代數(shù)螺線在渦旋壓縮機(jī)上應(yīng)用分析

李冬元

廣東美的暖通設(shè)備有限公司 廣東順德 528311

1 引言

渦旋壓縮機(jī)是一種容積式流體機(jī)械，是被公認(rèn)為技術(shù)先進(jìn)的第三代壓縮機(jī)。渦旋壓縮機(jī)因其結(jié)構(gòu)簡單、體積小、重量輕、噪音低、效率高、受力平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)被廣泛應(yīng)用在空調(diào)系統(tǒng)、動力工程及交通運(yùn)輸?shù)阮I(lǐng)域。

渦旋壓縮機(jī)型線設(shè)計(jì)是一項(xiàng)核心技術(shù)，其直接影響到壓縮機(jī)性能及可靠性。目前，行業(yè)內(nèi)多數(shù)廠家渦旋型線都是采用設(shè)計(jì)技術(shù)及加工工藝較成熟的圓漸開線形式的渦旋型線。根據(jù)目前的發(fā)展趨勢可知，隨著渦旋壓縮機(jī)應(yīng)用領(lǐng)域的拓展，高壓縮比、大排量和高能效的渦旋壓縮機(jī)研究成為渦旋機(jī)械領(lǐng)域的重要方向。對于圓漸開線型的渦旋，為滿足高壓縮比、大排量的要求，不得不靠增加渦旋齒的圈數(shù)、齒高來實(shí)現(xiàn)，增加了加工成本和可靠性風(fēng)險(xiǎn)。因此新型線的設(shè)計(jì)是未來渦旋壓縮機(jī)研究的重點(diǎn)，日本日立公司香曾我部[1]1994年提出以代數(shù)螺線為基準(zhǔn)線，采用包絡(luò)法形成的變壁厚型線在小型化、高能效方面具有一定優(yōu)勢。2000年劉楊娟[2]對日立型線進(jìn)行了詳細(xì)解讀及分析，并采用法向等距線方法生成渦旋型線。2003年邵兵[3]等人利用微分幾何共軛曲線及法向等距線理論，證明了代數(shù)螺線作為渦旋壓縮機(jī)型線的可行性。近年，相關(guān)理論研究及產(chǎn)品應(yīng)用較少，本文通過幾何推導(dǎo)可以更加容易地理解渦旋型線及壁厚等關(guān)鍵參數(shù)的含義，并通過實(shí)際產(chǎn)品對比得出代數(shù)螺線具有一定優(yōu)勢。

2 代數(shù)螺線渦旋型線的理論分析

2.1 代數(shù)螺線幾何理論

在極坐標(biāo)系中，代數(shù)螺旋方程為：

在直角坐標(biāo)系中，代數(shù)螺線方程為：

式中：

a——代數(shù)螺線系數(shù)；

k——代數(shù)螺線指數(shù)；

r——代數(shù)螺線運(yùn)動半徑。

圖1為不同k值的代數(shù)螺線，由圖可以看出代數(shù)螺線的特性，當(dāng)k=1時(shí)，螺線的節(jié)距相等；當(dāng)k＜1時(shí)，節(jié)距隨著轉(zhuǎn)角的增大逐漸減少；當(dāng)k＞1時(shí)，節(jié)距隨著轉(zhuǎn)角的增大逐漸增大。

一對形狀相同、等厚度、相位相差180°的圓漸開線型線能很好地嚙合，并形成封閉壓縮腔。根據(jù)嚙合特性可以驗(yàn)證代數(shù)螺線之間不能直接嚙合，當(dāng)一個(gè)渦卷采用代數(shù)螺線為基準(zhǔn)線時(shí)，可以通過包絡(luò)原理[1]或法向等距線原理[2]求出對應(yīng)的渦旋型線，代數(shù)螺線與其包絡(luò)線、包絡(luò)線與包絡(luò)線之間必能嚙合。因此，渦旋內(nèi)外壁型線有多種選擇。

2.2 代數(shù)螺線的渦旋型線

日本日立公司[1]的代數(shù)螺線包絡(luò)線是以代數(shù)螺線上的點(diǎn)為圓心，分別在代數(shù)螺線內(nèi)側(cè)及外側(cè)以公轉(zhuǎn)半徑ε作公轉(zhuǎn)運(yùn)動，分別在基準(zhǔn)代數(shù)螺線內(nèi)、外側(cè)形成包絡(luò)線。如圖2所示。

幾何關(guān)系并結(jié)合代數(shù)螺線公式（2）可知，代數(shù)螺線內(nèi)外包絡(luò)線方程如下：

其中，未知變量β可根據(jù)幾何關(guān)系式推導(dǎo)出如下公式：

結(jié)合公式（4）、（5）、（6）可得：

公式（7）代入公式（3）可得單變量代數(shù)螺線包絡(luò)線方程（8）：

此處，符號“+”為外側(cè)包絡(luò)線，符號“－”為內(nèi)側(cè)包絡(luò)線。

圖3為渦旋型線結(jié)構(gòu)示意圖，下面通過圖3說明渦旋型線的構(gòu)成法，圖3中(a)、(b)顯示了基本代數(shù)螺線以公轉(zhuǎn)半徑ε1和ε2進(jìn)行圓運(yùn)動繪制的包絡(luò)線軌跡圖。圖3中(c)、(d)顯示了動渦旋型線和靜渦旋型線的構(gòu)成。圖3(a)實(shí)線B是基本代數(shù)螺線，虛線Bo1是曲線以公轉(zhuǎn)半徑ε1進(jìn)行圓運(yùn)動的外側(cè)包絡(luò)線，雙點(diǎn)劃線Bi1是曲線以公轉(zhuǎn)半徑ε2進(jìn)行圓運(yùn)動的內(nèi)側(cè)包絡(luò)線。圖3(b)實(shí)線B＇是基準(zhǔn)線B以原點(diǎn)O為中心進(jìn)行180°回轉(zhuǎn)，雙點(diǎn)劃線Bo2是以ε2進(jìn)行圓運(yùn)動的外側(cè)包絡(luò)線，虛線Bi2是以ε1進(jìn)行圓運(yùn)動的內(nèi)側(cè)包絡(luò)線。圖3(c)動渦旋型線外側(cè)曲線為Bi1，內(nèi)側(cè)曲線為Bo2。圖3(d)靜渦旋型線外側(cè)曲線為Bo1，內(nèi)側(cè)曲線為Bi2，公式表示如下：

動渦旋型線方程：

外側(cè)型線：

圖1 不同k值的代數(shù)螺線

圖2 代數(shù)螺線及包絡(luò)線示意圖

圖3 渦旋型線結(jié)構(gòu)示意圖

圖4為不同k值的代數(shù)螺線渦卷示意圖，由圖可以看出[4]，代數(shù)螺線渦旋壓縮機(jī)的渦卷，代數(shù)螺旋指數(shù)k不同，渦卷的壁厚和節(jié)距都有變化。

圖4 不同k值的代數(shù)螺線渦卷示意圖

圖5 壁厚t說明示意圖

當(dāng)k=1時(shí)，壁厚和節(jié)距都不變，形式上與圓漸開線渦旋相似；當(dāng)k＜1時(shí)，渦卷壁厚和節(jié)距向外圈方向逐漸減小；當(dāng)k＞1時(shí)，渦卷壁厚和節(jié)距向外圈方向逐漸增大。

渦旋壓縮機(jī)在運(yùn)行過程中，當(dāng)渦旋型線脫離嚙合點(diǎn)位置時(shí)，渦卷中心部承受著較大的溫度及壓差，此時(shí)渦旋中心部會出現(xiàn)強(qiáng)度不足的風(fēng)險(xiǎn)。但當(dāng)k＜1時(shí)的代數(shù)螺線作為型線時(shí)，適當(dāng)設(shè)計(jì)中心渦卷部厚度，能夠獲得較好的強(qiáng)度，可靠性將會得到提升。

此處，結(jié)合圖4靜渦旋型線來定義渦旋的壁厚，取公轉(zhuǎn)半徑ε1和ε2相等為ε。渦旋壁厚用渦旋的外側(cè)曲線和內(nèi)側(cè)曲線間內(nèi)接圓的兩個(gè)接點(diǎn)，即接點(diǎn)E（Xfo，Yfo）和F之間的距離t來定義，P點(diǎn)為內(nèi)接圓的中心（，Yc），內(nèi)接圓半徑用r來表示。

由幾何關(guān)系可知：

由E點(diǎn)（公式11）、F點(diǎn)（公式12）方程，以及代數(shù)螺線及包絡(luò)線原理可得內(nèi)接圓中心坐標(biāo)方程：

其中：

通過上述公式，結(jié)合數(shù)值計(jì)算可以得出不同偏轉(zhuǎn)角度下的E、F點(diǎn)坐標(biāo)，內(nèi)接圓半徑r，以及壁厚t等數(shù)值。

2.3 代數(shù)螺線型線工作腔容積

代數(shù)螺線包絡(luò)線與代數(shù)螺線包絡(luò)線作為渦旋型線的一對渦盤嚙合形成月牙形壓縮腔，如圖6所示，雙點(diǎn)劃線表示動渦旋內(nèi)壁型線，實(shí)線表示靜渦旋外壁型線。OmA、軸的正向夾角分別為嚙合點(diǎn)A、B在基準(zhǔn)線上對應(yīng)點(diǎn)與Xm軸的正向夾角分別為軸的正向夾角分別為，且嚙合點(diǎn)A、B在基準(zhǔn)線上對應(yīng)點(diǎn)與Xt軸的正向夾角分別為

于是，第i個(gè)壓縮腔的橫截面積為：

第i個(gè)壓縮腔的容積為：

如圖7所示為指數(shù)k不同時(shí)，代數(shù)螺線的容積變化特性。圖中曲線表示從吸氣終了形成封閉容積后，經(jīng)過壓縮直至排出整個(gè)過程的容積變化。隨著回轉(zhuǎn)角逐漸增大，壓縮腔內(nèi)氣體逐漸被壓縮而減少容積，當(dāng)回轉(zhuǎn)角到達(dá)排氣時(shí)，渦旋壓縮機(jī)開始排氣，容積不再變化。當(dāng)k=1時(shí)，容積變化基本上為線性關(guān)系；當(dāng)k＜1時(shí)，容積變化比k=1時(shí)要緩一些，且k值越小變化越平穩(wěn)；當(dāng)k＞1時(shí)，容積變化比k=1時(shí)要快，且k值越大變化越快。

3 代數(shù)螺線型線與圓漸開線型線對比

3.1 基本參數(shù)

表1和圖8對排氣量72 cm3/rev進(jìn)行代數(shù)螺線與圓漸開線基本參數(shù)對比分析。

由表1和圖8可知，在渦旋盤直徑設(shè)計(jì)相同時(shí)，代數(shù)螺線設(shè)計(jì)上可以更靈活，壁厚中心部不包括修正段處的最大壁厚可達(dá)5.15 mm，渦卷結(jié)束端可達(dá)3.87 mm。同比等壁厚4 mm圓的漸開線形式強(qiáng)度上有很大的提升。

3.2 吸氣腔面積對比

表2對代數(shù)螺線與圓漸開線型線在相同盤徑情況下的吸氣腔的投影面積情況進(jìn)行對比，可知代數(shù)螺線渦旋吸氣閉合腔A和腔B的投影面積明顯大于圓漸開線型線。在相同72 cm3/rev吸氣容積時(shí)，代數(shù)螺旋齒高為28.5 mm，圓漸開線為32 mm，同比齒高下降11%左右。因此，代數(shù)螺線同比圓漸開線具有更短的密封線長度，性能應(yīng)有一定的提升。

3.3 氣體力及力矩對比

圖6 壓縮腔面積示意圖

圖7 壓縮腔容積變化示意圖

圖8 代數(shù)螺線與圓漸開線渦旋壁厚對比示意圖

表1 代數(shù)螺線與圓漸開線參數(shù)對比

表2 代數(shù)螺線與圓漸開線投影面積對比

渦旋壓縮機(jī)工作過程中主要受力形式為動靜渦旋盤之間存在的氣體力[5]，分為軸向力、切向力、徑向力以及它們之間形成的力矩等。如何平衡氣體力是渦旋壓縮機(jī)行業(yè)的核心問題，設(shè)計(jì)不充分將會引起低壓比工況泄漏大，高壓比工況磨損過大的情況。通過代數(shù)螺線與圓漸開線方案對比可知，盤徑相同、工況相同下，軸向氣體力相差不大，工程應(yīng)用上差別可以忽略。徑向氣體力相對軸向力和切向力小很多，對比可忽略。由于代數(shù)螺線齒高降低了11%左右，經(jīng)過計(jì)算同比切向上所承受的氣體力大約也降低了10%左右，齒高的降低會帶來重心的降低，代數(shù)螺線由切向力帶來的傾覆力矩也會降低。

下面通過ARI工況，對比代數(shù)螺線與圓漸開線型線切向氣體力及傾覆力矩變化情況，如圖9所示。

通過圖9可知，代數(shù)螺線同比圓漸開線型線具有更小的傾覆力矩，這樣在平衡力設(shè)計(jì)時(shí)可以減少背壓力設(shè)計(jì)，在滿足密封的前提下可以減少高壓比等工況下的密封力，從而可以在一定程度上提升能效。

圖9 代數(shù)螺線與圓漸開線切向氣體力及力矩對比

圖10 代數(shù)螺線與圓漸開線COP對比

3.4 性能測試對比

上述理論分析了代數(shù)螺線同比圓漸開線型線的優(yōu)勢。圖10為ARI工況下不同頻率的實(shí)測性能對比。通過圖10測試數(shù)據(jù)可知，在標(biāo)況ARI工況不同頻率的情況下，代數(shù)螺線型線相對圓漸開線型線在性能上有3%左右的提升，頻率越低提升效果越好，說明代數(shù)螺線泄漏線長度的減少會帶來低頻泄漏量的減少。綜合數(shù)據(jù)可以明顯看出，代數(shù)螺線在性能提升方面有一定的效果。

4 結(jié)論

綜上所述，代數(shù)螺線型線同比圓漸開線型線相比具有一些明顯優(yōu)勢：

（1）代數(shù)螺線是一種可變壁厚的結(jié)構(gòu)，可將渦旋壁厚設(shè)計(jì)成由吸氣端到排氣端逐漸增大的結(jié)構(gòu)，通過壁厚改變提高渦卷強(qiáng)度，從而提升可靠性。

（2）在吸氣容積一定的條件下，同比圓漸開線型線，代數(shù)螺線渦旋尺寸可以更小型化，泄漏線長度更小，可減少渦旋氣體力及傾覆力矩，可提升性能。也說明在渦旋外徑及齒高相同的條件下，代數(shù)型線可以有更大的吸氣量和更高的壓比設(shè)計(jì)。