初中數(shù)學(xué)教學(xué)中積極培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力的研究

謝翠蘭

[摘? 要] 逆向思維能力可以通過(guò)幫助學(xué)生高效學(xué)習(xí)的同時(shí)擴(kuò)寬學(xué)生解題思路，進(jìn)而達(dá)到強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目的，教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生樹立和鍛煉逆向思維意識(shí)，并給出逆向思維的應(yīng)用方法，不斷提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué);逆向思維;解題能力

逆向思維是數(shù)學(xué)思維的一種方法. 在數(shù)學(xué)教學(xué)中，運(yùn)用逆向思維可以很好地提升學(xué)生的解題能力. 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中如何通過(guò)教學(xué)工作培養(yǎng)學(xué)生逆向思維能力，并利用逆向思維能力增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力？本文筆者以如何樹立逆向思維意識(shí)作為切入點(diǎn)，簡(jiǎn)單論述了如何鍛煉學(xué)生的逆向思維意識(shí).

■ 逆向思維意識(shí)的樹立

在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者認(rèn)為教師在進(jìn)行較為抽象的知識(shí)點(diǎn)教學(xué)時(shí)可以給學(xué)生一定的課堂時(shí)間，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)教材內(nèi)容進(jìn)行推導(dǎo)和思考，讓學(xué)生通過(guò)實(shí)踐和思考強(qiáng)化知識(shí)內(nèi)容的掌握. 教師可幫助學(xué)生利用正向思考強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)學(xué)習(xí)效果，通常學(xué)生通過(guò)自學(xué)可以掌握基本的公式概念，此時(shí)教師指導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維進(jìn)行學(xué)習(xí)，不僅可以促使學(xué)生對(duì)知識(shí)內(nèi)容有更深刻的理解，還能幫助學(xué)生鍛煉逆向思維能力.

例如，在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)與三角形有關(guān)的角的教學(xué)工作時(shí)，筆者會(huì)教授學(xué)生基本理論（三角形內(nèi)角和為180°），在確定學(xué)生理解知識(shí)內(nèi)容后，給出一些簡(jiǎn)單的內(nèi)角相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)練習(xí)實(shí)踐鞏固知識(shí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生借助正向思維解題. 確認(rèn)學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)內(nèi)容后，向?qū)W生拋出問(wèn)題，現(xiàn)有一個(gè)三角形，其中一角為90°，此三角形其他兩角為多少度？這個(gè)問(wèn)題答案非常簡(jiǎn)單，提出問(wèn)題的目的在于引導(dǎo)學(xué)生借助逆向思維思考問(wèn)題，為其樹立逆向思維意識(shí).

依然以三角形有關(guān)的角的教學(xué)工作為例，筆者首先幫助學(xué)生理解如果一個(gè)三角形是直角三角形，那么這個(gè)三角形有兩個(gè)角互余. 在確認(rèn)學(xué)生理解這一性質(zhì)后，提出思考問(wèn)題：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角互余，其是否為直角三角形？學(xué)生在引導(dǎo)下，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的驗(yàn)算發(fā)現(xiàn)有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.

筆者認(rèn)為通過(guò)樹立學(xué)生逆向思維意識(shí)，不僅可以強(qiáng)化學(xué)生的知識(shí)應(yīng)用能力，還可以幫助學(xué)生在往后的學(xué)習(xí)生活中應(yīng)用逆向思維去理解、分析數(shù)學(xué)中的抽象知識(shí).

■ 逆向思維意識(shí)的鍛煉

在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，大部分知識(shí)內(nèi)容都可以進(jìn)行逆向推導(dǎo)和分析. 筆者認(rèn)為，教師如果能在公式和定理的教學(xué)過(guò)程中合理穿插逆向思維訓(xùn)練，那么不僅可以有效提高學(xué)生的逆向思維能力，還能幫助學(xué)生培養(yǎng)多角度思考的解題習(xí)慣.

例如，在完成初中數(shù)學(xué)人教版八年級(jí)上冊(cè)因式分解教學(xué)工作后，筆者為學(xué)生準(zhǔn)備了一道計(jì)算題：（a-b-c）（a+b+c）-（a-b+c）（a+b-c）. 若學(xué)生不利用逆向思維，按照常規(guī)方式展開(kāi)算式完成計(jì)算不僅耗時(shí)過(guò)多，同時(shí)因?yàn)橛?jì)算過(guò)程煩瑣非常容易出錯(cuò)，故筆者在課堂上引導(dǎo)學(xué)生逆用平方差公式來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程. 逆向思維的應(yīng)用和鍛煉不僅可以有效提高學(xué)生的解題能力，同時(shí)還可以幫助學(xué)生更加深刻地理解公式內(nèi)容.

同樣，在幾何相關(guān)的教學(xué)工作中，筆者通常用調(diào)換已知條件和求證問(wèn)題的方法讓學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)和解題鍛煉逆向思維. 例題如下：已知三角形ABC，AB邊上存在點(diǎn)H，AC邊上有點(diǎn)I，且邊AB和AC的長(zhǎng)度相等，∠ABI和∠ACH相等，試證明邊AI和邊AH的長(zhǎng)度相等.

這個(gè)問(wèn)題本身并不復(fù)雜，筆者待學(xué)生完成證明后，在不增加條件的情況下調(diào)整已知條件和求證問(wèn)題以促進(jìn)學(xué)生深度思考. 具體來(lái)講，例題可以有如下兩種變化.

第一種：已知三角形ABC，邊AB上存在點(diǎn)H，邊AC上存在點(diǎn)I，且邊AB和邊AC長(zhǎng)度等，邊AI和邊AH長(zhǎng)度相等，試證明∠ABI和∠ACH相等;

第二種：已知三角形ABC，邊AB上存在點(diǎn)H，邊AC上存在點(diǎn)I，且AI和AH長(zhǎng)度相等，∠ABI和∠ACH相等，試證明AB和AC的長(zhǎng)度一樣.

通過(guò)這兩種變式設(shè)計(jì)，巧妙地調(diào)整題干已知信息和求證內(nèi)容，可以幫助學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中，多角度理解知識(shí)內(nèi)容，同時(shí)也達(dá)到了鍛煉學(xué)生逆向思維的目的.

■ 利用逆向思維來(lái)解題

在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者認(rèn)為引導(dǎo)學(xué)生借助逆向思維來(lái)解題，可以幫助學(xué)生抓住問(wèn)題本質(zhì)甚至化繁為簡(jiǎn). 根據(jù)筆者經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生利用逆向思維可以對(duì)問(wèn)題進(jìn)行多角度思考，提升學(xué)生解題能力的同時(shí)拓寬學(xué)生解題思路. 筆者在教學(xué)工作中，一般通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維中的反證法來(lái)分析并解答問(wèn)題.

例題如下：已知拋物線y=-x2+（a-3）x+a-4的頂點(diǎn)在第四象限以外，求a為何值. 學(xué)生通常認(rèn)為頂點(diǎn)存在于坐標(biāo)軸或第一、二、三象限中，并對(duì)這幾種可能性分別進(jìn)行推導(dǎo)和分析，最終取得問(wèn)題答案，過(guò)程較為煩瑣且耗時(shí)較長(zhǎng). 筆者引導(dǎo)學(xué)生借助逆向思維思考此問(wèn)題，轉(zhuǎn)換題干給出的頂點(diǎn)是在第四象限以外這一解題條件，假定題目中拋物線頂點(diǎn)存在于第四象限，計(jì)算頂點(diǎn)存于第四象限時(shí)a的所有集合，并排除所有不符合數(shù)理依據(jù)的答案，進(jìn)而獲得最終答案. 利用逆向思維解題不僅可以有效簡(jiǎn)化答題過(guò)程，還可以擴(kuò)寬學(xué)生解題思路.

又例如，已知方程x2-ax+4=0，x2+（a-1）x+16=0，x2+2ax+3a+10=0，且方程中實(shí)根的個(gè)數(shù)大于等于一個(gè)，求a的取值范圍. 很明顯，若不把握逆向思維解題思路，此題計(jì)算過(guò)程將極為復(fù)雜且難度明顯過(guò)高. 故筆者引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維求解，假定方程不存在實(shí)數(shù)根，計(jì)算方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí)a的范圍，其補(bǔ)集就是答案.

筆者認(rèn)為教師在指導(dǎo)學(xué)生解題的教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生利用逆向思維解題，不僅可以大幅度縮短學(xué)生解題時(shí)間，還可以幫助學(xué)生提高解題能力.

■ 利用逆向思維來(lái)學(xué)習(xí)

在初中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者認(rèn)為教師需要借助逆向思維輔助學(xué)生公式、定理、概念的學(xué)習(xí). 學(xué)生通過(guò)預(yù)習(xí)和自學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的理解只停留在“可以復(fù)述公式內(nèi)容”的程度，而不能掌握其本質(zhì)內(nèi)容并將其靈活運(yùn)用. 筆者在教學(xué)時(shí)一般從概念和定理兩方面著手，利用逆向思維強(qiáng)化學(xué)生學(xué)習(xí)效果.

例如，在進(jìn)行初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)下冊(cè)“相似”的教學(xué)工作時(shí)，事先引導(dǎo)學(xué)生了解“已知兩個(gè)三角形三邊互成比例，那么這兩個(gè)三角形為相似三角形”的概念. 完成基礎(chǔ)概念教學(xué)后，給出如下例題：已知兩個(gè)三角形為相似三角形，其中一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為3 cm，4 cm，5 cm，另一個(gè)三角形只能確定其中一條邊的長(zhǎng)為12 cm，求這個(gè)三角形邊長(zhǎng)存在的可能性. 此題要求學(xué)生對(duì)概念有較為全面的理解，解題過(guò)程中需要學(xué)生進(jìn)行逆向思考，就算已知兩個(gè)三角形相似，則其邊長(zhǎng)成比例，也需要考慮三種情況，且答案不止一個(gè). 筆者在概念相關(guān)教學(xué)工作中結(jié)合逆向思維，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)概念進(jìn)行多角度思考，達(dá)到深化學(xué)生對(duì)概念的理解的目的.

數(shù)學(xué)相較于其他學(xué)科，存在較多的公式、定理，導(dǎo)致其知識(shí)內(nèi)容更加抽象，難以理解，而定理看似存在固定的形式，但其運(yùn)用方法卻會(huì)隨著實(shí)際情況的改變而改變，故筆者認(rèn)為通過(guò)逆向思維可以幫助學(xué)生檢驗(yàn)或者實(shí)踐定理，理解定理的準(zhǔn)確性. 筆者在完成定理的基礎(chǔ)教學(xué)后，會(huì)引導(dǎo)學(xué)生利用反證法去理解定理，當(dāng)學(xué)生認(rèn)為定理不適用于反證法時(shí)，要求學(xué)生給出一個(gè)反例證明自己的觀點(diǎn).

總之，逆向思維能力可以通過(guò)幫助學(xué)生高效學(xué)習(xí)的同時(shí)擴(kuò)寬學(xué)生解題思路，進(jìn)而達(dá)到強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目的，教學(xué)中，教師要幫助學(xué)生樹立和鍛煉逆向思維意識(shí)，并給出逆向思維的應(yīng)用方法，不斷提高學(xué)生的解題能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).