于單位圓上易于動態(tài)演示，促進學生將靜態(tài)的角度想象成動態(tài)的角度變化，這樣就易于學生學習三角函數的周期性、對稱性、單調性等性質.由于三角恒等變換跟角度變換緊密相關，角度的變換實質上是任意角α終旋轉的結果，所以單位圓上動態(tài)的過程也利于三角恒等變換的學習.終邊定義法的支持者大多是一線教師，他們的認為單位圓定義法的不足之處在于缺乏一般性.認真思考一下為什么教師們會有這樣的觀點，主要是由于在三角函數定義的上一節(jié)是“弧度制”，其中對于任意角所對應的圓的半徑不一定是單位1.

總結一下兩個陣營的看法，終邊定義法的支持者認為：單位圓定義法有兩大突出不足，其一就是缺乏一般性，由于其規(guī)定交點為終邊與單位圓的交點，即要求點P（x，y）需要滿足x2+y2=1，這樣的規(guī)定就使得該定義方式缺少了數學定義一般性的要求，而終邊定義法在這一方面更具優(yōu)越性，它需要的只是終邊上的任意點P，將一般性展現(xiàn)的淋漓盡致;其二是認為單位圓定義法不利于解題，由于其是在單位圓上進行的定義，使得學生在解題時若遇到半徑不那么特殊的情況時就容易出現(xiàn)遷移偏差，例如學生在遇到點P（3，4）時，按照單位圓定義法的思路應該先把P點變?yōu)镻（35，45）再進行三角函數的求解，無形之中增加了解題步驟，也就增大了犯錯幾率.而單位圓定義法的支持者認為：終邊定義法的不足在于其幾何含義不夠清晰，沒能清楚表達“角的數集到比值數集的對應”這樣的函數觀念，而且由于不能很好地利用數形結合，所以也不利于學生學習周期性等函數性質，單位圓定義法需要緊扣單位圓圖形進行后續(xù)學習，如果結合單位圓上點的動態(tài)運動過程將更有利于學生理解周期性，單調性，對稱性;還有一點就是終邊定義法不利于學生對弧度制的學習，不利于對弧度制引入必要性的理解.

3 深度認識兩種定義方式

無論是采用終邊定義法還是單位圓定義法，在引入三角函數概念之前都會先給學生灌輸弧度制思想，即率先將學生對于角度的以往認知（局限于360°內和一些熟悉的特殊角度），拓寬到了整個實數范圍內，并且初步涉及了周期性，即終邊重合的角度不一定相等，中間可能差了好幾個周期.在這樣的認知基礎之上，終邊定義法和單位圓定義法雖各有不足，但又各有所長，二者看似是兩種定義方式，本質上卻是一樣的.

二者同樣都是以終邊上的點為基礎來進行定義，單位圓定義法是以終邊與單位圓的交點為基礎，終邊定義法雖說是以終邊上的任意點為基礎，但是實則是以終邊與半徑r為x2+y2的圓的交點為基礎，其實只是將單位圓的半徑擴大了x2+y2倍，如下圖3所示：

由于二者對三角函數值的定義是比值形式，由三角形的相似性可知這樣的成倍擴大或縮小并不會對三角函數值有影響，終邊上任意點都可以通過三角形相似對應到單位圓上，單位圓上的點也可以通過三角形相似推廣到任意點，即三角函數值和終邊上所取點的位置無關，從這個角度來說這兩種定義形式是一致的.由于二者可以以三角形相似為橋梁進行相互轉換，那么二者的優(yōu)點都是互通的.終邊定義法與單位圓定義法一樣都具有清晰的幾何含義，也可以很好利用數形結合幫助學生學習函數性質.同理而言，單位圓定義法中規(guī)定的終邊與單位圓的交點也具有一般性.

為了引導學生能構建更加完善的知識網絡，從而達到高中階段的學習目標，我們可以嘗試將兩種方法都傳授給學生，按照一定的講授順序，承上啟下，讓兩種思想各司其職互相遷移，從而開闊學生的思維.

筆者認為教師對任一數學概念的講授更應該著眼于全局，對任一概念的講授應該利于學生整體知識網絡的建構.三角函數概念建立的前一節(jié)是弧度制，后一節(jié)是三角函數的性質與圖像.弧度制的核心任務是要學生學會任意角度與弧度的互化，即強調了任意性，最常見的一種練習題類型就是：已知半徑為120mm的圓上的一條弧長為144mm，求此弧所對圓心角的弧度數與角度數.即此時學生意識中任意角的終邊上的點到圓心的距離（半徑）并不都是1，而是任意正實數.如果在這樣的認知基礎上，在講授三角函數定義時突然規(guī)定用單位圓來定義，許多學生或許不能理解為什么一定要是單位圓.三角函數概念建立的后一節(jié)是三角函數的性質，如果仍然堅持緊隨終邊定義法，以任意點P（x，y）的正弦sinα=yx2+y2，余弦cosα=xx2+y2來講解函數的周期性、單調性、對稱性等性質，由于計算量大大增加，若不能依靠類似于幾何畫板這樣的技術軟件，單靠學生計算來探究是很難抽象概括出這些函數性質，若完全依賴于技術軟件，缺乏活動探究經驗的學生又如何深刻體會這些函數性質，從而達到概念定理靈活應用呢.根據以上分析，我們可以總結出：單位圓定義法不利于承前，終邊定義法不利于啟后.

哲學上認為存在即合理，這兩種定義方式能經歷歷史長河大浪淘沙傳承至今，必定是因為它們有他們的存在必要性，我們不應該隨意批判其中任意一種定義方式.要使得學生能流暢學習所有內容，我們最好的選擇就是結合兩種定義法，高效利用二者的長處，使得學生對三角函數能有更好的認識，從而提高解決問題的能力.

4 總結

建議的講解順序是先講終邊定義法，然后以任意點P（x，y）到原點的距離x2+y2為半徑以原點為圓心構造圓，隨后畫出單位圓，通過三角形相似告訴學生終邊上的任意點都可以對應到單位圓上，由此引入單位圓定義法.這樣的講解順序既結合了終邊定義法承前和單位圓定義法啟后的優(yōu)點，同時又結合兩種定義的特長，每一個知識點的引入對學生來說都建立在已有的認知基礎之上，就不會顯得突兀.充分利用數形結合，為下一節(jié)函數性質的學習埋下伏筆，在將終邊上任意點對應到單位圓上的過程中，充分鍛煉了學生的邏輯推理能力，同時也增加了學生的學科活動經驗.

根據《普通高中數學課程標準（2017年版）》，教師的課程教學需要擔負起對學生數學學科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)責任，包括培養(yǎng)學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析這六大核心素養(yǎng).從另一個角度來說就是要構建并提高學生的“四基”和“四能”（“四基”指的是基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗，“四能”指的是發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力）.其中對三角函數這一知識塊的要求是：建立一般三角函數的概念，體會引入弧度制的必要性;用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的周期性、奇偶性、單調性和最大（?。┲档刃再|;探索和研究三角函數之間的一些恒等關系;利用三角函數構建數學模型，解決實際問題.即當下我們認為三角函數這一章節(jié)的主要學習任務是：弧度制、三角函數的概念及函數特性、三角函數的恒等變換.

為了完成這些任務，讓學生達到自我提升的目標，教師應該以大局為重，思考如何優(yōu)化課程才能幫助學生更好地自主建構更完善的知識網絡.李邦河院士曾說“數學根本上是玩概念的”，即數學的根本在于對概念的認識、理解、記憶、應用，只有幫助學生建立起各知識點間的聯(lián)系，才能幫助學生理解數學，從而提高數學遷移能力、數學解題能力等，最終提高數學能力.

作者簡介 楊彬（1996—），女，四川人，首都師范大學數學教育在讀研究生;研究方向：中小學數學教育.